1 MODELE EPIDEMIOLOGICZNEhttps://pl.wikipedia.org/wiki/Diabe%C5%82_tasma%C5%84ski#/media/File:Tasdevil_large.jpg
2 CZYM JEST EPIDEMIA? epidemia [gr.], med. wystąpienie u ludzi zachorowań na określoną chorobę w określonym czasie i na określonym terenie w liczbie przypadków większej niż przeciętnie (PWN) Potocznie o epidemii mówimy, gdy liczba osobników chorych znacząco wpływa na wielkość populacji.
4 Dlaczego o DFTD to epidemia?W wyniku przeprowadzonych doświadczeń wykazano, iż komórki nowotworu same stanowią czynnik zakaźny. Przenoszone przez kontakt bezpośredni – pogryzienie, lub pobieranie tego samego pokarmu https://nicprostszego.files.wordpress.com/2013/03/diabel-tasmanski.png Badania genetyczne wykazały, iż zdrowa komórka diabła tasmańskiego ma 14 chromosomów, guz tylko 13 W wyniku mutacji komórka nowotworowa straciła możliwość ekspresji genów MHC odpowiadających za wytwarzanie na jej powierzchni białek – znaczników, dzięki którym układ immunologiczny zwierzęcia rozpoznaje komórkę nowotworową jako obcą i niszczy ją. W takiej sytuacji organizm diabła tasmańskiego w ogóle nie walczy z chorobą, uznając guzy za tkanki własne.
5 Wpływ na populację? Szacuje się, iż obecnie żyje od 10 do 25 tys. osobników diabła tasmańskiego. Co oznacza, że z populacji liczącej w latach 90 ubiegłego wieku 140 tys. osobników pozostało około 10%... W 1996 Międzynarodowa Unia Ochrony Przyrody zakwalifikowała diabła tasmańskiego jako gatunek najwyższej troski. W 2009 reklasyfikowano go jako gatunek zagrożony.
6 Co na to biomatematycy? Rozważamy izolowaną populację, a w niej 3 grupy osobników: S - (ang. susceptible) grupa zdrowych diabłów tasmańskich, które są podatne na infekcję; I - (ang. infected) grupa chorych diabłów, które mogą zarażać zdrowe; R - (ang. resistant and removed) grupa diabłów odpornych na raka oraz takich, które zmarły w wyniku choroby. Wprowadźmy współczynniki: tempo infekcji (r) tempo zdrowienia (a)
7 Założenia uproszczone:Ze względu na to, iż mamy do czynienia z populacją izolowaną, całkowitą liczbę osobników populacji opisuje równanie: S + I + 𝑁 0 = const. Zmianę liczebności poszczególnych grup obrazują równania: 𝑑𝑆 𝑑𝑡 =−𝑟𝑆𝐼 𝑑𝐼 𝑑𝑡 =𝑟𝑆𝐼−𝑎𝐼 𝑑𝑅 𝑑𝑡 =𝑎𝐼
8 Uzasadnienia równań: 𝑑𝑆 𝑑𝑡 =−𝑟𝑆𝐼 Ujemny współczynnik (r) wskazuje, że funkcja jest malejąca - liczba diabłów tasmańskich podatnych (S) zmniejsza się, ponieważ wciąż zarażane są nowe. Dodatkowo tempo ubytku osobników z tej grupy zależy wprost proporcjonalnie od rosnącej liczby chorych zwierząt. 𝑑𝐼 𝑑𝑡 =𝑟𝑆𝐼−𝑎𝐼 Drugie z równań mówi nam, iż liczba zwierząt chorych może zmieniać się dwojako; jeżeli wyraz po prawej stronie równania jest dodatni, to liczba chorych rośnie jeżeli wyraz ten jest ujemny, spada liczba zainfekowanych diabłów. 𝑑𝑅 𝑑𝑡 =𝑎𝐼 Pochodna ostatniego równania jest dodatnia a to oznacza, iż liczba osobników zmarłych lub wyzdrowiałych (R) rośnie.
9 Uzasadnienia równań: Jeżeli dodamy do siebie wszystkie trzy równania, to : 𝑑𝑆 𝑑𝑡 + 𝑑𝐼 𝑑𝑡 + 𝑑𝑅 𝑑𝑡 = 𝑑(𝑆+𝐼+𝑅) 𝑑𝑡 =−𝑟𝑆𝐼+ 𝑟𝑆𝐼−𝑎𝐼+ 𝑎𝐼=0 ⇒ 𝑆+𝐼+𝑅=𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. ⇒ 𝑆 𝑡 +𝐼 𝑡 +𝑅 𝑡 =𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡.= 𝑁 0 Oznacza to, że całkowita liczba osobników populacji nie zmieni się w czasie Zapisujemy ją: 𝑆 0 +𝐼 0 +𝑅 0 w początkowej chwili czasu.
