1 Modelos matematicos de sistemas continuos

2 Contenido Introduccion Descripcion de sistemas continuosEjemplo de modelado y simulación Descripcion de entrada-salida de sistemas continuos Simulacion de modelos continuos

3 introduccion

4 Modelos matemáticos Tipicamente representan modelos simplificadosSe expresan mediante ecuaciones matematicas Permiten el trabajo cuantitativo analizando datos formulando leyes Tipicamente representan modelos simplificados Modelos que pueden producir resultados falsos Modelos simbólicos o matemáticos: Nos interesan principalmente los modelos simbólicos que son verdaderas representaciones de la realidad y toman la forma decifras, símbolos y matemáticas. Comienzan como modelos abstractos que formamos en nuestra mente y que luego se registran como modelos simbólicos. Un tipo de modelo simbólico o matemático que se usa comúnmente en la IO es una ecuación. Una ecuación es concisa, precisa y fácil de comprender. Sus símbolos no sólo son mucho más fáciles de manipular que las palabras, sino que se escriben más rapidamente. Además de estos atributos, los modelos simbólicos se prestan a las manipulaciones de las computadoras.

5 Tipos de sistemas estocástico determinístico estático dinámicotiempo-discreto tiempo-continuo simulación de Montecarlo Estático. Estado del sistema como un punto en el tiempo Dinámico. Estado del sistema como cambios en el tiempo Tiempo-continuo. Los estados del sistema cambian en cualquier momento. Tiempo-discreto. Los cambios de estado del sistema se dan en momentos discretos del tiempo. Determinístico. Entradas fijas producen salidas fijas Estocástico. Uno o más parámetros aleatorios. Entradas fijas produce salidas diferentes Tipos de modelos matemáticos: La siguiente separación en categorías de estos modelos, nos dará una base lógica para clasificar los modelos básicos que se utilizan en la bibliografía de la IO, tal relación no es completa en modo alguno, pero la explicación y operación de cada uno proporciona una mejor comprensión de las diferencias esencilaes entre los modelosde la IO. Cuantitativos y cualitativos: Cuando construimos un modelo matemático e insertamos símbolos para representar constantes y variables (en gran parte números), llamamos a esto un modelo cuantitativo. Las fórmulas, matrices, diagramas o series de valores, de ecuaciones o desigualdades que se obtienen mediante procesos algebraicos son ejemplos comunes de modelos matemáticos. Los problemas de IO que se ocupan de las cualidades o propiedades de los componentes se llaman modelos cualitativos. La mayor parte del pensamiento relacionado con los problemas de negocios comienza con los modelos cualitativos y llega gradualmente hasta un punto donde pueden usarse modelos cuantitativos. Esto no significa que la metodología de la IO pueda cuantificar situaciones cualitativas. Hay muchos problemas que no pueden cuantificarse exactamente debido a uno o más de los siguientes motivos: técnicas inadecuadas de medición, necesidad de muchas variables, algunas variables desconocidas, relaciones especiales desconocidas y relaciones con todas sus peculiaridades y excepciones que son demasiado complejas para expresarse en forma cuantitativa. Sin embargo, mediante el empleo del análisis lógico, sistemas de clasificación, métodos de ordenamiento, teoría de conjuntos, análisis dimensional y teoría de decisión, la IO puede hacer que se apliquen al problema ciertas técnicas muy útiles. Estándar y hechos a la medida: Se usan modelos estándar para decribir las técnicas que se han asociado con la IO. Para usar estas técnicas se insertan los números apropiados de un problema específico de negocios en el modelo estándar para obtener una respuesta. Se obtiene un modelo hecho a la medida cuando se usan los conceptos básicos de las diversas disciplinas, y especialmente las matemáticas, para construir un modelo que se ajuste al problema investigado. Muchas veces el personal de IO lee las diferentes publicaciones

6 Sistemas dinamicos continuos y discretosDe tiempo continuo, de tiempo discreto De variables continuas, de variables discretas

7 Formalismos de modelos matematicosDe tiempo continuo, de tiempo discreto De variables continuas, de variables discretas Vars./Time Continuous Discrete [1] DESS (Differential equation System Specification) Partial Differential Equations Ordinary Differential Equations Bond Graphs Modelica Electrical circuits [2] DTSS Difference Equations Finite Element Method Finite Differences Numerical methods (in general, any computing method for the continuous counterparts], like Runge-Kutta, Euler, DASSL and others. [3] DEVS (Discrete Event System Specification) DEVS Formalism Timed Petri Nets Timed Finite State Machines Event Graphs [4] Automata Finite State Machines Finite State Automata Petri Nets Boolean Logic Markov Chains

8 Modelos DESS En el formalismo DESS (differential equation System Specification model) el modelo matemático de un sistema dinámico es: un conjunto de ecuaciones diferenciales que representan las características dinámicas del sistema. las cuales se obtienen aplicando leyes físicas.

