1 Modelowanie – Analiza – SyntezaTeoria sterowania – dziedzina wiedzy zajmująca się metodami analizy systemów sterowania oraz syntezy praw sterowania (metodologiami konstruowania struktur i algorytmów sterowników/regulatorów) Szerzej widziana treść teorii sterowania Modelowanie – Analiza – Synteza Ustalenie cech systemu Badanie cech systemu Nadawanie pożądanych cech systemowi

2 System sterowania Coś co celowo oddziałuje – układ sterującySterowanie to celowe oddziaływanie czegoś/kogoś na coś/kogoś Coś co celowo oddziałuje – układ sterujący Coś na co wywierane jest celowe oddziaływanie – obiekt sterowany Celowe oddziaływanie ukierunkowane jest na ociągnięcie pożądanego zachowania się systemu Obiekt sterowany Układ sterujący System sterowania Połączenie - układ sterujący oraz obiekt sterowany tworzy układ sterowania

3 Teoria sterowania – „pracuje” na modelach systemów dynamicznych„Klasyczna” teoria sterowania bazuje na modelach wejście – wyjście: - równania różniczkowe wiążące zmienne wejściowe i wyjściowe - transmitancje - …… Współczesna teoria sterowania bazuje na modelach przestrzeni stanu Powody: - jednolitość podejścia do układów liniowych i nieliniowych - jednolitość podejścia do układów jedno i wielowymiarowych - wgląd we „wnętrze” systemu

4 Teoria sterowania – traktuje elementy układu sterowania jak i sam układ sterowania jako systemKlasyfikacje: - Liniowy - nieliniowy - Stacjonarny - niestacjonarny

5 - Jednowymiarowy (SISO) – wielowymiarowy (MIMO)Klasyfikacje: c.d. - Jednowymiarowy (SISO) – wielowymiarowy (MIMO) Klasyfikacja w odniesieniu do liczby zmiennych wejścia - wyjścia - Czasu ciągłego – czasu dyskretnego Klasyfikacja w odniesieniu charakteru sygnałów wejścia i wyjścia - Otwarty – zamknięty (ze sprzężeniem zwrotnym) Klasyfikacja rozstrzygająca, czy układ sterujący otrzymuje informację o wyjściu obiektu sterowanego Sterownik Obiekt Sterownik Obiekt Zamknięty Otwarty

6 Podstawy teorii sterowania w przestrzeni stanu Systemy liniowe stacjonarne

7 Systemy liniowe stacjonarne – modele różniczkowe i różnicoweW dziedzinie czasu relacja pomiędzy wejściem a wyjściem systemu liniowego stacjonarnego może być często opisana za pomocą:  system ciągły – równania różniczkowe zwyczajne liniowe o stałych współczynnikach system dyskretny – równania różnicowe liniowe o stałych współczynnikach System ciągły; model wejście - wyjście: System dyskretny; model wejście - wyjście:

8 Modele przestrzeni stanuSystem ciągły; model przestrzeni stanu x – stany u – wejścia y - wyjścia Jeżeli mamy p wejść, n stanów, q wyjść

9 System dyskretny; model przestrzeni stanux – stany u – wejścia y - wyjścia Jeżeli mamy p wejść, n stanów, q wyjść

10 System ciągły; model przestrzeni stanu (zmiennych stanu) - odpowiedziPoszukujemy rozwiązań x – stany u – wejścia y - wyjścia Weźmy równanie stanu: Rozwiązanie: Składowa swobodna Składowa wymuszona

11 Składowa swobodna – rozwiązanie równania jednorodnegoRozwiązanie równania jednorodnego proponujemy w postaci: gdzie Sprawdzenie

12 Rozwiązanie ogólne – rozwiązanie równania jednorodnego, zatem:gdzie Wyznaczenie rozwiązania szczególnego – składowej wymuszonej – rozwiązania równania niejednorodnego Rozwiązanie równania niejednorodnego proponujemy w postaci:

13 Rozwiązanie to musi spełniać równanie niejednorodnepodstawiając proponowane rozwiązanie do równania stanu porównując

14 podstawiając ostatni wynik do proponowanego rozwiązaniaRozwiązanie szczególne – rozwiązanie równania niejednorodnego, zatem: Podsumowując – rozwiązanie równania stanu Składowa swobodna Składowa wymuszona

15 Weźmy równanie wyjścia:Wyjście policzymy podstawiając uzyskany wynik rozwiązania równania stanu Podsumowanie:

16 Kluczowy problem przy korzystaniu z tego rozwiązania – obliczenie- macierz tranzycji stanu – macierz fundamentalna I sposób – z definicji szeregu wykładniczego

17 Przykład 1: Model części mechanicznej silnika prądu stałego, przy zaniedbaniu dynamiki obwodu twornika, wpływu na ten odwód obwodu wzbudzenia i pominięciu momentu obciążenia zewnętrznego można zapisać Przyjmując: otrzymamy Przyjmijmy dla uproszczenia rachunków: oraz

