1 Niepewności pomiarów

2 Błąd pomiaru - różnica między wynikiem pomiaru a wartością mierzonej wielkości fizycznej. Bywa też nazywany błędem bezwzględnym pomiaru. Ponieważ wartość wielkości mierzonej (wartość prawdziwa) jest w praktyce niepoznawalna, to w celu określenia błędu posługujemy się poniższymi, bardziej precyzyjnymi terminami. Ścisłe określenie, co to jest wartość prawdziwa, zależy od użytej teorii fizycznej (fizyka klasyczna lub kwantowa). Błąd przypadkowy - różnica między wynikiem pomiaru a średnią arytmetyczną nieskończonej liczby wyników pomiarów tej samej wielkości mierzonej, wykonanych w warunkach powtarzalności. Błąd przypadkowy jest wynikiem nieprzewidywalnych zmian przypadkowych czynników wpływających na pomiar; daje on przyczynek wpływający na rozrzut wyników.

3 Błąd systematyczny - różnica między średnią arytmetyczną nieskończonej liczby wyników pomiarów tej samej wielkości mierzonej, wykonanych w warunkach powtarzalności, a wartością wielkości mierzonej. Błąd systematyczny jest również wynikiem czynników wpływających na pomiar, ale czynniki te można rozpoznać. Obowiązkiem eksperymentatora jest wprowadzenie poprawki kompensującej błąd systematyczny. Błąd względny - stosunek błędu pomiaru do wartości wielkości mierzonej.

4 Niepewność pomiaru - parametr związany z wynikiem pomiaru, charakteryzujący rozrzut wartości wielkości mierzonej, który można w uzasadniony sposób przypisać wielkości mierzonej. Na pełną niepewność pomiaru powinny składać się wszystkie przyczynki pochodzące od rozrzutu wyników, rozkładu prawdopodobieństwa przyjętego na podstawie wiedzy o mierzonej wielkości, o jej pomiarach, wykorzystanych przyrządach pomiarowych lub przyczynki wynikające z doświadczenia eksperymentatora. Niepewność pomiaru wielkości x oznaczamy literą u(x) (od angielskiego słowa ”uncertainty”)

5 Pomiary bezpośrednie Obliczanie niepewności standardowej metodą typu A dysponujemy zestawem pomiarów powtarzanych w jednakowych warunkach, a obliczenie niepewności dokonuje się drogą analizy statystycznej Odchylenie standardowe σ dla pojedynczego pomiaru jest miarą średniego rozrzutu wyników pomiarów wokół prawdziwej wartości mierzonej wielkości (wartości oczekiwanej) średnia arytmetyczna

6 Powyższy wzór jest wyrazem faktu, że średnia chociaż, tak jak wynik pojedynczego pomiaru, nie jest równa wartości prawdziwej, to jednak leży ona bliżej wartości prawdziwej, niż pojedynczy pomiar. Odchylenie standardowe średniej jest mniejsze niż odchylenie standardowe pojedynczego pomiaru i wyraża się wzorem niepewność pomiaru typu A

7 Obliczanie niepewności standardowej metodą typu B dostępny jest tylko jeden wynik pomiaru, lub gdy wyniki nie wykazują rozrzutu. Niepewność ocenia się na podstawie danych umieszczonych w specyfikacji przyrządu pomiarowego, wiedzy o danej wielkości fizycznej lub o przedziale, w którym wartość rzeczywista powinna się mieścić. W laboratorium studenckim najprostsza metoda obliczania niepewności typu B polega na uwzględnieniu niepewności maksymalnej  x, będącej połową szerokości przedziału, w jakim zmierzone wartości powinny się mieścić

8 Jeżeli obydwa typy niepewności występują równocześnie, należy posłużyć się prawem składania niepewności, które prowadzi do następującej zależności na niepewność standardową łączną:

9 Obliczanie niepewności wielkości złożonej

10 Np. masa m = 0.02145 kg, a niepewność u(m) = 3.751 g = 0.003751 kg 1. zaokrąglimy do dwóch cyfr znaczących niepewność u(m) = 0.0038 kg, 2. zaokrąglimy wynik pomiaru (tutaj do czterech cyfr po przecinku) m = 0.0214 kg. 3. wynik zapiszemy jako: m = (0.0214 ± 0.0038) kg lub jeszcze lepiej: m = (21.4 ± 3.8)∙10 -3 kg Poniższe zaokrąglenia, jakkolwiek formalnie poprawne, są z fizycznie niepoprawne: m = (0.0214 ± 0.00375) kgźle m = (0.02145 ± 0.0038) kgźle m = (0.021 ± 0.0038) kgźle Zaokrąglanie wyników pomiaru

11 Średnia ważona wagą jest odwrotność niepewności standardowej średnia arytmetyczna

12 y x 2U(x)2U(x) 2U(y)2U(y) prostokąt niepewności Graficzne zaznaczanie punktów pomiarowych, prostokątów niepewności i krzywej doświadczalnej x x Graficzne przedstawienie wyników źle!!!

13 Metoda najmniejszych kwadratów

14

15 estymator jednakowych odchyłek standardowych zmierzonych wartości y i Metodę najmniejszych kwadratów wykorzystują programy komputerowe przy dopasowaniu funkcji do punktów pomiarowych

16 P(μ-σ ≤ x ≤ μ+σ) = 0.6826 (68.26%) P(μ-2σ ≤ x ≤ μ+2σ) = 0.9544 (95.44%) P(μ-3σ ≤ x ≤ μ+3σ) = 0.9973 (99.73%)