1 Modelowanie – Analiza – SyntezaTeoria sterowania – dziedzina wiedzy zajmująca się metodami analizy systemów sterowania (metodologiami badania cech systemów sterowania) oraz syntezy praw sterowania (metodologiami konstruowania struktur i algorytmów sterowników/regulatorów) Szerzej widziana treść teorii sterowania Modelowanie – Analiza – Synteza Ustalenie cech systemu Badanie cech systemu Nadawanie pożądanych cech systemowi

2 System sterowania Coś co celowo oddziałuje – układ sterującySterowanie to celowe oddziaływanie czegoś/kogoś na coś/kogoś Coś co celowo oddziałuje – układ sterujący Coś na co wywierane jest celowe oddziaływanie – obiekt sterowany Celowe oddziaływanie ukierunkowane jest na ociągnięcie pożądanego zachowania się obiektu sterowanego Obiekt sterowany Układ sterujący System sterowania Połączenie - układ sterujący oraz obiekt sterowany tworzy system sterowania

3 Teoria sterowania – „pracuje” na modelach systemów dynamicznychKlasyczna teoria sterowania bazuje na modelach wejście – wyjście: - równania różniczkowe wiążące zmienne wejściowe i wyjściowe - transmitancje - …… Współczesna teoria sterowania bazuje na modelach przestrzeni stanu Powody: - jednolitość podejścia do układów liniowych i nieliniowych - jednolitość podejścia do układów jedno i wielowymiarowych - wgląd we „wnętrze” systemu

4 Teoria sterowania – traktuje elementy układu sterowania jak i sam system sterowania jako systemKlasyfikacje: - Liniowy - nieliniowy - Stacjonarny - niestacjonarny

5 Klasyfikacje: c.d. - Jednowymiarowy (SISO) – wielowymiarowy (MIMO) Klasyfikacja w odniesieniu do liczby zmiennych wejścia - wyjścia - Czasu ciągłego – czasu dyskretnego Klasyfikacja w odniesieniu charakteru sygnałów wejścia i wyjścia - Otwarty – zamknięty (ze sprzężeniem zwrotnym) Klasyfikacja rozstrzygająca, czy układ sterujący otrzymuje informację o wyjściu obiektu sterowanego

6 Systemów liniowych stacjonarnychPrzygotowanie do teorii sterowania w przestrzeni stanu Rozpoczniemy od: Systemów liniowych stacjonarnych Przygotowanie do teorii sterowania w przestrzeni stanu oznacza wskazanie !!! wyników z zakresu przedmiotu Systemy Dynamiczne, wykorzystywanych w przedmiocie Teoria Sterowania

7 Systemy liniowe stacjonarne – modele różniczkowe i różnicoweW dziedzinie czasu relacja pomiędzy wejściem a wyjściem systemu liniowego stacjonarnego może być często opisana za pomocą:  system ciągły – równania różniczkowe zwyczajne liniowe o stałych współczynnikach system dyskretny – równania różnicowe liniowe o stałych współczynnikach System ciągły; model wejście - wyjście: System dyskretny; model wejście - wyjście:

8 Modele przestrzeni stanuSystem ciągły; model przestrzeni stanu Jeżeli mamy p wejść, n stanów, q wyjść x – stany u – wejścia y - wyjścia – macierz stanu – macierz sterowania – macierz wyjścia – macierz bezpośredniego sterowania

9 System dyskretny; model przestrzeni stanuJeżeli mamy p wejść, n stanów, q wyjść x – stany u – wejścia y - wyjścia – macierz stanu – macierz sterowania – macierz wyjścia – macierz bezpośredniego sterowania

10 System ciągły; model przestrzeni stanu (zmiennych stanu) - odpowiedziPoszukujemy rozwiązań x – stany u – wejścia y - wyjścia Równanie stanu - różniczkowe : Rozwiązanie: Składowa swobodna Składowa wymuszona

11 Składowa swobodna – rozwiązanie równania jednorodnego, rozwiązanie ogólneRozwiązanie ogólne – rozwiązanie równania jednorodnego: gdzie

12 Rozwiązanie szczególne – rozwiązanie równania niejednorodnego:Składowa wymuszona – rozwiązanie równania niejednorodnego, rozwiązanie szczególne Rozwiązanie szczególne – rozwiązanie równania niejednorodnego: Podsumowując – odpowiedź stanu Składowa swobodna Składowa wymuszona Składowa przy zerowym wymuszeniu (Zero Input ZI) Składowa przy zerowym stanie początkowym (Zero State ZS)

13 Równanie wyjścia - algebraiczne:Odpowiedź wyjścia - policzymy podstawiając odpowiedź stanu Podsumowanie:

14 Dodatek A: przykłady korzystania z I sposobuKluczowy problem przy korzystaniu z tego rozwiązania – obliczenie - macierz tranzycji stanu, macierz fundamentalna I sposób – z definicji szeregu wykładniczego Dodatek A: przykłady korzystania z I sposobu

15 II sposób: znajdujemy najpierw model przestrzeni stanu w dziedzinie zmiennej s

16 Dodatek B: przykłady korzystania z II sposobuPrzez porównanie rozwiązania równania stanu i wyjścia Możemy napisać Dodatek B: przykłady korzystania z II sposobu

17 Funkcja przejścia - transmitancjaZwiązki opisu w przestrzeni stanu z transmitancją Dla układu SISO: Odpowiedź wyjścia: Funkcja tranzycji stanu Funkcja przejścia - transmitancja

