1 mgr inż. Ryszard Chybicki Zespół Szkół PonadgimnazjalnychLiczby zespolone Prezentację wykonali uczniowie Zespołu Szkół Ponadgimnazjalnych w Szczucinie: Sławomir Babiec Tomasz Warzecha Krystian Kapel Marcin Grzesiak autor i opiekun pracy: mgr inż. Ryszard Chybicki Zespół Szkół Ponadgimnazjalnych W Szczucinie

2 nazywamy uporządkowanąLiczbą zespoloną (a, b) nazywamy uporządkowaną parę liczb o następujących trzech własnościach:

3 Dwie liczby zespolone (a, b) i (c, d) są sobie równe, gdy a= c i b= dSuma dwóch liczb zespolonych (a, b) i (c, d) jest to liczba zespolona określona w następujący sposób: Iloczyn dwóch liczb zespolonych (a, b) i (c, d) jest to liczba zespolona, powstała w wyniku mnożenia określonego w następujący sposób:

4 Powyższe trzy właściwości stanowią aksjomaty liczb zespolonych to znaczy przyjmowane są bez dowodu

5 Właściwości liczb zespolonych: Równość liczb zespolonych jest:zwrotna - tzn. (a,b)=(a,b) symetryczna - tzn. jeżeli (a, b)=(c, d) to (c, d)=(a,b) przechodnia - tzn. jeżeli (a, b)=(c, d) i (c, d)=(e, f) to (a, b)=(e, f)

6 Dodawanie liczb zespolonych jest: Dodawanie liczb zespolonych jest: przemienne - tzn: (a, b) + (c, d) = (c, d) + (a, b) łączne - tzn: [(a, b) + (c, d)] + (e, f) = (a, b) + [(c, d) + (e, f)]

7 Mnożenie liczb zespolonych jest: Mnożenie liczb zespolonych jest: przemienne - tzn.: (a, b)(c, d) = (c, d)(a, b) łączne - tzn.: [(a, b)(c, d)](e, f) = (a, b)[(c, d)(e, f)] rozdzielne względem dodawania - tzn.: [(a, b) + (c, d)](e, f) = (a, b)(e, f) + (c, d)(e, f)

8 Różnica liczb zespolonych Spróbujmy rozwiązać następujące równanie: (c, d) + (x, y) = (a, b) w którym liczba zespolona (x, y) jest niewiadomą: mamy: (c, d) + (x, y) = (c + z, d + y) = (a, b) stąd: c + z = a , d + y = b czyli: x = a - c , y = b - d

9 Rozwiązanie równania (liczbę (x, y)) oznaczamy (a, b) - (c, d) i nazywamy różnicą liczb zespolonych(a, b) - (c, d) = (a- c, b- d)

10 Odejmowanie jest wykonalne dla wszystkich liczb zespolonychOdejmowanie jest wykonalne dla wszystkich liczb zespolonych. Zbiór liczb zespolonych zawiera także liczbę zero. Definiujemy ją jako rozwiązanie równania. (a, b) + (x, y) = (a, b) czyli zerem jest liczba (0, 0)

11 Iloraz liczb zespolonychSpróbujmy rozwiązać następujące równanie: (c, d)(x, y) = (a, b) w którym liczba zespolona (x, y) jest niewiadomą. Mamy: (c, d)(x, y) = (cx - dy, cy + dx) = (a, b) stąd; cx – dy = a i cy + dy = b

12 Rozwiążmy układ tych dwóch równań z dwiema niewiadomymi:Obliczmy y z pierwszego równania i podstawmy do drugiego: wstawiając wyznaczony x otrzymamy że:

13 Zatem to jedyne rozwiązanie równania(czyli liczbę zespoloną (x, y)) oznaczamy nazywamy ilorazem liczb zespolonych:

14 Oczywiście dzielenie jest wykonalne dla wszystkich liczb zespolonych oprócz przypadku, gdy dzielnik jest zerem. Liczbę (a, 0) utożsamiamy z liczbą rzeczywistą a czyli:

