1 mgr inż. Artur Kujawski Teoria Pomiarów 1

2  Bielski A., Ciuryło R.; „Podstawy Metod Opracowania Pomiarów – Wykład dla początkujących”, Toruń 1998 r.  Suchecki W.; „Metody opracowania wyników pomiarów”; Politechnika Warszawska, Ośrodek Naukowo-Dydaktyczny w Płocku 1999 r. 2

3  Wprowadzenie;  Zasady zapisu wielkości fizycznych i ich jednostek;  Tabelaryczne przedstawianie danych;  Graficzne przedstawianie danych;  Graficzne oszacowanie błędu. 3

4 Jednym z najpoważniejszych i najczęściej spotykanych błędów popełnianych przez niedoświadczonych naukowców jest chao- tyczny zapis wyników pomiarów bądź obliczeń.  uporządkowanie danych;  opis danych oraz wielkości fizycznych;  zapis w postaci uporządkowanych zbiorów;  wyniki w postaci tabelarycznej;  wyniki w postaci graficznej. 4

5  Liczby, symbole jednostek miar, symbole pierwiastków chemicznych piszemy drukiem prostym (antykwą);  Symbole skalarnych wielkości fizycznych piszemy drukiem pochyłym (kursywą);  Symbole wielkości fizycznych wektorowych piszemy drukiem pochyłym półgrubym;  Symbole jednostek miar piszemy z jednym odstępem (spacją) po mierze wielkości fizycznej. 5

6 6

7 7

8 Tabele, w zależności od tego jakie związki między danymi chcemy w nich przedstawić, dzielimy na:  Jakościowe. Zamieszczamy zestawienia interesujących nas cech jakościowych.  Funkcyjne. Tabele funkcyjne przedstawiają zależność funkcyjną między wielkościami fizycznymi, np. zależność przebytej drogi od czasu. Czasami w takiej tabeli przedstawiamy wyniki kolejnych pomiarów (obliczeń) tej samej wielkości fizycznej.  Statystyczne. Podają zależność między grupami danych, z których jedna jest ujęta jakościowo i traktowana jako zmienna niezależna, a pozostałe ilościowo. 8

9 Zestawienie parametrów liny dynamicznej Edelweiss 10 mm 9

10 Średnia liczba unikalnych realizacji w zależności od n oraz B. 10

11 Zestawienie średnich miesięcznych sum opadów w latach 2000-2001 11

12  Każda tabela musi być opisana. Nad tabelą zamieszczamy informację co ona przedstawia. Jest to nagłówek tabeli. W nagłówku tabeli należy wyjaśnić symbole występujących wielkości oraz podać ich jednostki.  W przypadku gdy w opracowaniu występuje kilka tabel z takimi samymi oznaczeniami, to nie musimy ich opisywać przy każdej tabeli.  Jeżeli w danym opracowaniu występuje więcej niż jedna tabela, to muszą one być ponumerowane.  Dane zamieszczone w tabelach gru­pujemy w kolumnach. W jednej kolumnie zamieszczamy dane dotyczące jednej wielkości fizycznej. 12

13  Niezależnie od nagłówka tabeli każda kolumna powinna mieć swój nagłówek. Jeżeli w nagłówku tabeli nie po­dajemy jednostek, to należy je podać w nagłówkach kolumn.  Zazwyczaj w pierwszej kolumnie tabeli zamieszczamy liczbę porządkową.  W następnej kolumnie zamieszczamy zmienną niezależną, a w następnych tabelaryzowane wielkości.  Jeżeli tabela nie mieści się na jednej stronie, to numerujemy poszczególne kolumny. Numery kolumn wpisujemy w wierszu poniżej nagłówków kolumn. Na następnych stronach nie zamieszczamy nagłówków kolumn, a jedynie ich numery. 13

14 Stosujemy wtedy, gdy mierzymy dwie lub więcej wielkości fizycznych, związanych jakąś zależnością funkcyjną, np. y = f(x). Wykres zależności y = f(x), w przeciwieństwie do tabeli zawierającej wyniki pomiarów, stanowi najbardziej poglądowe przedstawienie zależności funkcyjnej, jest jej „obrazem”. 14

