1 Metody matematyczne w Inżynierii ChemicznejRozwiązywanie równań różniczkowych
2 Rozwiązywanie równań różniczkowychMetody klasy Rungego-Kutty
3 Zalety metod klasy Rungego-KuttyBrak konieczności stosowania dodatkowych algorytmów do obliczenia punktów początkowych Możliwość zmiany kroku w trakcie obliczeń
4 Zasada metod klasy Rungego-KuttyBezpośrednie zastosowanie rozwinięcia wymaga użycia trudnych do obliczenia pochodnych wyższych rzędów Metody klasy R-K polegają na podzieleniu odcinka h na N części i wykorzystaniu tylko pochodnych 1-go rzędu z zachowaniem założonej dokładności.
5 Zasada metod klasy Rungego-KuttyPrzyrost k aproksymuje się wyrażeniem liniowym o budowie zależnej od rzędu metody R-K Dla metody drugiego rzędu wyrażenie to ma postać: w którym: Parametry: a, b, m, n to stałe tak dobrane by błąd aproksymacji k przez K miał rząd 3 Składniki równania na K należy rozwinąć w szereg Taylora z 1 pochodną wokół punktu F(x0,y0)
6 Zasada metod klasy Rungego-KuttyF(x0,y0) to środek rozwinięcia, możliwe jest tylko rozwiniecie k2: Po podstawieniu do wzoru na k2: I ostatecznie do wzoru na K
7 Zasada metod klasy Rungego-KuttyPonieważ: Aby wyznaczyć parametry a, b, n, m trzeba porównać z rozwinięciem k
8 Zasada metod klasy Rungego-KuttyMożna „dowolnie” przyjąć 1 wartość Przyjmijmy m=1 otrzymamy: b = ½ a= ½ n = 1
9 Zasada metod klasy Rungego-KuttyOgólnie:
10 Metoda Rungego-Kutty rzędu 4-tego (Rungego-Simpsona)
11 Zastosowanie metody Rungego-Kutty do rr. wyższego rzędu.
12 Zastosowanie metody Rungego-Kutty do rr. wyższego rzędu.Wektor wartości w kroku i -tym
13 Zastosowanie metody Rungego-Kutty do rr. wyższego rzędu.Funkcja wektorowa (prawe strony równań)
14 Zastosowanie metody Rungego-Kutty do rr. wyższego rzędu.Wektory współczynników
15 Zastosowanie metody Rungego-Kutty do rr. drugiego rzędu.Podstawmy
16 Zastosowanie metody Rungego-Kutty do rr. drugiego rzędu.Funkcja wektorowa: i-ty wektor wartości
17 Zastosowanie metody Rungego-Kutty do rr. drugiego rzędu.Wektory współczynników:
18 Zastosowanie metody Rungego-Kutty do rr. drugiego rzędu.Wektory współczynników:
19 Zastosowanie metody Rungego-Kutty do rr. drugiego rzędu.
20 Metoda Rungego-Kutty algorytmCzytaj punkt startowy x0, y0, xk i ilość podziałów n h=(xk - x0)/n. Przyjmij i=0 Oblicz k1=hF(xi,yi), k2=hF(xi+1/2h,yi+1/2k1), k3=hF(xi+1/2h,yi+1/2k2), k4=hF(xi+h,yi+k3) Oblicz K=1/6(k1+2(k2+k3)+k4) Oblicz yi+1=yi+K xi+1 = xi+h Zwiększ i o 1 Jeżeli i