1 𝑹𝒂𝒅𝒊𝒐 𝒅𝒆 𝒍𝒂 𝒗𝒆𝒄𝒊𝒏𝒅𝒂𝒅 (𝜹) VECINDAD DE UN NÚMERO 𝒙 𝟎 −𝜹 𝑿 𝟎 𝒙 𝟎 +𝜹 𝑽 𝜹 (𝒙 𝟎 ) =< 𝒙 𝟎 −𝜹, 𝒙 𝟎 +𝜹> 𝑽 𝟐 (𝟓) =<𝟑,𝟕> 𝑽 𝟓 (𝟒) =<−𝟏,𝟗> 3 5 7 𝑽 𝟓 (𝟒) =<−𝟏,𝟒>∪<𝟒,𝟗> 𝑽 𝟐 (𝟓) =<𝟑,𝟓>∪<𝟓,𝟕> VECINDAD REDUCIDA DE UN NÚMERO 𝒙 𝟎 −𝜹 𝑿 𝟎 𝒙 𝟎 +𝜹 𝑽 𝜹 (𝒙 𝟎 ) =< 𝒙 𝟎 −𝜹, 𝑿 𝟎 >∪< 𝑿 𝟎 ,𝒙 𝟎 +𝜹>

2 No es Punto de Acumulación¿Qué significa Punto de Acumulación de un intervalo? ¿es 5 punto de acumulación del intervalo 𝟑,𝟗 ? 1.- Debe hallar 𝑽 𝜹 (𝟓) 2.- ¿Se intercepta la vecindad reducida de 5 con el intervalo? 𝑽 𝟑 (𝟓) 2 8 𝑽 𝟏 (𝟓) 4 6 𝑽 𝟎.𝟎𝟎𝟏 (𝟓) 3 5 9 =<𝟒.𝟗𝟗𝟗,𝟓>∪<𝟓,𝟓.𝟎𝟎𝟏> La idea es encontrar un radio de tal manera que no exista intercepción, si no es posible decimos que 5 es punto de acumulación del intervalo ¿es 6 punto de acumulación del intervalo 𝟏,𝟓 ? No es Punto de Acumulación 3 9 𝑽 𝟑 (𝟔) <𝟓.𝟓,𝟔>∪<𝟔,𝟔.𝟓= 𝑽 𝟎.𝟓 (𝟔) 1 5 6

3 0 no es punto de acumulación del dominio de la función𝐹 𝑥 =𝑥+1 𝐹 2 =2+1=3 x F(X) 𝟏 𝟏.𝟓 𝟏.𝟗 𝟏.𝟗𝟗 𝟐 𝟐.𝟎𝟏 𝟐.𝟏 𝟐.𝟓 𝟑 𝟐 𝟐.𝟓 𝟐.𝟗 𝟐.𝟗𝟗 𝟑 𝟑.𝟎𝟏 𝟑.𝟏 𝟑.𝟓 𝟒 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟐 𝑭(𝒙) =𝟑 El concepto de Límite es saber que pasa con la función F(x); cuando x toma valores cercanos a un número por la derecha y por la izquierda Si al evaluar la función por la izquierda y por la derecha da el mismo número se dice que el límite existe 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟓 𝑭(𝒙) =𝟔 𝐹 5 =5+1=6 x 4 4.5 4.9 4.99 5 5.01 5.1 5.5 6 F(X) 5.9 5.99 6.01 6.1 6.5 7 0 no es punto de acumulación del dominio de la función = −𝟐 𝟑 𝐹 𝑥 = 𝑥−2 3+𝑥 𝑯𝒂𝒍𝒍𝒂𝒓 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟎 𝑭(𝒙)

4 𝐥𝐢𝐦 𝒙→ 𝒙 𝟎 𝑭 𝒙 =𝑭( 𝒙 𝟎 ) =𝑳 Siempre que 𝒙 𝟎 sea punto de acumulación del dominio de la función y exista L Esta afirmación esta apoyada por el Teorema de la Unicidad del límite: «Si una función tiene límite este es único» ∀ 𝜖>0 𝑛𝑜 𝑖𝑚𝑝𝑜𝑟𝑡𝑎 𝑞𝑢𝑒 tan 𝑝𝑒𝑞𝑢𝑒ñ𝑜 𝑠𝑒𝑎,∃ 𝛿>0/ 𝑥− 𝑥 0 <𝜀 𝑠𝑖𝑒𝑚𝑝𝑟𝑒 𝑞𝑢𝑒 𝐹 𝑥 −𝐿 <𝛿 TEOREMAS Todos los teoremas son ciertos siempre que 𝒙 𝟎 sea punto de acumulación del dominio de la función y exista L ① 𝐥𝐢𝐦 𝒙→ 𝒙 𝟎 𝑭 𝒙 = 𝐥𝐢𝐦 𝒙→ 𝒙 𝟎 𝑲=𝑲 𝐹 𝑥 =3 𝐹 𝑥 =−5 Función Constante 𝐹 𝑥 =𝑥 Función Identidad 𝐥𝐢𝐦 𝒙→ 𝒙 𝟎 𝒙= 𝒙 𝟎 𝐹 𝑥 =4𝑥 Función Lineal Genera otra propiedad ② 𝐥𝐢𝐦 𝒙→ 𝒙 𝟎 𝑲.𝑭 𝒙 = 𝑲. 𝐥𝐢𝐦 𝒙→ 𝒙 𝟎 𝑭 𝒙 = 𝐥𝐢𝐦 𝒙→ 𝒙 𝟎 𝟒 𝒙= 𝟒𝐥𝐢𝐦 𝒙→ 𝒙 𝟎 𝒙 = 𝟒𝒙 𝟎

