1 Nauki ścisłe vs. złożoność świata przyrodyUkłady chaotyczne i złożone Nauki ścisłe vs. złożoność świata przyrody Witold Bołt Koło Naukowe Kolor ::

2 Agenda Wstęp Iteracje i chaos Fraktale Automaty komórkoweBadanie chaosu na własnym komputerze Diagramy bifurkacji Jaki jest wzór na liść paproci? Fraktale Zbiór Mandelbrota Fraktalny kalafior Automaty komórkowe Gra w życie Zastosowania

3 Iteracje i chaos Badamy chaos na własnym komputerze

4 Co to jest chaos? Badamy układy zmieniające się w czasiePotrzebne informacje: Punkt startowy Wzór Co to znaczy iterowanie?

5 Przykład Zbadamy rodzinę prostych funkcji danych wzorem: f(x) = ax(1-x), gdzie 0 ≤ a ≤ 4. Co jest w niej prostego? Wiemy jak liczyć wartość Wiemy jakie są miejsca zerowe Wiemy jak wygląda wykres

6 Iterowanie bliskich punktówEksperyment Iterowanie bliskich punktów

7 Diagram bifurkacji Diagram bifurkacji przedstawia niejako poziom skomplikowania badanego odwzorowania w zależności od parametru. To co jest na nim przedstawione to tzw. przyciągające punkty stałe i okresowe.

8 Iterowane układy odwzorowańWzór na choinkę

9 IFS i IFSP Mamy zbiór funkcji F działających z płaszczyzny w płaszczyznę. Wybieramy losowo punkt x z płaszczyzny. Badamy zbiór składający się ze wszystkich iteracji punkt x przez funkcje z zbioru F.

10 Paproć Barnsleya Zbiór F składa się z 4 odwzorowań:f1(x,y) = (0.85x y, − 0.04x y + 1.6) f2(x,y) = ( − 0.15x y, 0.26x y ) f3(x,y) = (0.20x − 0.26y, 0.23x y + 1.6) f4(x,y) = (0 , 0.16y).

11 Gra w chaos Zasady gry: Ustalmy jakiś wielokąt – np. trójkąt.Wybieramy losowo punkt w środku trójkąta. Następnie powtarzamy w „nieskończoność” następującą procedurę: Wyznaczamy odcinek łączący wybrany punkt z wybranym wierzchołkiem. Wyznaczamy punkt leżący na tym odcinku – w jego środku (w połowie odległości). Tak wyznaczony punkt staje się kolejnym punktem startowym. Losujemy znów jeden z wierzchołków. I wracamy do punktu 1.

12 Liczby zespolone Zespolone Rzeczywiste Wymierne Całkowite NiewymierneNaturalne Niewymierne

13 Liczby zespolone Utożsamiamy je z płaszczyzną.Każdą liczbę zespoloną można zapisać w postaci (x,y) lub x+iy, gdzie x i y są rzeczywiste, natomiast liczba i jest specjalną liczbą zespoloną zwaną jednostką urojoną. Liczba i ma własność i*i = -1.

14 Smok Heighwaya Zbiór F składa się z dwóch odwzorowań (notacja zespolona):

15 Fraktale Scena chaosu

16 Zbiór Mandelbrota Zbiór Mandelbrota M, to zbiór takich liczb zespolonych c dla których wyrażenie: xn+1=xn2 + c jest ograniczone (dla x0 = 0).

17 Trójkąt SierpińskiegoCzy ten wzór może istnieć w przyrodzie?

18 Fraktalny kalafior

19 Pioruny to też fraktale

20 Fraktale jako sztuka

21 Cechy fraktali Skomplikowany nieregularny kształt – możliwość nieskończonego zbliżania Samopodobieństwo „Dziwne” i trudne do wyznaczenia rozmiary – np. nieskończona długość, niecałkowity wymiar itd. Często pochodzą z bardzo prostych wzorów

22 Badania fraktali w programie GNU XaoSEksperyment Badania fraktali w programie GNU XaoS

23 Automaty komórkowe Proste modele skomplikowanego świata

24 Automaty komórkowe Przestrzeń Stan Sąsiedztwo Reguła przejścia

25 Przykład

26 Wzory generowane przez CA

27 Wzory generowane przez CA

28 Roślinki?

29 Rzeki, układ żył, korzenie?

30 Zastosowania Modelowanie zachowań społecznych: Zjawiska przyrodniczeKorki drogowe Tłum uciekający z palącego się pomieszczenia Rozprzestrzenianie się chorób Zjawiska przyrodnicze Pożary lasów Zjawiska magnetyczne Zjawiska hydrodynamiczne – przepływ cząsteczek płynów i gazów Generowanie „fajnych” wzorków – grafika komputerowa. I wiele innych!

31 Eksperyment Gra w życie

32 Chętnie odpowiem na Waszepytania

33 Dziękuję za uwagę! Witold Bołt Koło Naukowe Kolor::