1 Metody numeryczne Wykład no 1
2 Literatura Jankowscy J. i M.: Przegląd metod i algorytmów numerycznych Część I, WNT 1981. Dryja M., Jankowscy J. i M.: Przegląd metod i algorytmów numerycznych. Część II, WNT 1982. 3. Stoer J.: Wstęp do metod numerycznych. t. I, PWN Warszawa 1979. 4. Stoer J., Bulirsch R.: Wstęp do metod numerycznych. PWN Warszawa 1980. 5. Ralston A.: Wstęp do analizy numerycznej. PWN Warszawa 1975. 6. Fortuna Z., Macukow B., Wąsowski J.: Metody numeryczne. WNT Warszawa 1982. 7. Bjorck A., Dahlquist G.: Metody numeryczne. PWN Warszawa 1983.
3 Zapis liczb w maszynie cyfrowejLiczby całkowite gdzie ei=0 lub 1. Jeżeli na zapis liczby przeznaczymy d bitów, to pierwszy bit - znak, następne d-1 bitów - zapis liczby czyli mając do dyspozycji rejestr d bitowy p=d-2 i możemy zapisać liczbę całkowitą: w Pascalu mamy reprezentacje:
4 1 byte = 8 bitów 1 byte shortint : -27 n n 127 tylko nieujemne: byte : 0 n n 255 2 byte = 16 bitów integer : -215 n n 32767 tylko nieujemne: word : 0 n n 65535
5 W podanych zakresach liczby całkowite są reprezentowane 4 bite = 32 bity longint : -231 n n W podanych zakresach liczby całkowite są reprezentowane w maszynie cyfrowej dokładnie. Przekroczenie zakresu dla danego typu liczb całkowitych powoduje najczęściej błędne obliczenia. Liczby rzeczywiste Reprezentacja zmiennoprzecinkowa: m – mantysa, przyjmuje się, że
6 Mantysa m jest obliczana z zależności:W maszynie cyfrowej mamy do dyspozycji skończoną liczbę bitów wynoszącą t i mantysa maszynowa mt jest: a więc popełniamy błąd zaokrąglenia mantysy:
7 c - cecha Przykład: x=znak liczby |mantysa |znak cechy |cecha x=0|1110|011 zmieniamy jeden bit: x=0|1111|011 i mamy: Spróbujmy przedstawić w tej maszynie liczbę x=7.25 cecha: 23 i mantysa m=7.25/8=
8 reprezentacja dwójkowa mantysy:czyli
9 Przy ośmiu bajtach dla zapisu liczb rzeczywistych liczbmiędzy 7.00 i 7.50 nie rozróżniamy. Rzeczywiście mamy: błąd mantysy 2-4=0.0625, maksymalna cecha 8, czyli *8=0.5. Błąd względny : czyli lub inaczej Maksymalny błąd względny przy najostrzejszym oszacowaniu, to: ale
10 czyli o wielkości błędu względnego decyduje liczba bitów przeznaczonych na mantysę. W Pascalu stosujemy reprezentacje: single – 4 byte w tym 1 byte cecha błąd względny reprezentacji: a więc 7 do 8 prawidłowych cyfr znaczących. Zakres reprezentowanych liczb: gdzie
11 real – 6 byte cecha – 1 byte błąd względny reprezentacji: około 10 do 12 cyfr znaczących dokładnie. Zakres reprezentowanych liczb jak dla single czyli
12 double – 8 byte cecha 11 bitów błąd względny reprezentacji: około 15 do 16 cyfr znaczących dokładnie. Zakres reprezentowanych liczb:
13 extended – 10 byte cecha – 15 bitów błąd względny reprezentacji: około 19 do 20 cyfr znaczących dokładnie. Zakres reprezentowanych liczb:
14 Rodzaje błędów: 1. błędy danych wejściowych, 2. błędy obcięcia, 3. błędy zaokrągleń. Błąd obcięcia Błąd obcięcia:
15 Błąd obcięcia będzie dyskutowany przy poszczególnychmetodach Błąd danych wejściowych może być np. spowodowany błędami popełnionymi przy pomiarach wymiarów geometrycznych, itp..
16 Układy równań liniowychJeżeli N
17 Zapisujemy w formie macierzowej (tablicy)a układ równań zapisujemy w postaci równania:
18 Rozwiązywanie układów równań liniowychDany jest układ równań liniowych: A – macierz (tablica) o wymiarze NxN, aij – element macierzy A leżący w i-tym wierszu i j-tej kolumnie
19 Będziemy też stosować zapis:i,j=1,2,...,N Macierz transponowana: AT Macierz odwrotna: A-1 Macierz jednostkowa: 1 gdzie X – wektor (tablica jednokolumnowa) niewiadomych o N składowych i=1,2,...,N Zapis:
20 Często wygodniej zapisywać w postaci:Metoda Gaussa Przykład: Zapisujemy w postaci:
21
22
23 Redukcja górnej trójkątnej:
24
25 ostatnia kolumna zawiera rozwiązanie: X =