1 Metody sztucznej inteligencji - Technologie rozmyte i neuronowe 2015/2016 Systemy rozmyte – wnioskowanie Mamdani’ego II © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 1 Metody sztucznej inteligencji Automatyka i Robotyka - studia stacjonarne II stopnia Wykład 9- 2015/2016 Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. Inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania Systemy rozmyte – wnioskowanie – podejście Mamdani’ego - rozwinięcia

2 Metody sztucznej inteligencji - Technologie rozmyte i neuronowe 2015/2016 Systemy rozmyte – wnioskowanie Mamdani’ego II © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 2 Model lingwistyczny – wnioskowanie Mamdani’ego – c.d. Model lingwistyczny i proces wnioskowania Mamdani’ego z wykorzystaniem tego modelu przedstawiony został w ogólny sposób obejmujący przypadki SISO i MIMO Jednak........ Rozważane modele miały struktury obejmujące przypadki: - prosta przesłanka – jedna reguła - prosta przesłanka – wiele reguł Oznacza to, że w przypadku MIMO wszystkie zbiory rozmyte modelu rozważane były w jednej przestrzeni wektorowej z wielowymiarowymi funkcjami przynależności

3 Metody sztucznej inteligencji - Technologie rozmyte i neuronowe 2015/2016 Systemy rozmyte – wnioskowanie Mamdani’ego II © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 3 A wcześniej mówiliśmy, że........ Zwykle stwierdzenia przesłanek i stwierdzenia konkluzji formułowane są jako logiczne zdania formułowane z wykorzystaniem funkcji przynależności jednej zmiennej Dla systemów MIMO: Potrzeba uogólnienia zaprezentowanych wyników na przypadek, kiedy funkcje przynależności występujące w stwierdzeniach przesłanki są definiowane w przestrzeniach jednowymiarowych

4 Metody sztucznej inteligencji - Technologie rozmyte i neuronowe 2015/2016 Systemy rozmyte – wnioskowanie Mamdani’ego II © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 4 Pokażemy, że jako ogólną postać bazy reguł rozmytych można rozważać bazę składającą się z reguł o następującej jednolitej postaci: gdzie, A ij oraz B i są zbiorami rozmytymi w X j  R oraz Y  R Ponadto oraz x oraz y są nazywane odpowiednio wejściami i wyjściem systemu rozmytego ()() Taką bazę reguł nazywamy bazą w postaci koniunkcyjnej

5 Metody sztucznej inteligencji - Technologie rozmyte i neuronowe 2015/2016 Systemy rozmyte – wnioskowanie Mamdani’ego II © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 5 Fakt 1. Ponieważ każdy system MIMO może zawsze być zdekomponowany do na systemy MISO, bez utraty ogólności możemy rozważać jako reprezentatywne systemy MISO Fakt 2. Reguły w formie (*) zawierają jako szczególny przypadek „niekompletne” reguły postaci gdzie, r < p Dowód. Niekompletna reguła jest równoważna regule gdzie, I 1 jest uniwersalnym zbiorem rozmytym na całej przestrzeni rozważań R

6 Metody sztucznej inteligencji - Technologie rozmyte i neuronowe 2015/2016 Systemy rozmyte – wnioskowanie Mamdani’ego II © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 6 Fakt 3. Reguły w formie (*) zawierają jako szczególny przypadek reguły OR reguły postaci Dowód. Intuicyjne rozumienie operatora OR pozwala napisać następujące dwie reguły równoważne podanej regule OR a z faktu 2 mamy, że każda z tych reguł jest równoważna regule postaci (*)

7 Metody sztucznej inteligencji - Technologie rozmyte i neuronowe 2015/2016 Systemy rozmyte – wnioskowanie Mamdani’ego II © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 7 Fakt 4. Reguły w formie (*) zawierają jako szczególny przypadek stwierdzenie rozmyte Dowód. W istocie takie stwierdzenie rozmyte jest równoważne regule która ma formę reguły postaci (*)

8 Metody sztucznej inteligencji - Technologie rozmyte i neuronowe 2015/2016 Systemy rozmyte – wnioskowanie Mamdani’ego II © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 8 Fakt 5. Reguły w formie (*) zawierają jako szczególny przypadek „reguły stopniowane” postaci Dowód. Wyrażeniu „mniejszy x” można nadać formę stwierdzenia rozmytego przez zdefiniowanie zbioru rozmytego mniejszy x. Oznaczmy ten zbiór A. Podobnie można postąpić z wyrażeniem „większy y”. Oznaczmy reprezentujący je zbiór rozmyty B. Podana reguła stopniowana może być wówczas zapisana a z faktu 2 mamy, że taka reguła jest równoważna regule postaci (*)

