1 nr36zad3 Klasa IIIa Gimnazjum w Bogdańcu ma zaszczyt zaprezentować rozwiązanie zadania: o trójkątach z monet!

2 treść Budujemy coraz większe trójkąty równoboczne z jednakowych monet. Pierwszy trójkąt zawiera dokładnie 3 monety, drugi 6 - monet, kolejny, trzeci trójkąt zawiera 10 monet, a czwarty i następne? Podaj i uzasadnij wzór obliczający liczbę monet potrzebnych do zbudowania n- tego z kolei trójkąta równobocznego.

3 analiza Ilość monet w podstawie w każdym kolejnym trójkącie zwiększa się o 1, tak więc ilość monet w podstawie w każdym kolejnym trójkącie tworzy ciąg arytmetyczny. Ponieważ: w 1. trójkącie w podstawie są 2 monety w 2. trójkącie w podstawie są 3 monety w 3. trójkącie w podstawie są 4 monety

4 analiza oznaczmy: numer trójkąta n ilość monet w podstawie a n n = 1 a 1 = 2 n = 2 a 2 = 3 n = 3 a 3 = 4 n = n a n = n+1

5 analiza Pierwszy wyraz ciągu a 1 =2 ponieważ w 1. trójkącie w podstawie są 2 monety.

6 analiza Drugi wyraz ciągu a 2 =3 ponieważ w 2. trójkącie w podstawie są 3 monety.

7 analiza Trzeci wyraz ciągu a 3 =4 ponieważ w 3. trójkącie w podstawie są 4 monety.

8 Tak więc n-ty wyraz ciągu a n = n+1 ponieważ w n-tym trójkącie w podstawie jest n+1 monet.......................................... analiza

9 Sumę elementów w ciągu arytmetycznym obliczamy ze wzoru: S= rozwiąanie

10 rozwiązanie Wiemy, że zawsze a 1 =2. Nie można także zapomnieć o pierwszej monecie (wierzchołku trójkąta). Ostatni wyraz (czyli podstawa) to: a n = n+1. Podstawiając to do wzoru na ciąg arytmetyczny oraz dodając wierzchołek trójkąta otrzymujemy: = S n - ilość monet w n-tym trójkącie

11 rozwiązanie Po przekształceniu: =

12 Dla n parzystego. (n=2k). Dla n nieparzystego. (n=2k+1) ‏ Dowód,że wyrażenie należy do liczb naturalnych. == == ==

13 sprawdzenie Dla n=1 ==

14 sprawdzenie Dla n=2 ==

15 Klasa IIIa Gimnazjum w Bogdańcu dziękuje za uwagę :-) ‏