1 Metody optymalizacji Wykład 4 - 2015/2016Energetyka - studia stacjonarne I stopnia Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. Inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Wykład /2016 Metody programowania nieliniowego Metoda nieoznaczonych mnożników Lagrange’a

2 Metody programowania nieliniowego – metoda nieoznaczonych mnożników Lagrange’aRozważamy zadanie Przypadki i metody rozwiązania I. Ograniczenia tylko równościowe - rozwiązanie przez podstawienie

3 Przykład 1 Korzystając z ograniczenia równościowego wyrażamy x1 przez x2 lub odwrotnie Podstawimy do funkcji celu Dostajemy zadanie minimalizacji bez ograniczeń Warunek konieczny pierwszego rzędu dla poszuwania minimum

4 Przedstawienie graficzneZ podstawienia obliczamy x1 Przedstawienie graficzne Kontur funkcji f(x) rzutowany na płaszczyznę

5 - rozwiązanie przez zastosowanie metody nieoznaczonych mnożników Lagrange’aPrzykład 2 Rozwiązanie graficzne

6 Analiza rozwiązania graficznegoW punkcie optymalnym Gradient funkcji celu w punkcie optymalnym jest ortogonalny do płaszczyzny stycznej do ograniczenia w tym punkcie W punkcie optymalnym gradient funkcji celu i gradient ograniczenia są kolinearne, ale przeciwnie zwrócone nieoznaczony mnożnik Lagrange’a

7 Sposób postępowania Definiujemy funkcję lagrangianu Warunek konieczny optimum czyli Warunek dopuszczalności

8 Przykład 2 c.d. Warunki konieczne optymalności oraz

9 Rozwiązując układ równań otrzymamyZ pierwszych dwóch równań Podstawiając do trzeciego Otrzymamy

10 Przykład 3 Definiujemy funkcję lagrangianu Warunki konieczne

11 Podstawiając do warunku dopuszczalności otrzymamy

12 Podsumowanie (1) gdzie Wprowadzamy Definiujemy lagrangian Warunki konieczne optimum (2) (3)

13 Dodatkowe wymagania wyznaczenia mnożników(1) (2) i (3)

14 II. Ograniczenia tylko nierównościowePrzykład 4

15 Ilustracja graficzna Klasyfikacja ograniczeń – aktywne - nieaktywne

16 Warunek Kuhn’a – Tucker’a dla punktu optymalnegoW punkcie optymalnym, wektor gradientu funkcji celu leży w stożku generowanym przez ujemne gradienty ograniczeń aktywnych w tym punkcie

17 Warunek Kuhn’a – Tucker’a dla punktu optymalnego w postaci analitycznejW punkcie optymalnym, wektor gradientu funkcji celu leży w stożku generowanym przez ujemne gradienty ograniczeń aktywnych w tym punkcie Przekłada się na wymaganie: Wektor gradientu funkcji celu , musi być nieujemną liniową kombinacją ujemnych gradientów ograniczeń aktywnych, to znaczy muszą istnieć mnożniki Lagrange’a takie, że gdzie: I – indeksy ograniczeń aktywnych

18 Wynik ten należy uogólnić dla objęcia wszystkich ograniczeń, definiując mnożniki Lagrange’a równe zero dla wszystkich ograniczeń nieaktywnych Widać, że oraz Zatem:

19 Ostatecznie warunki Kuhn’a – Tucker’a dla punktu optymalnego

20 III. Ograniczenia zarówno równościowe jaki i nierównościoweDefiniujemy mnożniki Lagrange’a związane z ograniczeniami równościowymi i mnożniki związane z ograniczeniami nierównościowymi Budujemy funkcję Lagrange’a postaci

21 Jeżeli punkt jest lokalnym minimum zagadnienia optymalizacjiz ograniczeniami równościowymi i nierównościowymi, to istnieje wektor mnożników Lagrange’a oraz taki, że jest punktem stacjonarnym funkcji Lagrange’a, tzn. i spełnione są dodatkowo warunki

22 Przykład 5 Rozwiązanie Funkcja Lagrange’a Warunki konieczne

23 Punkty rozwiązania

24 – koniec materiału prezentowanego podczas wykładuDziękuję za uwagę – koniec materiału prezentowanego podczas wykładu