18 Otrzymujemy: Dodatek C: przykład obliczania transmitancji odpowiadającej danemu opisowi w przestrzeni stanu

19 System dyskretny; model przestrzeni stanu (zmiennych stanu) – odpowiedziPoszukujemy rozwiązań x – stany u – wejścia y - wyjścia Będziemy przyjmowali: I sposób: Rozwiązanie równania stanu w postaci rekursywnej:

20 Macierz tranzycji stanu:W ogólnej postaci: Macierz tranzycji stanu: Jest to odpowiednik w dziedzinie czasu ciągłego macierzy Porównanie odpowiedzi stanu Składowa swobodna Składowa wymuszona

21 Odpowiedź wyjścia:

22 II sposób: znajdujemy najpierw model przestrzeni stanu w dziedzinie zmiennej z (zmiennej zespolonej)Określenie transformacji z: lub z zastrzeżeniem, że transformata z istnieje tylko wtedy, gdy istnieje pewne z dla którego szereg z definicji jest zbieżny

23 Korzystając z własności transformaty z możemy dokonać transformacji dyskretnego równania stanu i znaleźć jego odpowiednik w dziedzinie zmiennej z otrzymamy Ostatnie równanie może być rozwiązane względem transformaty X(z) Wprowadzając oznaczenie Możemy to rozwiązanie zapisać w postaci

24 Równanie wyjścia w dziedzinie zmiennej z

25 Przez porównanie rozwiązania równania stanu i wyjściaMożemy napisać

26 Dla skorzystania z tej ostatniej zależności potrzebna jest umiejętność przeprowadzania transformacji odwrotnej Z, czyli znajdowania wartości funkcji w chwilach próbkowania Transformacja odwrotna znajduje tylko wartości funkcji w chwilach próbkowania, ale nie umożliwia znalezienia okresu próbkowania Wartości funkcji w chwilach próbkowania – sekwencji wartości, praktycznie znajduje się wykorzystując:  dzielenie wielomianów  rozkład na ułamki Dodatek D – przykład znajdowania odpowiedzi układu dyskretnego przez dzielenie wielomianów

27  rozkład na ułamki Metoda prawie identyczna to metody używanej w odwrotnej transformacji Laplace’a Ponieważ większość funkcji z ma składnik z w liczniku, jest czasem dogodniej przeprowadzać rozkład na ułamki proste dla F(z)/z niż dla F(z) Procedura 1. znaleźć rozkład na ułamki proste F(z)/z lub F(z) 2. określ odwrotną transformatę f[k] korzystając z tablic transformat Dodatek E – przykłady znajdowania odpowiedzi układu dyskretnego przez rozkład na ułamki proste

28 Wyprowadziliśmy uprzednio równanie stanu i równanie wyjścia dla systemu dyskretnegoOdwrotna transformacja Z wyprowadzonych równań

29 Funkcja przejścia - transmitancjaDla warunku początkowego Funkcja przejścia - transmitancja Wejście Wyjście Transmitancja systemu dyskretnego Transformata wyjścia systemu dyskretnego

30 – koniec materiału prezentowanego podczas wykładuDziękuję – koniec materiału prezentowanego podczas wykładu

31 Dodatek A

32 Przykład 1: Model części mechanicznej silnika prądu stałego, przy zaniedbaniu dynamiki obwodu twornika, wpływu na ten odwód obwodu wzbudzenia i pominięciu momentu obciążenia zewnętrznego można zapisać Przyjmując: otrzymamy Przyjmijmy dla uproszczenia rachunków: oraz

33 Policzmy potęgi A:

34 Korzystamy z definicjiCzasem nie ma potrzeby liczenia granicy szeregu Przykład 2:

35 Policzmy potęgi A:

36 Szereg potęgowy zawiera skończoną liczbę wyrazów

37 Wynik ten można uogólnić na dowolne n

38 Dodatek B

39 Przykład 3: macierz dołączona wyznacznik

40 Otrzymujemy:

41 Rozkład na ułamki proste elementów macierzyPodobnie

42 Otrzymujemy Ostatecznie macierz tranzycji

43 Przykład 4: Policzymy odpowiedzi układu przy zadanych warunkach początkowych na jednostkowe wymuszenie skokowe Policzmy najpierw:

44 Stąd: Stąd bezpośrednio:

45 Dla podanych warunków początkowych składowa swobodna odpowiedzi stanu i wyjścia :

46 Dla skokowego jednostkowego wejścia transformata Laplace’a składowej wymuszonej odpowiedzi stanu i wyjścia (w dziedzinie zmiennej s)

47 Dla skokowego jednostkowego wejścia składowa wymuszona odpowiedzi stanu i wyjściaPełna odpowiedź stanu i wyjścia

48 Dodatek C

49 Przykład 5: Transmitancja układu z przykładu 4: Odpowiedź impulsowa:

50 Dodatek D

51 Przykład 6 Znaleźć f[k] - dzielimy licznik i mianownik przez największa potęgę z

52 - dzielimy licznik przez mianownik

53 - obliczamy wartość początkowąOtrzymaliśmy

54 Dodatek E

55 Przykład 7 Przypadek: pojedyncze pierwiastki rzeczywiste Znaleźć transformatę odwrotną funkcji:  z dzieleniem F(z)/z - rozkład na ułamki proste

56 stąd - spojrzenie w tablice Można zauważyć zatem

57  bez dzielenia F(z) - rozkład na ułamki proste stąd

58 - spojrzenie w tablice zatem