10 SIR - Model Kermacka-McKendrickaAby zastosować ten model, nasze uproszczone założenia musimy nieco rozszerzyć. Przede wszystkim aby zaistniało zjawisko epidemii liczba chorych diabłów tasmańskich 𝑆 𝑡 musi być funkcją rosnącą w chwili 𝑡 0 =0 Jednocześnie 𝑆 𝑡 nie może być rosnąca przez cały czas, oznaczało by to bowiem, że epidemia nie została opanowana, w wyniku czego nastąpiła zagłada całej populacji diabła tasmańskiego. Jeżeli 𝑆 𝑡 było by funkcją malejącą w ogóle nie mieli byśmy do czynienia z epidemią. Jeżeli dwa pierwsze równania stworzą niezależny układ równań, którego prawe strony przyrównamy do zera, to otrzymamy równania opisujące stany stacjonarne epidemii: 𝑑𝑆 𝑑𝑡 =−𝑟𝑆𝐼, 𝑑𝐼 𝑑𝑡 =𝑟𝑆𝐼−𝑎𝐼=𝐼(𝑟𝑆−𝑎) I= 𝑆= 𝑎 𝑟
11 SIR - Model Kermacka-McKendrickaObliczając macierz Jacobiego: J(S,I) = −𝑟𝐼 −𝑟𝑆 𝑟𝐼 𝑟𝑆−𝑎 w punkcie stacjonarnym: J=J(a/r,0) = 0 −𝑎 0 0 otrzymujemy rachunek wartości własnych macierzy: 𝐽−𝜆𝐼 =0 Z powyższego wynika, iż analiza liniowa stabilności układu nie może być stosowana. Należy rozważyć relacje między współczynnikami: tempo infekcji (r) tempo zdrowienia (a)
12 Relacje między współczynnikami: r;aPrzypadek 1: r
13 Przedstawione wcześniej 2 przypadki relacji prowadzą do pojawienia się bądź nie pojawienia epidemii:𝑑𝐼 𝑑𝑡 =𝑟𝑆𝐼−𝑎𝐼=𝐼 𝑟𝑆−𝑎 Znak pochodnej w zerze to: 𝑑𝐼 𝑑𝑡 𝑡=0 =𝑟𝑆(0)𝐼(0)−𝑎𝐼(0)=𝐼(0) 𝑟𝑆(0)−𝑎 Jeżeli 𝑟𝑆 0 −𝑎>0 to funkcja 𝐼(𝑡)>𝐼0 rośnie i pojawia się epidemia. Jeżeli 𝑟𝑆 0 −𝑎<0 to funkcja 𝐼 𝑡 <𝐼0 maleje, epidemia nie pojawia się. Wartością progową jest wielkość: 𝑆 𝑐 = 𝑎 𝑟 ⇒𝑆 0 > 𝑆 𝑐
14 Gdzie 1 𝑎 jest przeciętnym okresem infekcji. p = 𝑎 𝑟 zależność tą definiujemy jako parametr krytyczny, zwany współczynnikiem usuwania zarażonych osobników z populacji (relative removal rate). 𝜎= 𝑟 𝑎 Odwrotnością parametru krytycznego jest σ zwana współczynnikiem kontaktu infekcji (contact rate). Iloczyn ilości diabłów tasmańskich podatnych na infekcję do współczynnika kontaktu infekcji 𝑅 0 = 𝑟 𝑆 0 𝑎 to zasadniczy współczynnik reprodukcji infekcji (basic reproduction rate). W uproszczeniu mówi on, ile osobników jest w stanie zarazić pierwszy chory diabeł tasmański? Gdzie 1 𝑎 jest przeciętnym okresem infekcji. Jeśli zasadniczy współczynnik reprodukcji infekcji R0 jest większy od 1, oznacza to, że mamy do czynienia z epidemią, ponieważ powstała więcej niż jedna wtórna infekcja od pierwotnej infekcji.
15 Graficznym rozwiązaniem układu równań (4) Graficznym rozwiązaniem układu równań 𝑑𝐼 𝑑𝑡 = −(𝑠𝑆−𝑎)𝐼 𝑟𝑆𝐼 =−1+ 𝑝 𝑆 𝑑𝑙𝑎 𝐼≠0⇒𝐼+𝑆−𝑝𝑙𝑛 𝑆= 𝐼 0 + 𝑆 0 −𝑝𝑙𝑛 𝑆 0 =𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡. jest zamieszczony poniżej wykres fazowych trajektorii: Rys. J.D. Murray Mathematical Biology, 1993 Literatura: J.D. Murray 1993, Mathematical Biology Rudnicki R Dynamika populacyjna. Monografia. Wrzosek D Matematyka dla biologów. Wydawnictwa Uniwersytetu Warszawskiego.