1

2 Na Ziemi nie ma tych lądów, rzek i mórz! To sztuczne obrazy! Czy potrafisz zgadnąć, jaki fragment Ziemi pokazują? Przyjrzyj się uważnie tym zdjęciom.

3 Fraktale „Zobaczyć świat w ziarenku piasku, Niebiosa w jednym kwiecie z lasu. W ściśniętej dłoni zamknąć bezmiar, W godzinie – nieskończoność czasu” William Blake Po raz pierwszy pojęcie fraktali zostało wprowadzone do matematyki za sprawą francuskiego matematyka i informatyka polskiego pochodzenia Benoita Mandelbrota w latach 70-tych XX wieku Autor: Zdzisław Jamróz

4 Fraktal – obiekt samopodobnyFraktalem nazywamy w znaczeniu potocznym obiekt, którego części są podobne do całości (samopodobny) lub też ukazujący subtelne detale w wielokrotnym powiększeniu (nieskończenie subtelny). Fraktale są figurami, w których część figury jest podobna do całości.

5 Jak powstaje śnieżynka Kocha 1904 R.Pierwsza krzywa fraktalna szwedzkiego matematyka Nielsa Kocha. Krzywa powstaje z odcinka, do którego zamiast środkowej części o długości 1/3 wstawia się dwa boki trójkąta równobocznego. :n = 2 :n = 1 :n = 0

6

7 Płatek Kocha (koch.imp)stopień 0 stopień 1 stopień 2

8 stopień 3 stopień 4

9

10 Drzewo binarne link

11

12

13 Drzewo Pitagorejskie

14

15 Trójkąt Sierpińskiego 1915 r.Fraktal tworzy się poprzez wyjmowanie mniejszych trójkątów z trójkąta równobocznego. animacja

16 Dywan Sierpińskiego

17 Zbiór Mandelbrota – 1975 r. link W 1975 r. Mandelbrot wprowadza termin „FRAKTAL”

18 Zbiór Julii W 1919 r. Julia i Fatou badają fraktalne struktury na płaszczyźnie zespolonej.

19 Fraktale graficzne Fraktale są ściśle związane z komputerami. Bez nich nie byłoby możliwe wytworzenie tak wielu przepięknych fraktali, które są swoistymi, jedynymi w swym rodzaju obrazami.

20

21 Fraktalna natura materiilink

22 Fraktale w naturze

23 Fraktal w praktyce

24 Fraktal - powstający w procesie chemicznymPodczas elektrolizy roztworu azotanu (V) srebra w wodzie amoniakalnej jony srebra redukują się do srebra metalicznego.

25 Fraktale ze srebra pod mikroskopem elektronowym

26 Zastosowanie fraktaliPole do zastosowania fraktali jest szerokie. Mogą one stanowić instrument matematyczny służący do modelowania naturalnych procesów, takich jak wzrost roślin czy proces tworzenia się chmur . Zastosowanie: Opis wzrostu organizmów morskich np. korali i gąbek Stwierdzono, że rozwój współczesnych miast wykazuje pewne prawdopodobieństwo do wzrostu fraktali W medycynie fraktale stosuje się w modelach działania mózgu Ruchy giełdowe wykazują również charakter fraktalny.

27 Chcesz wiedzieć więcej…Najstarsze fraktale – link Fraktale Michał Król -  Fraktale, co to takiego –  Jakże piękne fraktale –  Fraktale w sztuce –  Fraktale w naturze –  Fraktal Kowalski Mateusz – wizualizacja – 

28 Dziękuję za uwagę

29 Dla zaawansowanych Samopodobieństwo SymetriaCechy fraktali: Samopodobieństwo Symetria Wymiar fraktalny nie jest liczbą całkowitą Brak jednoznacznego kształtu Nie są określone wzorem matematycznym, tylko zależnością rekurencyjną

30 Procedura „Płatek Kocha” – program Logooto Płatek :a :n :alfa pod ws :a*(pwk 3)/6 lw 90 np :a/2 pw 120 opu powtórz 3 [Koch :a :n :alfa pw 120] pod lw 120 ws :a/2 pw 90 np :a*(pwk 3)/6 opu już Rekurencja a fraktale oto Koch :a :n :alfa jeśli :n=0 [np :a stop] Koch :a/(2*(1+cos :alfa)) :n-1 :alfa lw :alfa Koch :a/(2*(1+cos :alfa)) :n-1 :alfa pw 2*:alfa Koch :a/(2*(1+cos :alfa)) :n-1 :alfa już

31

32

33

34 Rzeki

35 Wyschnięty fragment delty rzeki Kolorado na pustyni Sonora, blisko Morza Corteza

36 O fraktalach w Internecie…

37 Na Ziemi nie ma tych lądów, rzek i mórz! To sztuczne obrazy! Link Na Ziemi nie ma tych lądów, rzek i mórz! To sztuczne obrazy! Czy potrafisz zgadnąć, jaki fragment Ziemi pokazują? Przyjrzyj się uważnie tym zdjęciom.

38 Darmowe obrazy – Fraktal 

39 Wykład o fraktalach… Skąd Afrykańczycy "wiedzieli o fraktalach" zanim zostały one odkryte?Wykład o fraktalach i fraktalności obecnych w afrykańskim wzornictwie, zabudowach i... wróżbach. Skąd Afrykańczycy "wiedzieli o fraktalach" zanim zostały one odkryte?

40 Geometria Fraktalna w działaniu…

41