1

2 Metody wnioskowania na podstawie podpróbMaria Czogała

3 METODA BOOTSTRAP

4 Załóżmy, że badamy populację ze względu na zmienną losową X o nieznanym rozkładzie F.Niech będzie próbą prostą wylosowaną z tej zbiorowości - realizacją próby x, oraz - pewną statystyką określoną na przestrzeni prób. - niech będzie estymatorem tego parametru.

5 Definicja: Próbą bootstrapową nazywamy wektor losowy taki, że dla są niezależnymi zmiennymi losowymi o rozkładzie F oraz m jest ustaloną liczbą naturalną.

6 W celu otrzymania realizacji próby bootstrap dokonuje się n-krotnego losowania ze zwracaniem spośród elementów oryginalnej próby. Ponieważ cała operacja przeprowadzana jest w oparciu związana jest jedynie z losowymi wyborami pewnego w każdym z n ciągnięć. o ustalone wartości więc losowość w próbie elementu spośród Zaobserwowaną realizację traktujemy jako populację, z której czerpiemy proste próby losowe.

7 Definicja: Bootstrapowym estymatorem parametru zmiennej losowej X jest statystyka postaci: rozkładu gdzie: N- pewna ustalona liczba naturalna dla , przy czym to k-ta próba bootstrapowa.

8 Metody bootstrapowe umożliwiają również estymacjęprzedziałową nieznanego parametru Znanych i wykorzystywanych jest wiele podejść do tego zagadnienia. W tej pracy zaprezentuję metodę wyznaczania przedziałów ufności dla parametru z wykorzystaniem metody percentyli. rozkładu zmiennej losowej X

9 Jeżeli to bootstrapową aproksymacją rozkładu statystyki jest estymatorem parametru stanowi rozkład statystyki postaci: gdzie: jest próbą bootstrapową odpowiadającą próbie losowej Rozkład ten jest wykorzystywany do budowy przedziału ufności dla parametru

10 Wyznaczamy percentyle rozkładu empirycznego zmiennej losowej otrzymanego w wyniku generowania N razy n-elementowych ciągów. Percentylem rzędu uporządkowanych niemalejąco, pod warunkiem, że , gdzie , jest wartość zajmująca pozycję o numerze w ciągu wartości jest liczbą całkowitą.

11 Jeżeli albo nie jest liczbą całkowitą, to percentylem jest wartość występująca na pozycji o numerze Przedziałem ufności dla parametru percentyli przy wiarygodności jest przedział postaci: otrzymanym metodą gdzie: są percentylami rzędu, odpowiednio rozkładu empirycznego statystyki wyznaczonego na podstawie wygenerowanych wartości.

12 METODA JACKKNIFE

13 Niech S będzie próbą n- elementową oraz niechestymatorem parametru Metoda Jackknife pozwala oszacować wariancję tego estymatora oraz podaje konstrukcję estymatora redukującego obciążenie wyjściowego estymatora rzędu

14 Próbę S dzielimy losowo na G zależnych grup o równychliczebnościach, a następnie dla każdej grupy obliczamy estymator parametru według tej samej reguły funkcyjnej co ale bazujący na obserwacjach nie należących do grupy. Następnie dla każdej grupy wyznaczamy: Wartości nazywamy pseudowartościami.

15 Definicja: Funkcję nazywamy estymatorem Jackknife

16 Wariancję Jackknife można określić na dwa sposoby:

17 Dziękuję za uwagę Maria Czogała