15 W badaniach fizycznych graficznym przedstawieniem wyników posługujemy się przede wszystkim, gdy:  chcemy porównać wyniki pomiarów z przewidywaniami teoretycznymi; występowanie systematycznych różnic oznacza niezgodność danych doświadczalnych z przewidywaniami teoretycznymi i może wskazywać na konieczność uściślenia teorii;  w przypadku braku danych teoretycznych chcemy przewidzieć typ zależności funkcyjnej między mierzonymi wielkościami lub gdy chcemy ustalić zależność empiryczną między dwiema wielkościami, jest to przypadek występujący szczególnie często przy kalibracji przyrządów pomiarowych; 15

16  chcemy graficznie wyznaczyć wartość jakiejś wielkości występującej w zależności funkcyjnej (ten sposób w związku z rozwojem metod komputerowych jest coraz rzadziej stosowany);  wyznaczonej zależności funkcyjnej nie można przybliżyć żadną prostą zależnością (np. pętla histerezy), w tym przypadku wykres stanowi ostateczną formę przedstawienia wyników;  badamy rozkład wyników pomiarów w danej serii, sporządzamy wtedy histogramy. 16

17 Jeżeli to możliwe należy dobrać układ współrzędnych x, y aby wykreślona „krzywa” była linią prostą. Jeżeli podawana wielkość jest postaci:  y = ax b – przedstawiamy je we współ. log(y) – log (x)  y = ab x – przedstawiamy je we współ. log(y) – liniowych (x)  y = ab -x – przedstawiamy je we współ. log(y) – x -1  y = ax -1 – przedstawiamy je we współ. liniowych(y) – x -1  y = ax 2 + b – przedstawiamy je we współ. liniowych(y) – x 2  y = ax + b – przedstawiamy je we współ. liniowych(y) – – liniowych(x) 17

18 A) Wykres mało użyteczny — nieprawidłowy. B) Te same wyniki przedsta­wione w prawidłowy sposób Wybierając skalę należy przestrzegać następujących reguł:  punkty doświadczalne nie mogą być zgrupowane na małym fragmencie rysunku (A) i powinny pokrywać cały wykres (B), skala nie musi zaczynać się od zera; 18

19 Na wykresach powinny być zaznaczone niepewności pomiarowe. Można je zaznaczać na przykład za pomocą symboli. Każdy rysunek musi być zaopatrzony w podpis, w którym podajemy, jaką zależność on przedstawia. Oprócz tego podpis pod rysunkiem musi zawierać objaśnienie stosowanych symboli. W przypadku gdy do tekstu jest dołączonych kilka rysunków z tymi samymi oznacze- niami, to należy objaśnić je na pierw­szym rysunku, na którym one występują, a na następnym można zamieścić uwagę: Oznaczenia jak na rys. 19

20 Przebieg badanej zależności pomiędzy punktami doświadczalnymi prowadzimy krzywą gładką, albo jeśli znamy postać zależności funkcyjnej, to znajdujemy ją metodą najmniejszych kwadratów. Łączenie ze sobą poszczególnych punktów doświadczalnych jest nieprawidłowe i może sugerować skokowy charakter zależności, co nie zawsze ma miejsce. A) Nieprawidłowe prowadzenie linii na wykresie.; B) Prawidłowo 20

21 Jeżeli na wykresie przedstawiamy porównanie przewidywań teoretycznych z wynikami pomiarów muszą one bardzo odróżniać się od punktów doświadczalnych, podobnie postępujemy w przypadku dopasowania funkcji do danych doświadczalnych metodą najmniejszych kwadratów. A) Wyniki pomiarów położenia w rzucie ukośnym z wieży o wys. H=10m; B) Wyniki pomiarów prędkości i dopasowania metodą najmniejszych kwadratów prostej. 21

22 Nanoszenie granic błędów punktów pomiarowych jest konieczne, gdy występują odstępstwa od przewidywań teoretycznych. Zaznaczanie błędów pomiarowych, gdy wszystkie pomiary są obarczone tym samym błędem, może być ograniczone do jednego punktu, w przeciwnym razie należy zaznaczać błędy dla wszystkich punktów. W przypadkach gdy nanoszenie błędów nie wnosi żadnych informacji, nie nanosimy ich, ponieważ zaciemniałyby jedynie wykres. A) Naniesienie granic błędów sugeruje zgodność wyników z poprowadzoną krzywą; B) to samo, ale błędy mniejsze, odchylenie od krzywej wskazuje na istotne różnice 22