5 𝑥 5 −3 𝑥 4 +2 𝑥 2 +𝑥−8 𝐹 𝑥 = 𝑥 2 Función CuadráticaGenera otra propiedad ③ 𝐥𝐢𝐦 𝒙→ 𝒙 𝟎 𝑭 𝟐 𝒙 = 𝐥𝐢𝐦 𝒙→ 𝒙 𝟎 { 𝑭 𝒙 } 𝟐 = { 𝐥𝐢𝐦 𝒙→ 𝒙 𝟎 𝑭 𝒙 } 2 Que puede generalizarse para cualquier potencia 𝐥𝐢𝐦 𝒙→ 𝒙 𝟎 𝑭 𝒏 𝒙 = 𝐥𝐢𝐦 𝒙→ 𝒙 𝟎 { 𝑭 𝒙 } 𝒏 = { 𝐥𝐢𝐦 𝒙→ 𝒙 𝟎 𝑭 𝒙 } 𝑛 𝑥 5 −3 𝑥 4 +2 𝑥 2 +𝑥−8 Cada monomio es considerado como una función ④ 𝐥𝐢𝐦 𝒙→ 𝒙 𝟎 {𝑭 𝒙 +𝑮 𝒙 }= 𝐥𝐢𝐦 𝒙→ 𝒙 𝟎 𝑭 𝒙 + 𝐥𝐢𝐦 𝒙→ 𝒙 𝟎 𝑮 𝒙 ⑤ 𝐥𝐢𝐦 𝒙→ 𝒙 𝟎 {𝑭 𝒙 −𝑮 𝒙 }= 𝐥𝐢𝐦 𝒙→ 𝒙 𝟎 𝑭 𝒙 − 𝐥𝐢𝐦 𝒙→ 𝒙 𝟎 𝑮 𝒙 ⑥ 𝐥𝐢𝐦 𝒙→ 𝒙 𝟎 𝑭 𝒙 .{𝑮 𝒙 }= {𝐥𝐢𝐦 𝒙→ 𝒙 𝟎 𝑭 𝒙 } {𝐥𝐢𝐦 𝒙→ 𝒙 𝟎 𝑮 𝒙 } = lim 𝑥→ 𝑥 0 𝐹(𝑥) lim 𝑥→ 𝑥 0 𝐺(𝑥) ⑦ 𝐥𝐢𝐦 𝒙→ 𝒙 𝟎 𝑭(𝒙) 𝑮(𝒙) Siempre que el límite del denominador sea diferente de cero. 𝒏 lim 𝑥→ 𝑥 0 𝐹(𝑥) ⑧ lim 𝒙→ 𝒙 𝟎 𝑭(𝒙) = 𝒏 Que puede generalizarse para cualquier índice

6 lim 𝑥→3 3𝑥 2 −𝑥 +1 =𝟑(𝟑) 𝟐 −𝟑+𝟏 =25 Resuma toda la teoría a probar la existencia del punto de acumulación y al evaluar debe hallar un número lim 𝑥→3 3𝑥 2 − lim 𝑥→3 𝑥 + lim 𝑥→3 1 3 lim 𝑥→3 𝑥 2 −3 +1 3 ( lim 𝑥→3 𝑥 ) 2 3 ( 3 ) 2 −3 +1 =25 Observación: casi el total de ejercicios muestran que existe el punto de acumulación, solo si al reemplazar aparece un número complejo es seguro que no hay punto de acumulación lim 𝑥→3 𝑥−3 −5𝑥− 2−𝑥 3 .𝑥 +1 ¿3 es punto de acumulación del Dom F(x)? 𝟑−𝟑 −𝟓(𝟑)− 𝟐−𝟑 𝟑 .𝟑+𝟏 =−11

7 La División entre cero no existe 3 es punto de acumulación𝐷𝑜𝑚𝐹 𝑥 =𝑅−{3} lim 𝑥→3 2 𝑥 2 −3𝑥+4 𝑥−3 La División entre cero no existe 3 es punto de acumulación Para los siguientes ejercicios ya no es necesario que verifique este dato. 2(3) 2 −3(3)+4 (3)−3 = 𝟏𝟑 𝟎 Cada vez que aparezca un número entre cero, es un hecho que el límite no existe Pero existe un comportamiento que se evalúa con la definición «por la izquierda y por la derecha» 𝟏 𝒆𝒓 𝑪𝒂𝒔𝒐:𝑳í𝒎𝒊𝒕𝒆𝒔 𝒒𝒖𝒆 𝒏𝒐 𝒆𝒙𝒊𝒔𝒕𝒆𝒏: = + 2(3.001) 2 −3(3.001)+4 (3.001)−3 a.- cerca de «3» por la derecha. =+∞ + 2(2.99) 2 −3(2.99)+4 (2.99)−3 = + b.- cerca de «3» por la izquierda. =−∞ − 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟑 𝑭 𝒙 =−∞ 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟑 𝑭 𝒙 =+∞ 𝐥𝐢𝐦 𝒙→𝟑 𝑭 𝒙 =∞ Su interpretación es un número infinitamente pequeño Su interpretación es un número infinitamente grande Su interpretación es no existe