1 Modelado y simulación en Ingeniería Química. Manuel RodríguezTema 5: Estimación de parámetros Modelado y simulación en Ingeniería Química. Manuel Rodríguez

2 Modelado y simulación en Ingeniería Química. Manuel RodríguezÍNDICE Introducción Regresión lineal Regresión lineal múltiple Regresión no lineal Modelado y simulación en Ingeniería Química. Manuel Rodríguez

3 Modelado y simulación en Ingeniería Química. Manuel Rodríguez1. Introducción Problema: Tenemos una serie de valores (normalmente discretos) experimentales. Estos valores relacionan una(s) variable(s) de entrada y una(s) de salida. Queremos obtener un modelo que nos permita saber los valores en cualquier punto entre esos valores discretos de que disponemos. 2 alternativas: Regresión: Una curva representa la tendencia general de los datos. Se emplea cuando los datos tienen bastante variabilidad. Interpolación: Una curva pasa por todos los datos experimentales. Se emplea cuando los datos apenas tienen variabilidad. Modelado y simulación en Ingeniería Química. Manuel Rodríguez

4 Modelado y simulación en Ingeniería Química. Manuel RodríguezVariablidad de los datos Media Desviación estándar Varianza Coeficiente de variación Modelado y simulación en Ingeniería Química. Manuel Rodríguez

5 Modelado y simulación en Ingeniería Química. Manuel Rodríguez2. Regresión lineal simple Dados unos datos y una relación lineal entre ellos Encontrar unos valores para 1 y 0 tal que hagan el error de la predicción mínimo. El modelo escogido es: Modelado y simulación en Ingeniería Química. Manuel Rodríguez

6 Modelado y simulación en Ingeniería Química. Manuel RodríguezQueremos minimizar el error, es decir, la diferencia entre el valor real y el modelo Posibles criterios para obtener los parámetros. Suma de errores Suma del valor absoluto del error Suma de los cuadrados de los errores Modelado y simulación en Ingeniería Química. Manuel Rodríguez

7 Modelado y simulación en Ingeniería Química. Manuel RodríguezAjuste por el método de Mínimos cuadrados Minimizar la suma de los cuadrados de los errores. Derivamos respecto de cada parámetro: Ax=b Problema lineal Modelado y simulación en Ingeniería Química. Manuel Rodríguez

8 Modelado y simulación en Ingeniería Química. Manuel RodríguezEjemplo xi yi 1 0.5 2 2.5 3 2.0 4 4.0 5 3.5 6 6.0 7 5.5 Modelado y simulación en Ingeniería Química. Manuel Rodríguez

9 Modelado y simulación en Ingeniería Química. Manuel RodríguezAnálisis de la estimación Propiedades del estimador 1 Suma de cuadrado de errores Desviacion típica de los datos y Desviacion típica residual Coeficiente de correlación Modelado y simulación en Ingeniería Química. Manuel Rodríguez

10 Modelado y simulación en Ingeniería Química. Manuel RodríguezEjemplo: Análisis de los resultados Desviacion típica residual Media de los errores e-016 Coeficiente de correlación Distribución de los errores Modelado y simulación en Ingeniería Química. Manuel Rodríguez

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12 Modelado y simulación en Ingeniería Química. Manuel RodríguezEstimación polinómica Polinomio de segundo orden Modelo Parámetros según mínimos cuadrados Sistema de ecuaciones lineales Modelado y simulación en Ingeniería Química. Manuel Rodríguez

13 Modelado y simulación en Ingeniería Química. Manuel RodríguezPolinomio de orden m Modelo Parámetros según mínimos cuadrados Sistema de ecuaciones lineales Modelado y simulación en Ingeniería Química. Manuel Rodríguez

14 Modelado y simulación en Ingeniería Química. Manuel Rodríguez3. Regresión lineal múltiple Ahora tenemos múltiples variables x que explican la variable y. Encontrar unos valores para todos los  tal que hagan el error de la predicción mínimo. El modelo escogido es: Modelado y simulación en Ingeniería Química. Manuel Rodríguez

15 Modelado y simulación en Ingeniería Química. Manuel RodríguezAjuste por el método de Mínimos cuadrados Minimizar la suma de los cuadrados de los errores. Derivamos respecto de cada parámetro: Poco robusto numéricamente Formulación para resolución numérica Modelado y simulación en Ingeniería Química. Manuel Rodríguez

16 Modelado y simulación en Ingeniería Química. Manuel RodríguezAnálisis de la estimación Matriz de varianzas y covarianzas Propiedades de los estimadores i Suma de cuadrado de errores Desviacion típica residual Coeficiente de determinación corregido Modelado y simulación en Ingeniería Química. Manuel Rodríguez

17 Modelado y simulación en Ingeniería Química. Manuel Rodríguez3. Regresión no lineal Modelo NO lineal Transformar el problema a uno de regresión lineal Se transforma en Modelo exponencial Ecuación en potencias Fracciones Se transforma en Se transforma en Modelado y simulación en Ingeniería Química. Manuel Rodríguez

18 Modelado y simulación en Ingeniería Química. Manuel RodríguezResolver el problema NO lineal directamente Linealizar aproximando según desarrollo en serie de Taylor Ajuste por mínimos cuadrados Iteración de regresiones lineales- Gauss-Newton. O emplear un algoritmo de optimización al problema: Levenberg-Marquadt Modelado y simulación en Ingeniería Química. Manuel Rodríguez