1 Mini-video 1 de 3 Sistemas de ecuaciones linealesMateria: Concepto. Teorema de Rouché

2 Sistemas de ecuaciones linealesSe definen:

3 Sistemas de ecuaciones linealesSe definen: Ejemplos:

4 Sistemas de ecuaciones linealesForma vectorial de un sistema:

5 Sistemas de ecuaciones linealesForma vectorial de un sistema: Forma matricial:

6 Sistemas de ecuaciones linealesConcepto de solución.

7 Sistemas de ecuaciones linealesConcepto de solución. Ejemplo:

8 Sistemas de ecuaciones linealesConcepto de solución. Ejemplo:

9 Sistemas de ecuaciones linealesClasificación: - Compatibles (determinados/indeterminados) - Incompatibles

10 Sistemas de ecuaciones linealesClasificación: - Compatibles (determinados/indeterminados) - Incompatibles Ejemplos:

11 Sistemas de ecuaciones linealesClasificación: - Compatibles (determinados/indeterminados) - Incompatibles Ejemplos: Soluciones:

12 Sistemas de ecuaciones linealesSistemas homogéneos

13 Sistemas de ecuaciones linealesSistemas homogéneos Ejemplo:

14 Sistemas de ecuaciones linealesTeorema de Rouché-Frobenius

15 Sistemas de ecuaciones linealesTeorema de Rouché-Frobenius Ejemplo 1:

16 Sistemas de ecuaciones linealesTeorema de Rouché-Frobenius Ejemplo 1:

17 Sistemas de ecuaciones linealesEjemplo 2:

18 Sistemas de ecuaciones linealesEjemplo 2:

19 Sistemas de ecuaciones linealesEjemplo 2: Ejemplo 3:

20 Sistemas de ecuaciones linealesEjemplo 2: Ejemplo 3:

21 Sistemas de ecuaciones linealesEjemplo 4: Determinar, para los distintos valores del parámetro «a» la existencia de solución del sistema: :

22 Sistemas de ecuaciones linealesEjemplo 4: Determinar, para los distintos valores del parámetro «a» la existencia de solución del sistema: Calculamos el determinante de la matriz de coeficientes:

23 Sistemas de ecuaciones linealesEjemplo 4: Determinar, para los distintos valores del parámetro «a» la existencia de solución del sistema: Calculamos el determinante de la matriz de coeficientes: Si este determinante es distinto de cero, el rango de A y el de la matriz ampliada, A*, serán iguales y el sistema será compatible y determinado.

24 Sistemas de ecuaciones linealesEjemplo 4: Determinar, para los distintos valores del parámetro «a» la existencia de solución del sistema: Calculamos el determinante de la matriz de coeficientes: Si este determinante es distinto de cero, el rango de A y el de la matriz ampliada, A*, serán iguales y el sistema será compatible y determinado. Veamos los valores de «a» para los que se anula el determinante:

25 Sistemas de ecuaciones linealesLuego ya podemos afirmar: Si a1,-2: R(A)=R(A*)=3  Compatible y determinado

26 Sistemas de ecuaciones linealesLuego ya podemos afirmar: Si a1,-2: R(A)=R(A*)=3  Compatible y determinado Veamos que pasa si a=1:

27 Sistemas de ecuaciones linealesLuego ya podemos afirmar: Si a1,-2: R(A)=R(A*)=3  Compatible y determinado Veamos que pasa si a=1: Luego si a=1: R(A)=R(A*)=1  Compatible e indeterminado

28 Sistemas de ecuaciones linealesVeamos que pasa si a=-2:

29 Sistemas de ecuaciones linealesVeamos que pasa si a=-2: Calculamos:

30 Sistemas de ecuaciones linealesVeamos que pasa si a=-2: Calculamos: Luego si a=-2: R(A)=2, R(A*)=3  Incompatible

31 Mini-video 2 de 3 Sistemas de ecuaciones linealesMateria: Resolución de Sistemas Lineales

32 Sistemas de ecuaciones linealesSistemas equivalentes

33 Sistemas de ecuaciones linealesSistemas equivalentes Ejemplos:

34 Sistemas de ecuaciones linealesSistemas equivalentes Ejemplos: Se obtienen: - Intercambiando entre sí dos ecuaciones - Multiplicando una ecuación por un número  0 - Sumándole a una ecuación otra multiplicada por un número real cualquiera.

35 Sistemas de ecuaciones linealesAntes de resolver un sistema por alguno de los métodos que veremos a continuación, hemos de aplicar el teorema de Rouché y, si tiene solución, obtener otro equivalente cuya matriz sea de rango completo.

