1 Michał Łasiński Paweł WitkowskiUkłady kombinacyjne Michał Łasiński Paweł Witkowski

2 Układy cyfrowe dzieli się na dwie podstawowe grupy:Układy kombinacyjne W układach kombinacyjnych każda kombinacja sygnałów wejściowych określa jednoznacznie kombinację sygnałów wyjściowych. Układ kombinacyjny Wejście Wyjście

3 Układy sekwencyjne W układach sekwencyjnych stan wejść nie określa w sposób jednoznaczny stanu wyjść. Słowo wyjściowe zależy także od poprzednich stanów wyjściowych oraz ich kolejności występowania. Układ ten musi być wyposażony dodatkowo w pamięć, ponieważ uzależnia swe działanie również od wcześniej występujących stanów wejściowych. Dlatego układy sekwencyjne nazywa się także układami kombinacyjnymi z pamięcią. Układy sekwencyjne dzieli się na synchroniczne i asynchroniczne. *Schemat poglądowy sekwencyjnego układu synchronicznego Układ kombinacyjny wejście wyjście Przerzutnik (pamięć układu) Wyjścia przerzutników Wejścia przerzutników Zegar

4 Funktory (bramki) Funktorami nazywamy podstawowe układy kombinacyjne realizujące funkcje logiczne. Są to kombinacyjne układy cyfrowe realizujące funkcje logiczne takie jak: AND, OR, NOT, NAND, NOR, Ex-OR, Ex-NOR.

5 Bramka OR (LUB) Bramka OR realizuje funkcje sumy logicznej zmiennych wejściowych. Bramka posiada dwa lub więcej wejść.

6 Bramka AND (I) Bramka AND realizuje funkcje iloczynu logicznego zmiennych wejściowych. Bramka posiada dwa lub więcej wejść.

7 Bramka NOT (NIE) Bramka NOT realizuje funkcję negacji zmiennej wyjściowej. Bramka jest układem o jednym wejściu. Kółko w bramce realizuje funkcję inwersji, może być umieszczone po stronie wejścia lub wyjścia.

8 Bramka NAND (NIE I) Bramka NAND realizuje funkcję negacji iloczynu zmiennych wejściowych. Bramka posiada dwa lub więcej wejść. Bramką NAND można zrealizować operację iloczynu logicznego jak i operację negacji.

9 Bramka NOR (NIE LUB) Bramka NOR realizuje funkcję negacji sumy. Bramka posiada dwa lub więcej wejść. Bramką NOR można zrealizować operację sumy logicznej jak i operację negacji.

10 Bramka Ex-OR (XOR, ALBO)_ _ Bramka Ex-OR realizuje funkcję f(A, B) = AB + AB = A B Bramka ta umożliwia bardzo oszczędną realizacje układu. +

11 Bramka Ex-NOR (NIE ALBO)_ _ Bramka Ex-NOR realizuje funkcję f(A, B) = AB + AB = A B Bramka ta umożliwia bardzo oszczędną realizacje układu. X

12 System funkcjonalnie pełny (SFP)Zbiór funktorów, który pozwala zrealizować dowolną funkcję logiczną nazywamy systemem funkcjonalnie pełnym. Oznacza to, że wystarczy dysponować dwoma rodzajami funktorów na przykład AND i NOT, aby zrealizować dowolny układ. Wielką przydatnością w realizowaniu układów cieszą się prawa DeMorgana. I Prawo _____ _ _ A + B = AB II Prawo __ _ _ AB = A + B

13 Dysponując bramkami NOT i AND, realizacja bramki ORPrzykład I Dysponując bramkami NOT i AND, realizacja bramki OR A A + B B

14 Dysponując bramkami OR i NOT, realizacja bramki ANDPrzykład II Dysponując bramkami OR i NOT, realizacja bramki AND A AB B

15 Dysponując bramkami NAND stworzyć bramkę NORPrzykład III Dysponując bramkami NAND stworzyć bramkę NOR A _ _ A + B B

16 Dysponując bramkami NOR realizacja bramki NANDPrzykład IV Dysponując bramkami NOR realizacja bramki NAND A __ AB B

17 Tablica prawdy (tablica funkcji, tablica wierności)W wierszach tablicy prawdy wpisuje się wszystkie kombinacje zero-jedynkowe zmiennych niezależnych. Wierszy takich jest 2n, gdzie n jest liczbą zmiennych. Ostatnia kolumna jest przeznaczona do wpisania wartości funkcji dla poszczególnych słów wejściowych. Zwykle wszystkie możliwe kombinacje wpisujemy tak, aby stanowiły one kolejne liczby dziesiętne zapisane w systemie dwójkowym.