9 Modelos DESS Modelo mecanico Modelo electrico

10 Descripcion de sistemas dinamicos continuos

11 Sistemas dinamicos continuosNormalmente estamos interesados en los sistemas dinamicos continuos: Dinamico: ocurren cambios en el periodo de tiempo de interes Tiempo continuo: los cambios ocurren continuamente Variables continuas: los cambios pueden tomar cualquier valor Deterministico: se asume que es posible modelar el sistema como si fuera completamente conocido

12 Descripcion interna de sistemas continuosy u x Inputs, u Outputs, y States, x y = S[u] SISO, MIMO Static or dynamic Descripcion en variables de estado

13 Sistemas lineales Cumplen con dos principios:es decir, Aditividad (superposicion) Homogeneidad (escala) ,

14 Sistemas lineales e invariantes con el tiempoUna ecuación diferencial lineal es invariante en el tiempo si sus coeficientes son constantes o funciones de la variable independiente. Estos sistemas se denominan por sus siglas en inglés como sistemas LTI (Linear Time Invariant)

15 Descripcion de sistemas LTIMatrices constantes Demostrar que el sistema dinamico modelado mediante las matrices ABCD es un sistema lineal

16 Descripcion en variables de estado de sistemas continuosA n  n B n  m C p  n D p  m Linear systems: Non-linear systems: x n u m y p dx dt = A · x + B · u y = C · x + D · u ; x(t0) = x0 x = State vector u = Input vector y = Output vector n = Number of state variables m = Number of inputs p = Number of outputs State. The smallest set of variables such that the knowledge of these variables at t = t0, together with the knowledge of the input for t  t0, completely determines the system behavior for t  t0. State Variables. The smallest set of variables (not unique) that determines the state of the dynamic system. State Vector. It is composed of the n state variables. State Space. The n-dimensional space whose coordinate axes consist of the x1 axis, the x2 axis, …,the xn axis. dx dt = f(x,u,t) y = g(x,u,t) ; x(t0) = x0

17 El concepto de estado State: Angle of the pendulum Inverted pendulumCart Force Wheel Inverted pendulum Free joint State: Angle of the pendulum Angular velocity of the pendulum Cart position Cart velocity

18 El concepto de vector de estadoEl espacio de estado es el conjunto de todos los posibles valores del vector de estado El vector de estado es un vector desde el origen del espacio de estados hasta el estado actual del sistema

19 La trayectoria del estadoPor las restricciones impuestas por las ecuaciones que describen al sistema El estado describe una trayectoria en el espacio de estado Es lo que se denomina la trayectoria del estado

20 Trayectoria del estadoOrigin of the state space (0, 0, 0) t = 0 t = 1 t = 2 t = 3 t = 4 State variable 1 (x1) State variable 2 x2 State variable 3 x3 State vectors at different times State trajectory Trayectoria del estado

21 Respuesta de un sistema lineal Dado el modelo del sistema, nuestro interes esta en determinar tanto la trayectoria del estado, como la respuesta de entrada-salida del sistema. El calculo de esta respuesta involucra la solucion de una ecuacion diferencial.