36 Sistemas de ecuaciones linealesAntes de resolver un sistema por alguno de los métodos que veremos a continuación, hemos de aplicar el teorema de Rouché y, si tiene solución, obtener otro equivalente cuya matriz sea de rango completo. Ejemplo:

37 Sistemas de ecuaciones linealesAntes de resolver un sistema por alguno de los métodos que veremos a continuación, hemos de aplicar el teorema de Rouché y, si tiene solución, obtener otro equivalente cuya matriz sea de rango completo. Ejemplo: Resulta que: Rango(A) =rango(A*)=2

38 Sistemas de ecuaciones linealesAntes de resolver un sistema por alguno de los métodos que veremos a continuación, hemos de aplicar el teorema de Rouché y, si tiene solución, obtener otro equivalente cuya matriz sea de rango completo. Ejemplo: Resulta que: Rango(A) =rango(A*)=2 Con lo que resulta que hemos de sustituir el sistema por otro equivalente que tenga solo 2 ecuaciones:

39 Sistemas de ecuaciones linealesTenemos que:

40 Sistemas de ecuaciones linealesCualquiera de ellas nos valdrá. Por ejemplo:

41 Sistemas de ecuaciones linealesCualquiera de ellas nos valdrá. Por ejemplo: A este sistema le aplicaremos ya cualquiera de los métodos de resolución que veremos a continuación.

42 Sistemas de ecuaciones linealesDefinición: El sistema Ax=b es Cramer si m=n y Det(A)≠0

43 Sistemas de ecuaciones linealesDefinición: El sistema Ax=b es Cramer si m=n y Det(A)≠0 Teorema: Todo sistema Cramer es compatible determinado

44 Sistemas de ecuaciones linealesDefinición: El sistema Ax=b es Cramer si m=n y Det(A)≠0 Teorema: Todo sistema Cramer es compatible determinado Resolución de sistemas Cramer: - reducción - sustitución - igualación

45 Sistemas de ecuaciones linealesDefinición: El sistema Ax=b es Cramer si m=n y Det(A)≠0 Teorema: Todo sistema Cramer es compatible determinado Resolución de sistemas Cramer: - reducción - sustitución - igualación - matriz inversa Ax=b; x=A-1b

46 Sistemas de ecuaciones linealesDefinición: El sistema Ax=b es Cramer si m=n y Det(A)≠0 Teorema: Todo sistema Cramer es compatible determinado Resolución de sistemas Cramer: - reducción - sustitución - igualación - matriz inversa Ax=b; x=A-1b - Regla de Cramer (Ejemplo) Resolver mediante la Regla de Cramer el sistema:

47 Sistemas de ecuaciones linealesTenemos:

48 Sistemas de ecuaciones linealesSistemas Indeterminados

49 Sistemas de ecuaciones linealesSistemas Indeterminados Incógnitas principales y secundarias

50 Sistemas de ecuaciones linealesSistemas Indeterminados Incógnitas principales y secundarias Resolución: paso a sistema Cramer Ejemplo: Resolver

51 Sistemas de ecuaciones linealesSistemas Indeterminados Incógnitas principales y secundarias Resolución: paso a sistema Cramer Ejemplo: Resolver Solución:

52 Sistemas de ecuaciones linealesOjO con los sistemas mal condicionados

53 Sistemas de ecuaciones linealesOjO con los sistemas mal condicionados

54 Sistemas de ecuaciones linealesOjO con los sistemas mal condicionados

55 Sistemas de ecuaciones linealesOjO con los sistemas mal condicionados

56 Sistemas de ecuaciones linealesMétodo de Gauss Sea Ax=b y A*=(A|b) El método consiste en obtener otro sistema equivalente con la matriz triangular o diagonal: De tal forma que Ax=b  I x=s  x=s que sería la solución del sistema.

57 Sistemas de ecuaciones linealesMétodo de Gauss Sea Ax=b y A*=(A|b) El método consiste en obtener otro sistema equivalente con la matriz triangular o diagonal: De tal forma que Ax=b  I x=s  x=s que sería la solución del sistema. Se puede utilizar en sistemas incompatibles / compatibles / determinados / indeterminados.

58 Sistemas de ecuaciones linealesEjemplo:

59 Sistemas de ecuaciones linealesEjemplo:

60 Sistemas de ecuaciones linealesEjemplo:

61 Sistemas de ecuaciones linealesEjemplo:

62 Sistemas de ecuaciones linealesEjemplo:

63 Sistemas de ecuaciones linealesEjemplo:

64 Sistemas de ecuaciones linealesEjemplo:

65 Sistemas de ecuaciones lineales

66 Sistemas de ecuaciones lineales

67 Sistemas de ecuaciones lineales

68 Sistemas de ecuaciones lineales

69 Sistemas de ecuaciones linealesLuego la solución es x1=1, x2=2, x3=3.

70 Sistemas de ecuaciones linealesMini-video 3 de 3 Materia: Prácticas con

71 Sistemas de ecuaciones linealesLa función RowReduce[ ] de Mathematica:

72 Sistemas de ecuaciones linealesLa función RowReduce[ ] de Mathematica:

73 Sistemas de ecuaciones linealesLa función Solve[ ] de Mathematica:

74 Sistemas de ecuaciones linealesLa función Solve[ ] de Mathematica:

75 Sistemas de ecuaciones linealesLa función Solve[ ] de Mathematica:

76 Sistemas de ecuaciones lineales

77 Sistemas de ecuaciones linealesOJO con los sistemas indeterminados:

78 Sistemas de ecuaciones linealesOJO con los sistemas indeterminados:

79 Sistemas de ecuaciones linealesOJO con los sistemas indeterminados:

80 Sistemas de ecuaciones lineales