9 Metody sztucznej inteligencji - Technologie rozmyte i neuronowe 2015/2016 Systemy rozmyte – wnioskowanie Mamdani’ego II © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 9 Fakt 6. Reguły w formie (*) zawierają jako szczególny przypadek reguły „jeżeli nie” Dowód. Traktując która w oparciu o prawo de Morgana jest równoważna regule Intuicyjne rozumienie wyrażenia „jeżeli nie” pozwala napisać następującą regułę równoważną podanej jako odrębny zbiór rozmyty i opierając się na fakcie 3 możemy stwierdzić, że rozważana reguła jest równoważna (*)

10 Metody sztucznej inteligencji - Technologie rozmyte i neuronowe 2015/2016 Systemy rozmyte – wnioskowanie Mamdani’ego II © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 10 Fakt 7. Reguły w formie (*) zawierają jako szczególny przypadek reguły twarde (wyraziste) Dowód. Jeżeli funkcje przynależności zbiorów A i,j oraz zbioru B i przyjmują tylko dwie wartości 0 oraz 1 to reguła (*) staje się regułą nie-rozmytą Podsumowanie: Biorąc pod uwagę Fakt 1 bez utraty ogólności możemy rozważać jako reprezentatywne systemy MISO Biorąc pod uwagę Fakt 2-7 bez utraty ogólności możemy rozważać modele lingwistyczne w postaci koniunkcyjnej jako ogólne modele lingwistyczne

11 Metody sztucznej inteligencji - Technologie rozmyte i neuronowe 2015/2016 Systemy rozmyte – wnioskowanie Mamdani’ego II © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 11 Przypomnienie - wnioskowanie Mamdani’ego: przypadek SISO 1. Oblicz stopień spełnienia przesłanki każdej z reguł: 2. Oblicz zbiory rozmyte wyjścia każdej z reguł: 3. Zagreguj zbiory rozmyte wyjścia: Rozważana pojedyncza reguła ma postać a wejście systemu pytamy o wyjście systemu } Wymaga modyfikacji ! } Nie wymaga modyfikacji

12 Metody sztucznej inteligencji - Technologie rozmyte i neuronowe 2015/2016 Systemy rozmyte – wnioskowanie Mamdani’ego II © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 12 Rozważmy szczegółowiej dwa przypadki III. Jedna reguła – dwie przesłanki Fakt: x 1 = A 1 ’ i x 2 = A 2 ’ Implikacja JEŚLI x 1 = A 1 I x 2 = A 2 TO y = B Wnioseky = B’ Rozwijając definicję wnioskowania rozmytego: w1w1 w2w2

13 Metody sztucznej inteligencji - Technologie rozmyte i neuronowe 2015/2016 Systemy rozmyte – wnioskowanie Mamdani’ego II © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 13 Ostatecznie: - siła „odpalenia” reguły, stopień spełnienia przesłanek reguły w 1, w 2 – stopień zgodności odpowiednio oraz Ilustracja graficzna dla wnioskowania dla przypadku złożenia dwóch prostych przesłanek i użyciu T-normy MIN i S-normy MAX

14 Metody sztucznej inteligencji - Technologie rozmyte i neuronowe 2015/2016 Systemy rozmyte – wnioskowanie Mamdani’ego II © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 14 Zwykle: min, prod Dla: Uwaga: x 0 - wektor

15 Metody sztucznej inteligencji - Technologie rozmyte i neuronowe 2015/2016 Systemy rozmyte – wnioskowanie Mamdani’ego II © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 15 Dla implikacji Mamdaniego - min: Dla implikacji Larsena - prod: lub:

16 Metody sztucznej inteligencji - Technologie rozmyte i neuronowe 2015/2016 Systemy rozmyte – wnioskowanie Mamdani’ego II © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 16 1. Oblicz stopień spełnienia przesłanki każdej z reguł: Modyfikacja

17 Metody sztucznej inteligencji - Technologie rozmyte i neuronowe 2015/2016 Systemy rozmyte – wnioskowanie Mamdani’ego II © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 17 IV. Dwie reguły – dwie przesłanki Fakt: x 1 = A 1 ’ i x 2 = A 2 ’ Implikacja 1 JEŚLI x 1 = A 11 I x 2 = A 12 TO y = B 1 Wnioseky = B’ Implikacja 2 JEŚLI x 1 = A 21 I x 2 = A 22 TO y = B 2 Niech oraz Ponieważ relacja złożenia jest rozdzielna względem operacji połączenia dowolna s-norma (t-konorma)