15 Jest to możliwe dlatego, że liczba (a, 0) ma własności liczby rzeczywistej:(a, 0) + (b, 0) = (a+b, 0) (a, 0)(b, 0) = (ab, 0) Nie można tego zrobić z liczbami typu (0, a), (0, b) bo np.: (0, a)(0, b) = (- ab, 0) i (0, a) + (0, b) = (0, a + b) zatem nie ma analogii w przypadku liczb typu (0, a) i (b, 0)

16 Należy zwrócić uwagę na następujące działanie:(0, a) = (a, 0)(0, 1) = (0, 1)(a, 0) oznaczmy zatem oznaczamy :

17 Postać kanoniczna liczby zespolonej.Korzystając z poprzednich równań o liczbach zespolonych spróbujmy zapisać liczbę (a, b) bez nawiasów: (a, b) = (a, 0) + (0, b) = a + (0, b) = a + (0, 1)(b, 0) = a + jb czyli (a, b) = a + jb

18 Postać a+jb nazywamy postacią kanoniczną liczby zespolonej (a,b)A = re (a + jb) - część rzeczywista liczby zespolonej B = im (a + jb) część urojona liczby zespolonej

19 Liczbę zespoloną, której część urojona jest zerem, nazywamy liczbą rzeczywistą. Liczbę zespoloną, której część rzeczywista jest zerem, nazywamy liczbą urojoną.

20 Od tej pory liczby zespolone będziemy oznaczać literą „z” z indeksem:z = x + jy np.

21 Liczby zespolone podlegają działaniom identycznym jak liczby rzeczywiste np.:Jeżeli i to Jeżeli to Jeżeli to

22 Liczba sprzężona Każdej liczbie zespolonej z można podporządkować liczbę z nią sprzężoną

23 Jeżeli z = re(z) + im(z) to z powyższego wynika, że jeżeli to iloczyn

24 Interpretacja geometryczna liczby zespolonej.

25 Modułem liczby zespolonej z= x + jy nazywamy nieujemną liczbę rzeczywistą :Argumentem liczby zespolonej z = x + jy nazywamy miarę kąta, jaki tworzy wektor z z osią Re(z) (rys.)

26 Istnieje nieskończenie wiele miar kątów, jakie tworzy wektor z z osią x, różniących się wielokrotnością kąta 2p. Stąd też istnieje nieskończenie wiele argumentów liczby zespolonej z. Jednak ten kąt, którego miara zawiera się w przedziale (-p,p> nosi nazwę argumentu głównego liczby zespolonej z i dla odróżnienia od pozostałych argumentów oznaczamy go dużą literą: Arg(z)

27 Korzystając z tych zależności można zapisać trygonometryczną postać liczby zespolonej:

28 Mnożenie liczb zespolonychNiech będą dane i obliczamy iloczyn :

29 Z powyższego wynika, że: iBardzo prosto można wykazać, że iloczyn skończonej liczby liczb zespolonej wynosi:

30 Potęgowanie jest szczególnym przypadkiem mnożenia, korzystając z powyższego wzoru mamy: iczyli

31 Wzór Moivre’a Łącząc ten wzór i dwumian Newtona mamy:gdy r = 1 to Wzór Moivre’a Łącząc ten wzór i dwumian Newtona mamy:

32 Dzielenie liczb zespolonychOznaczamy czyli

33 Twierdzenie ogólne o dzieleniu otrzymamy pisząc:W wyniku otrzymamy liczbę zespoloną, której:

34 Pierwiastek z liczby zespolonejNiech: Znaczy to, że

35 Zgodnie z zasadami potęgowaniaZatem A stąd wynika że:

36 Ponieważ: Więc gdy k=n to pierwiastki by się powtarzały. Istnieje zatem „n” różnych pierwiastków z liczby

37 Ostatecznie

38 Koniec prezentacji