23 Wyniki dużej liczby N pomiarów, przedstawiamy na ogół w postaci rozkładu zmiennej x. Odkładając na osi y liczbę pomiarów zawartych w elementarnym przedziale  x otrzymujemy linie schodkową – histogram jednowymiarowy. Czasami zamiast liczby pomiarów na osi y odkładamy częstość występowania zmiennej x, tj. stosunek liczby  wyników pomiarów w zadanym przedziale  x. A) Przykładowy wykres danych pomiarowych. B) Histogram jednowymiarowy dla przedstawionych danych. 23

24 24 A) Sygnały analogowe. B) Próbkowanie sygnałów – dyskretyzacja w dziedzinie czasu. A B

25 25

26  Dane odczytujemy z wykresu wówczas, gdy nie możemy dopasować do wyników pomiarów zależności funkcyjnej metodą najmniejszych kwadratów. Błąd ten można oszacować graficznie. Graficzne oszacowanie błędu polega na oszacowaniu błędu wykreślonej krzywej, a następnie na ocenie błędu wielkości odczytanej z wykresu.  Oszacowanie błędu jest niezależne od tego czy na wykresie zaznaczono błędy maksymalne, czy odchylenia standardowe; w opisie wykresu musi to być jednak wyraźnie zaznaczone. Należy jednak zaznaczyć, że na ogół graficznie oszacowujemy błąd maksymalny. 26

27 Załóżmy, że dokonaliśmy N pomiarów zależnych wielkości fizycznych x oraz y. W wyniku pomiarów otrzymaliśmy więc N par wartości (x i,y i ) (i = 1,2, …, N). Zazwyczaj pierwszy punkt obieramy na początku wykresu, a ostatni na końcu, pomiędzy nimi powinien być co najmniej jeden punkt. Obrane punkty oznaczono kółkiem (o). Wokół obranych punktów rysujemy prostokąty błędów i przez ich wierzchołki prowadzimy jedną krzywą powyżej, a drugą poniżej wykreślonej krzywej. Krzywe te na rysunku wykreślone są linią przerywaną czasem są nazywane krzywymi błędu. Przykład graficznego przedstawienia przedziału, w którym zawarta jest wykreślona krzywa. 27

28 Jeżeli prostokąty błędów wszystkich zmierzonych punktów (x i, y i ) (i = 1,2,..., N) są takie same, to prostokąty błędów w obranych punktach będą jednakowe i równe prostokątom błędów punktów zmierzonych. 28 Jeżeli znamy odchylenia standardowe (a nie błędy maksymalne), to zakładamy określony poziom ufności i korzystając z dystrybuanty rozkładu normalnego standaryzowanego bądź rozkładu t-Studenta znajdujemy przedziały ufności, a następnie wykreślamy odpowiadające im prostokąty błędów. W przypadku gdy poszczególne pary (x i, y i ) mają różne prostokąty błędów, to na końcach wykresu prostokąty błędu obranych punktów muszą być równe odpowiednim prostokątom błędu punktów skrajnych (x, y) w punktach obranych między punktami skrajnymi, prostokątom błędów im najbliższych punktów.

29 Wykres A przedstawia sposób oceny błędu wartości y A przy znanej wielkości x A. Wykres B przedstawia sposób oceny błędu wartości y A przy wartości x A obarczonej błędem  x. Ocena błędu wartości odczytanej z wykresu zmiennej y. A) błąd zmiennej x jest do pominięcia; B) błędu zmiennej x nie można pominąć 29

30 Odczytujemy z wykresu współrzędne (x p,y p ) punktu przecięcia się krzywych. Dla każdej krzywej w pobliżu punktu przecięcia wykreślamy krzywe błędu. Punkt przecięcia oznaczono kółkiem (o), a krzywe błędu liniami przerywanymi. Ocena błędu współrzędnych punktu przecięcia krzywych W pobliżu punktu przecięcia obszary ograniczone krzywymi błędu częściowo się pokrywają. Na rysunku jest to obszar zakreskowany. Punkty skrajne zakresko- wanego obszaru, oznaczone na rysunku gwiazdkami (*), wyznaczają granice błędu współrzędnych punktu przecięcia 30

31 ____________________ 31