18 Metody sztucznej inteligencji - Technologie rozmyte i neuronowe 2015/2016 Systemy rozmyte – wnioskowanie Mamdani’ego II © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 18 Ilustracja graficzna dla wnioskowania Mamdaniego dla przypadku dwóch reguł każda złożona z dwóch prostych przesłanek dowolna s-norma (t-konorma)

19 Metody sztucznej inteligencji - Technologie rozmyte i neuronowe 2015/2016 Systemy rozmyte – wnioskowanie Mamdani’ego II © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 19 Sposób postępowania przy uproszczonym wnioskowaniu rozmytym – wnioskowaniu Mamdani’ego Stopień zgodności faktów i przesłanek. Porównaj znane fakty z przesłankami reguł rozmytych, aby określić stopień zgodności w odniesieniu do funkcji przynależności każdej z przesłanek Stopień spełnienia przesłanek poszczególnych reguł. Złóż stopnie zgodności poszczególnych przesłanek reguł używając rozmytych operacji przecięcia dla określenia ogólnego stopnia spełnienia przesłanek reguł Implikowana funkcja przynależności konkluzji poszczególnych reguł dla danych faktów. Wykorzystując stopień stopień spełnienia przesłanek określ implikowaną funkcje przynależności każdej reguły – odpowiedzi cząstkowe Całościowa implikowana funkcja przynależności zbioru reguł. Złóż wszystkie implikowane funkcje przynależności konkluzji, aby otrzymać całościową implikowaną funkcję przynależności zbioru reguł – odpowiedź całościowa

20 Metody sztucznej inteligencji - Technologie rozmyte i neuronowe 2015/2016 Systemy rozmyte – wnioskowanie Mamdani’ego II © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 20 System Mamdaniego System Mamdaniego z wykorzystujący realizacje min oraz max jako operatory t – normy i s - normy Podejście 1

21 Metody sztucznej inteligencji - Technologie rozmyte i neuronowe 2015/2016 Systemy rozmyte – wnioskowanie Mamdani’ego II © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 21 System Mamdaniego – c.d. System Mamdaniego z wykorzystujący realizacje prod oraz max jako operatory t – normy i t - konormy Podejście 2

22 Metody sztucznej inteligencji - Technologie rozmyte i neuronowe 2015/2016 Systemy rozmyte – wnioskowanie Mamdani’ego II © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 22 System Mamdaniego – aproksymacja Przykład 2 Jeżeli X jest MAŁY I Y jest MAŁY TO Z jest UJEMNY DUŻY Jeżeli X jest MAŁY I Y jest DUŻY TO Z jest UJEMNY MAŁY Jeżeli X jest DUŻY I Y jest MAŁY TO Z jest DODATNI MAŁY Jeżeli X jest DUŻY I Y jest DUŻY TO Z jest DODATNI DUŻY Realizacja: max – min, środek ciężkości

23 Metody sztucznej inteligencji - Technologie rozmyte i neuronowe 2015/2016 Systemy rozmyte – wnioskowanie Mamdani’ego II © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 23 Zbiór reguł przy koniunkcyjnej formie przesłanek bazy reguł dzieli dziedzinę wejścia na kratownicę rozmytych hiperskrzynek. Każda hiperskrzynka jest przecięciem odpowiednich jednowymiarowych zbiorów rozmytych wejścia systemu Liczba reguł w koniunkcyjnej formie, potrzebna do pokrycia całego obszaru wejścia określona jest wzorem gdzie p jest wymiarem przestrzeni wejścia a N i jest liczbą wartości lingwistycznych przypisywanych i- tej zmiennej wejścia (przesłanki)

24 Metody sztucznej inteligencji - Technologie rozmyte i neuronowe 2015/2016 Systemy rozmyte – wnioskowanie Mamdani’ego II © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 24 Składając koniunkcje, dysjunkcje i negacje można uzyskać różny podział przestrzeni wejścia (przesłanek) – zawsze będzie to jednak prostopadłościenna kratownica zdefiniowana przez zbiory rozmyte związane z poszczególnymi zmiennymi Przykład Przesłanka reguły pokrywająca lewy dolny narożnik przestrzeni przesłanki

25 Metody sztucznej inteligencji - Technologie rozmyte i neuronowe 2015/2016 Systemy rozmyte – wnioskowanie Mamdani’ego II © Kazimierz Duzinkiewicz, dr hab. inż. Katedra Inżynierii Systemów Sterowania 25 Dziękuję za uwagę – koniec materiału prezentowanego podczas wykładu