1 MODELO DE REGRESIÓN MÚLTIPLEECONOMETRIA MODELO DE REGRESIÓN MÚLTIPLE Mtro. Horacio Catalán Alonso

2 ui es el término de errorSean X1i, X2i,...,XKi, Yi para i = 1,2...,N que denotan una muestra de N observaciones para k+1 variables y se define una ecuación lineal: (1) 1, 2, ..., k son parámetros fijos y desconocidos que miden la combinación lineal de las varaibles ui es el término de error La teoría de la econometría ha desarrollado diferentes enfoques sobre la modelación, que dependen de los supuestos estadísticos del modelo de regresión múltiple

3 Supuestos del enfoque clásicoEl enfoque clásico asume que las variables explicativas (X’s) son fijas, es decir no son estocásticas, por lo tanto se tiene pleno control sobre ellas Este supuesto se mantiene considerando que las variables X’s son resultado de muestras independientes. En el caso de datos de sección cruzada cada observación es independiente por lo que se pueden tratar como regresores fijos

4 Supuesto 1. E(ui) = 0, para todo i = 1,. NSupuesto 1. E(ui) = 0, para todo i = 1,...N. El término aleatorio tiene esperanza igual a cero para todas las observaciones. Este supuesto implica que en promedio la relación entre Y y las X’s es exactamente lineal, aunque las realizaciones particulares de los ui's pueden ser distintas de cero Supuesto 2. Var(ui) = σ2; i = 1,...,N. La varianza del término aleatorio es constante para todas las observaciones. Esto se conoce como supuesto de homoscedasticidad

5 Supuesto 3. Cov(ui,uj) = 0, para todo i≠jSupuesto 3. Cov(ui,uj) = 0, para todo i≠j. Las covarianzas del término aleatorio entre dos observaciones distintas son iguales a cero. Si las observaciones se encuentran ordenadas a lo largo del tiempo esto implica que la correlación entre los términos aleatorios correspondientes a distintos periodos es nula. En este caso el supuesto se conoce como de no autocorrelación o no correlación serial

6 Supuesto 4. Los vectores formados con las observaciones de las variables explicativas (X’s) son no estocásticos y linealmente independientes. Esto ultimo implica que ningun vector de observaciones de las variables explicativas puede ser obtenido como una combinacion lineal de los restantes vectores

7 Propiedades estadísticas del modelo (enfoque clásico)media cero Varianza constante No existe correlación entre los términos de error Las variables explicativas no estocástica. Es decir no tiene propiedades estadísticas

8 Método de estimación: mínimos cuadrados ordinariosEl método de mínimos cuadrados ordinarios garantiza estimadores insesgados Pero no garantiza estimadores eficientes depende de la varianza de los errores

9 Representación matricialDonde Y representa un vector columna de Nx1 que contiene a la variable dependiente Xt es una matriz nxn que incluye a las variables exógenas Ut es un vector columna de nx1 que representa al término de error  es un vector columna de nx1 que contiene losparámetros a estimar

10 Representación matricial

11 Modelo de Regresión MúltipleEconometría Modelo de Regresión Múltiple donde Horacio Catalán Alonso

12 Econometría Horacio Catalán Alonso

13 Regresores no estocásticos Econometría Taller de Econometría Regresores no estocásticos X no son variables aleatorias: Es un matriz de valores constantes respecto a la distribución de probabilidad de Y y es la única variable aleatoria u captura los elementos no contemplados en el modelo. (es un error de medida sobre la variable y) Horacio Catalán Alonso

14 El componente sistemático se reduce a: Econometría Taller de Econometría El componente sistemático se reduce a: El componente no sistemático se define como: Spanos (1986) Horacio Catalán Alonso

15 Econometría Taller de Econometría El método de mínimos cuadrados ordinarios garantiza (bajo los supuestos 1.i, 1.ii, 1.iii, y 1.iv) estimadores insesgados y eficientes. Los estimadores de mínimos cuadrados ordinarios se define como el valor que minimiza la suma de errores al cuadrado. Horacio Catalán Alonso

16 La expresión 7 define la distancia entre Y y XbEconometría Taller de Econometría  La expresión 7 define la distancia entre Y y Xb Horacio Catalán Alonso

17 La estimación de MCO define la mejor aproximación lineal a y usando X. Econometría Taller de Econometría La estimación de MCO define la mejor aproximación lineal a y usando X. Bajo el principio de la distancia se podría definir un estimador de la mínima distancia (MD). Horacio Catalán Alonso

18 Se obtiene la derivada con respecto a b Econometría Taller de Econometría A partir de la función Se obtiene la derivada con respecto a b Horacio Catalán Alonso

19 Econometría Taller de Econometría Nota: sea Horacio Catalán Alonso

20 Dado que ran(x) = K , la matriz X´X es definida positivaEconometría Taller de Econometría Dado que ran(x) = K , la matriz X´X es definida positiva Horacio Catalán Alonso

21 Estimador El valor estimado de y Los errores estimados EconometríaTaller de Econometría Estimador El valor estimado de y Los errores estimados Horacio Catalán Alonso

22 Econometría Taller de Econometría Del estimador El estimador de MCO permite que las variables X sean ortogonales a los errores Horacio Catalán Alonso

23 Del estimador de MCO se obtiene que al multiplicar por XEconometría Taller de Econometría Del estimador de MCO se obtiene que al multiplicar por X Se define la matriz Horacio Catalán Alonso

24 Econometría Horacio Catalán Alonso

25 La matriz se define como la matriz de proyecciónEconometría Dado que X es fijo (X´X)-1X´ es interpretada como una función lineal que mapea (proyecta) cualquier vector N-dimensional del espacio (Y) en un vector en K-dimensional espacio (b) La matriz se define como la matriz de proyección Horacio Catalán Alonso

26 s(y) y u=MY s(x) Xb=PY Econometría Taller de EconometríaHoracio Catalán Alonso

27 Econometría Las matrices de proyección definen al modelo de regresión lineal múltiple como: Horacio Catalán Alonso

28 Econometría Taller de Econometría Ambas matrices descomponen al vector Y de dimensión N, en 2 componentes ortogonales. La partición en un espacio de dimensión K definido por P y en un espacio de N-K dimensión definido por M Horacio Catalán Alonso

29 Ajuste del modelo de Regresión. El modelo generalEconometría Ajuste del modelo de Regresión.  El modelo general Se define Horacio Catalán Alonso

30 Econometría Bajo el supuesto Horacio Catalán Alonso

31 Suma total de cuadrados Suma de regresores al cuadrado Econometría Suma total de cuadrados Suma de regresores al cuadrado Suma de errores al cuadrado Horacio Catalán Alonso

32 f es el ángulo entre Y y el espacio generado por XEconometría De (4) f es el ángulo entre Y y el espacio generado por X Horacio Catalán Alonso

33 MODELO DE REGRESIÓN MÚLTIPLEECONOMETRIA MODELO DE REGRESIÓN MÚLTIPLE Mtro. Horacio Catalán Alonso