18 Przykład Zaprojektować układ z elementów AND, OR, NOT o trzech wejściach c, b, a, wyróżniający sygnałem wyjściowym y=1 przypadki, gdy na wejściu pojawi się liczba dwójkowa nieparzysta lub podzielna przez 3. Sygnał a odpowiada najmłodszemu bitowi słowa wejściowego. W każdej kombinacji wejściowej co najmniej jeden z sygnałów wejściowych (cba) jest różny od zera. c b a y - 1 2 3 4 5 6 7

19 Za pomocą tej tablicy tworzy się minimalizacje.Tablica Karnaugha Tablice Karnaugha wykorzystujemy do minimalizacji funkcji maksymalnie 6 zmiennych. Tablice te nazywa się również metodą graficzną. Cyfry w tej tablicy opisane są za pomocą kodu Graya (kodem dwójkowym, w którym kolejne słowa różnią się tylko na jednej pozycji). Tak zapisana tablica umożliwia nam sąsiadowanie jedynek i zer które podlegać będą sklejeniu. Za pomocą tej tablicy tworzy się minimalizacje. ba dc 00 01 11 10 1 3 2 4 5 7 6 12 13 15 14 8 9

20 Postać kanoniczna Postać kanoniczna jest to umowna nazwa sposobu opisywania obiektów matematycznych. Postać ta ułatwia porównanie opisywanych obiektów. Rozróżniamy dwie postacie: kanoniczną postać sumy (KPS) oraz kanoniczną postać iloczynu (KPI). Aby uzyskać postać kanoniczną dowolnej funkcji f(x1,x2,…xn) należy skorzystać z twierdzeń o rozkładzie: Dowolną funkcję rozkładając na dwa składniki (KPS) _ f(x1,x2,…,xn) = x1f(1,x2…,xn) + x1f(0,x2,…,xn) oraz na dwa czynniki (KPI). F(x1,x2,…,xn)=[x1+f(0,x2,…,xn)][x1+f(1,x2,…,xn)]

21 Minimalizacja Minimalizacja jest to poszukiwanie takiej postaci funkcji opisującej działanie danego układu w którym występuje minimalna liczba znaków, bramek itp. Układ o mniejszej liczbie elementów jest tańszy i bardziej niezawodny.

22 Przykład I Minimalizacja za pomocą tablicy Karnaugha zapisanej w postaci kanonicznej postaci sumy oraz za pomocą kanonicznej postaci iloczynowej. f(c, b, a) = Σ[1, 3, 5, 6, 7, (0)] a cb 1 00 - 01 11 10 a cb 1 00 - 01 11 10 f(c,b,a) = cb + a F(c,b,a) = (c+a)(b+a)

23 cb(a+a) = ca + ca + cb = cb + a(c+c) = cb + aPrzykład II Minimalizacja funkcji za pomocą kanonicznej postaci sumy oraz za pomocą bramek logicznych. _ _ _ _ _ _ _ _ f(c,b,a)=Σ[1,3,5,6,7] = cba + cba +cba +cba + cba + cba = ca(b+b) + ca(b+b) + _ _ _ cb(a+a) = ca + ca + cb = cb + a(c+c) = cb + a

24 c b a cb+a

25 Przykład III Minimalizacja funkcji za pomocą kanonicznej postaci iloczynowej oraz za pomocą bramek logicznych. _ _ F(c,b,a)=Π[2,4,(0)]= (c + b + a)(c + b + a)(c + b + a)(c + b + a)= (c + a)(b + a)

26 c b a (c+a)(b+a)