1 o granicy funkcji przy obliczaniu granic Twierdzeniai ich zastosowanie przy obliczaniu granic Postaraj się przewidzieć co pojawi się w następnym polu tekstowym.

2 Tw. 1 Tw. 2 Tw. 3 Tw. 4 Czy obliczanie granic funkcji jest trudne ?Oczywiście jest to retoryczne pytanie, gdyż wiadomo, że to zależy od postaci funkcji, od znajomości twierdzeń o granicach funkcji, od umiejętności przekształcania wyrażeń dzięki którym otrzymamy wyrażenia o prostszej postaci. Przypomnijmy podstawowe twierdzenia o granicach funkcji, które są analogiczne do twierdzeń o granicach ciągów. Tw. 1 o ile one istnieją Tw. 2 j.w Tw. 3 j.w . Następne twierdzenie najczęściej stosowane Tw. 4 gdzie c - constans W oparciu o te twierdzenia można obliczyć tylko granice bardzo prostych funkcji, ale tu trzeba mieć pewne doświadczenie. 2

3 Granice te zależą od przepisów tych funkcji.Jak wiemy obliczając granice bardzo prostych funkcji , np. natrafiamy na granice pewnych typów, które nazwaliśmy symbolami nieoznaczonymi : i inne np. W powyższych przypadkach możemy tak dobrać funkcje, aby ich granice były z góry dowolnie zadanymi liczbami. Zatem, w takich sytuacjach, gdy nic więcej nie wiemy o funkcjach tych granic nie możemy wyznaczyć. Granice te zależą od przepisów tych funkcji. W tych przypadkach, należy przekształcić postać funkcji tak, by po skorzystaniu z odpowiednich twierdzeń, pozbyć się granic postaci nieoznaczonej. Przekształcenia te, są zależne od typu granicy i postaci funkcji.

4 Zad 1. Wyznaczmy granice funkcji uzasadniając każdy krok.Czasem wystarczy wyłączyć przed nawias, innym razem skrócić lub rozszerzyć ułamek ( np. przez sumę czy różnicę ) bądź, rozłożyć na czynniki licznik i mianownik i.t.p. Czasem a szczególnie przy granicach jednostronnych musimy znać twierdzenie : Tw. 5 Zastosujmy powyższe twierdzenia o granicach funkcji w przykładach: Zad Wyznaczmy granice funkcji uzasadniając każdy krok.

5 Powyższego zapisu na ogół nie stosujemy, jest on długi, niewygodnyi w trakcie obliczeń ciągle wykorzystujemy te same twierdzenia. Dlatego też w następnych przykładach będziemy pisać krócej ( ale, mam nadzieję, że nie trzeba nikogo przekonywać o konieczności znajomości tych twierdzeń i uzasadnieniu obliczeń ). Ponadto w takich przypadkach jak powyżej, granice wyznaczamy prościej, korzystając z faktu, że funkcja taka jest ciągła w D. Gdy punkt w którym obliczamy granicę należy do dziedziny funkcji ciągłej to granica w tym punkcie jest wartością funkcji w tym punkcie. Zad 2. Zad 3. Analizujemy jakiego typu jest to granica Jak widać nie ma problemu ( do czego dążą wyrazy danego wyrażenia ). Zad 4. Typ granicy ? Symbol nieoznaczony W trzech składnikach trzeba pozbyć się nieskończoności. Wyłączyć „największy” składnik przed nawias. Jak ?

6 Czy uwagi, które przekazywałem były Wam potrzebne ?Nie, jeżeli umiecie obliczać granice ciągów bo czynności, przekształcenia wyrażeń są dokładnie takie same. Zad 5. Zad 6. Zad 7. Zad 8. Wykonywaliśmy te same czynności co poprzednio i niestety mamy znowu symbol nieoznaczony. Co zrobić ? Kto pamięta jak obliczaliśmy granice ciągów podobnej postaci, wie. Wyrażenie pomnożyć i podzielić przez sumę wyrażeń.

7 Zad 9 Zad 10. Zad 11. 2 jest pierwiastkiem licznika i mianownika licznik i mianownik rozkładamy na czynniki Zad 12. Spróbujmy rozszerzyć przez ……

8 Zad. 13. Zad. 14 Zad. 15 Zad. 16 Pamiętamy takie wyrażenia ?Rozszerzamy przez sumy Skracamy przez

9 Zad. 17 Po jakich znakach dąży do zera ? Zad. 18 Zad. 19 bo mianownik dąży do 0 po wartościach dodatnich i ujemnych, co widać na wykresie mianownika W takich przypadkach rozpatrujemy granice jednostronne . 19 a. 19 b. Dlaczego w mianowniku przy 0 dopisaliśmy + , _ , widać na wykresie. Podobnie, 19 c. 19 d. Zad. 20

10 Zad. 21 Zad. 22 Zad. 23

11 W następnych zadaniach będziemy korzystać z twierdzeniao granicy funkcji szczególnej postaci : Dowód w prezentacji : @ Granice szczególnych funkcji @ Zad. 24 Niestety, do tych zadań trzeba znać trygonometrię. Zad. 25 Aby znikł tgx, rozszerzamy przez cosx Zad. 26 ? Zad. 27 Zad. 28

12 Zad. 29 Zad. 30 Pomimo, że obliczyliśmy 30 granic różnych funkcji, chyba zdajemy sobie sprawę z tego, że jak na razie potrafimy obliczać granice funkcji tylko bardzo prostych, funkcji szczególnych postaci ( tak samo było przy granicach ciągów ). Ale, aby można było powiedzieć, że umiemy wyznaczać granice nawet dla niewielkiej rodziny funkcji, należy przerobić trochę ćwiczeń. Proponuję obliczyć granice funkcji : a ) b ) c )

13 d ) e ) f ) g ) h ) i ) Wykonanie tych zadań daje dużą szansę, że na poziomie szkoły średniej obliczanie granic funkcji nie będzie sprawiało kłopotu. Zainteresowani matematyką ( uczniowie klas matematycznych ) poznają później twierdzenia, dzięki którym będzie można obliczyć granice bardziej skomplikowanych funkcji.

14 Na koniec tej prezentacji jeszcze raz lecz w skróconym zapisie,przedstawmy twierdzenia o granicy funkcji w szczególnych przypadkach : Symbol oznacza: dąży do 0 po wartościach dodatnich ( ujemnych ). gdy dąży do 0 po wartościach o różnych znakach Aby widzieć po jakich znakach mianownik dąży do 0 warto narysować jego wykres. Opr. WWW. i-lo. tarnów. Bardzo proszę o krytyczne przeanalizowanie prezentacji i przekazanie uwag, by po korekcie, można było ją uznać za poprawną. Z góry dziękuję. belferwww.one.pl Koniec prezentacji