18 Policzmy potęgi A:

19 Korzystamy z definicjiCzasem nie ma potrzeby liczenia granicy szeregu Przykład 2:

20 Policzmy potęgi A:

21 Szereg potęgowy zawiera skończoną liczbę wyrazów

22 Wynik ten można uogólnić na dowolne n

23 II sposób: znajdujemy najpierw model przestrzeni stanu w dziedzinie zmiennej s

24 Przez porównanie rozwiązania równania stanu i wyjściaMożemy napisać

25 Przykład 3: macierz dołączona wyznacznik

26 Otrzymujemy:

27 Rozkład na ułamki proste elementów macierzyPodobnie

28 Otrzymujemy Ostatecznie macierz tranzycji

29 Przykład 4: Policzymy odpowiedzi układu przy zadanych warunkach początkowych na jednostkowe wymuszenie skokowe Policzmy najpierw:

30 Stąd: Stąd bezpośrednio:

31 Dla podanych warunków początkowych składowa swobodna odpowiedzi stanu i wyjścia :

32 Dla skokowego jednostkowego wejścia transformata Laplace’a składowej wymuszonej odpowiedzi stanu i wyjścia (w dziedzinie zmiennej s)

33 Dla skokowego jednostkowego wejścia składowa wymuszona odpowiedzi stanu i wyjściaPełna odpowiedź stanu i wyjścia

34 Funkcja przejścia - transmitancjaZwiązki z transmitancją Dla układu SISO: Odpowiedź wyjścia: Funkcja przejścia - transmitancja Funkcja tranzycji stanu

35 Otrzymaliśmy: Transmitancja: Odpowiedź impulsowa:

36 System dyskretny; model przestrzeni stanu (zmiennych stanu) – odpowiedziPoszukujemy rozwiązań Będziemy przyjmowali: Rozwiązanie równania stanu w postaci rekursywnej:

37 Macierz tranzycji stanu:W ogólnej postaci: Macierz tranzycji stanu: Jest to odpowiednik w dziedzinie czasu ciągłego macierzy Porównanie odpowiedzi stanu Składowa swobodna Składowa wymuszona

38 Odpowiedź wyjścia: Pokazaliśmy I sposób obliczania odpowiedzi systemu dyskretnego z modelu przestrzeni stanu Możemy np. policzyć odpowiedź wyjścia na sekwencję impulsu jednostkowego:

39 II sposób: znajdujemy najpierw model przestrzeni stanu w dziedzinie zmiennej zOkreślenie transformacji z: lub z zastrzeżeniem, że transformata z istnieje tylko wtedy, gdy istnieje pewne z dla którego szereg z definicji jest zbieżny

40 Korzystając z własności transformaty z możemy dokonać transformacji dyskretnego równania stanu i znaleźć jego odpowiednik w dziedzinie zmiennej z otrzymamy Ostatnie równanie może być rozwiązane względem transformaty X(z) Wprowadzając oznaczenie Możemy to rozwiązanie zapisać w postaci

41 Równanie wyjścia w dziedzinie zmiennej z

42 Przez porównanie rozwiązania równania stanu i wyjściaMożemy napisać

43 Dla skorzystania z tej ostatniej zależności potrzebna jest umiejętność przeprowadzania transformacji odwrotnej z, czyli znajdowania wartości funkcji w chwilach próbkowania Transformacja odwrotna znajduje tylko wartości funkcji w chwilach próbkowania, ale nie umożliwia znalezienia okresu próbkowania Wartości funkcji w chwilach próbkowania – sekwencji wartości, praktycznie znajduje się wykorzystując:  dzielenie wielomianów  rozkład na ułamki

44 Przykład 5 Znaleźć f[k] - dzielimy licznik i mianownik przez największa potęgę z

45 - dzielimy licznik przez mianownik

46 - obliczamy wartość początkowąOtrzymaliśmy

47  rozkład na ułamki Metoda prawie identyczna to metody używanej w odwrotnej transformacji Laplace’a Ponieważ większość funkcji z ma składnik z w liczniku, jest czasem dogodniej przeprowadzać rozkład na ułamki proste dla F(z)/z niż dla F(z) Procedura 1. znaleźć rozkład na ułamki proste F(z)/z lub F(z) 2. określ odwrotną transformatę f[k] korzystając z tablic transformat

48 Przykład 6 Przypadek: pojedyncze pierwiastki rzeczywiste Znaleźć transformatę odwrotną funkcji:  z dzieleniem F(z)/z - rozkład na ułamki proste

49 stąd - spojrzenie w tablice Można zauważyć zatem

50  bez dzielenia F(z) - rozkład na ułamki proste stąd

51 - spojrzenie w tablice zatem

52 Wyprowadziliśmy uprzednio równanie stanu i równanie wyjścia dla systemu dyskretnegoOdwrotna transformacja Z wyprowadzonych równań

53 Funkcja przejścia - transmitancjaDla warunku początkowego Funkcja przejścia - transmitancja Wejście Wyjście Transmitancja systemu dyskretnego Transformata wyjścia systemu dyskretnego

54 – koniec materiału prezentowanego podczas wykładuDziękuję – koniec materiału prezentowanego podczas wykładu