22 Ejemplo: respuesta de un sistema escalar¿Cuál es la respuesta del sistema si es escalar? Conocido el estado inicial

23 Respuesta de un sistema escalar¿Cuál es la respuesta del sistema si es escalar? La solucion involucra un proceso de integracion

24 Respuesta de un sistema escalar¿Cuál es la respuesta del sistema si es escalar? La salida es una combinacion (lineal) de los estados Trayectoria del estado

25 Representacion en bloques de un sistema linealEjercicio: Haga un diagrama del sistema lineal descrito por las ecuaciones,

26 Representacion en bloquesIntegracion Condicion inicial

27 Ejemplo de modelado y simulación

28 Ejemplo de modelado Se propone entonces:Discutir el modelado del amortiguador de un automovil. Proponer un modelo matematico Construir el modelo en Simulink Verificar el comportamiento del modelo

29 Un modelo matematico del sistemaEl modelo matemático del sistema puede ser descrito por: M K B x Parametros: m = 0.25, c = 0.5, k = 1

30 Analisis de las ecuacionesForma estandar Frecuencia natural Razon de amortig. Gananacia estatica

31 El modelo en simulink f(t) + input x(t) - output c kEl proposito del diagrama de simulation es resolver la ODE del modelo matematico propuesto

32 Verificacion de los resultados de simulacionEl amortiguamiento es menor que uno (0.5) Se espera que el sistema sea sub-amortiguado Se espera sobrepulso La ganancia estatica es uno Se espera que la magnitud de la salida sea igual a la magnitud de la entrada. ¿Los resultados de simulación se ajustan a las expectativas?

33 Ejercicio Construya el modelo en Simulink. Verifique el modelo.Plantee preguntas sobre el caso Consulte como el Toolbox SimMechanics modela el sistema masa-resorte-amortiguador

34 Descripcion de entrada-salida de sistemas continuos

35 Descripcion de entrada-salida de sistemas LTILa relacion entrada/salida de un sistema lineal invariante en el tiempo de dimension finita dinámico, operando sobre señales de tiempo continuo es Una ecuación diferencial ordinaria

36 Descripcion de entrada-salida de sistemas LTILa relacion entrada/salida de un sistema LTI de dimension finita tambien se da en terminos del operador diferencial y(t) = G(p) u(t) Operador diferencial ¡no confundir con la variable compleja s!

37 Respuesta de los sistemas LTILa relacion entrada/salida se puede obtener mediante distintas representaciones: La respuesta al impulso La función de transferencia La respuesta de frecuencia g(t) G(s) G(iw)

38 La función de transferenciaLa función de transferencia G(s) es la respuesta estacionaria del sistema lineal Y (s)= G(s)U (s) es una función compleja Donde s es la variable de Laplace, y Y(s), U(s) las transformadas de Laplace de la salida y la entrada

39 La respuesta de frecuenciaEs la respuesta estacionaria de un sistema lineal ante una señal de entrada sinusoidal

40 La respuesta al impulsoLa relación entre las señales de entrada y de salida se obtiene por la convolución de u con la respuesta al impulso g(t) Para condiciones iniciales nulas

41 Obtencion de la funcion de transferencia a partir de la ODEConsidere un sistema lineal invariante en el tiempo, descrito por la siguiente ecuación diferencial donde y(t) es la salida del sistema y u(t) es la entrada del sistema.

42 Obtencion de la funcion de transferencia a partir de la ODEPara obtener la función de transferencia del sistema: se toma la transformada de Laplace de ambos miembros de la ecuación diferencial, considerando que las condiciones iniciales son iguales a cero

43 La funcion de transferenciaEntonces, la función de transferencia está dada por La funcion de transferencia es un recurso matematico util para representar sistemas lineales, invariantes en el tiempo, con condiciones iniciales nulas

44 Polos y ceros de la funcion de transferenciaSe definen los ceros de G(s) como las raíces del numerador de G(s) y los polos de G(s) como las raíces del denominador ¡Para la representacion en variables de estado de sistemas los polos y ceros no estan definidos!

45 Equivalencia de las representacionesLaplace Fourier Teorema de Bode Conexión entre la respuesta al impulso, la función de transferencia, y la respuesta en frecuencia

46 Equivalencia de las representacionesEjercicio Investigue como Matlab representa un sistema dinámico en los diferentes dominios. Ver LTI_formats.m

47 Fuentes Lewis Andrew, A Mathematical Introduction to Feedback Control. Queen’s University. Kingston, Canada. Abril, 2003. Tsakalis Kostas, System properties, A Collection of Class Notes. December, 2003 Roberts Clive, Fundamentals of Signals and Systems. University of Birmingham Olver Peter J. and Shakiban Chehrzad, Applied Mathematics. School of Mathematics, University of Minnesota and Department of Mathematics, University of St. Thomas