1 O número e Ledo Vaccaro Machado

2 Para n > 2, n! > 2n-1 e 1 𝑛! < 1 2 𝑛−1S n = 1 0! + 1 1! ! + 1 3! + 1 4! + 1 5! +…+ 1 n! Para n > 2, n! > 2n-1 e 1 𝑛! < 1 2 𝑛−1 2< S n = ! + 1 3! + 1 4! + 1 5! +…+ 1 n! (para n>2) SPG = 1 (( 1 2 ) 𝑛 −1) 1 2 −1 = 1− 1 2 𝑛 = =2 1− 1 2 𝑛 <2 2< 𝑆 𝑛 = ! + 1 3! + 1 4! + 1 5! +…+ 1 𝑛! < < … 𝑛−1 <1+2=3 2 < Sn < 3 A sequência Sn é monótona (estritamente crescente) e limitada. Portanto, quando n tende ao infinito, ela converge a um limite. Vamos chamar esse limite de e.

3 Irracionalidade do número e Ledo Vaccaro Machado

4 2 < e < 3 e= ! + 1 3! + 1 4! + 1 5! +… Vamos supor, por absurdo, que exista um racional p/q que seja igual a e. Como 2 < e < 3, devemos ter q  2, haja vista que p/q não é inteiro. Multiplicando os dois membros da igualdade acima por q!, temos no primeiro membro: e∙𝑞!= 𝑝 𝑞 ∙1∙2∙3∙4∙…∙𝑞=p∙1∙2∙3∙4∙… ∙(𝑞−1) Esse produto é um número inteiro pois todos os fatores são números inteiros. No segundo membro, temos: [𝑞!+𝑞!+3∙4∙…∙𝑞+4∙5∙…∙𝑞+5∙6∙…∙𝑞+…+ 𝑞−1 ∙𝑞+𝑞+1]+ + 1 𝑞 (𝑞+1)(𝑞+2) + 1 (𝑞+1)(𝑞+2)(𝑞+3) … O número que se encontra dentro dos colchetes é um inteiro. Como q  2, q + 1 é, no mínimo, 3, e temos:

5 1 𝑞 (𝑞+1)(𝑞+2) + 1 (𝑞+1)(𝑞+2)(𝑞+3) …≤ ∙ ∙4∙5 +…< …= − 1 3 = 1 2 O número que se encontra fora dos colchetes é uma fração menor do que ½, e o segundo membro da igualdade é a soma de um inteiro com essa fração. Portanto, a igualdade não se verifica: o primeiro membro é inteiro e o segundo não é. A igualdade é absurdo e não existe racional p/q igual a “e”. O número “e“ é irracional. 1+1=2 = 5 2 =2,5 = 16 6 =2,666… = =2,708333… = =2,71666… 2,

6 (1+1/n)n e

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8 Passado um tempo t de aplicação de um valor V no regime de juros simples a uma taxa i, o aplicador receberá um montante M = V + Vit (i e t referenciados na mesma unidade de tempo). Em 1 ano: 1+1x1x1=1+1 = 2 Em 6 meses: 1+1x1x( 1 2 )=1+ 1 2 ( ) + ( )x1x( 1 2 ) = ( ) ( ) = ( )2 = ( 3 2 )2 = = 2,25 Em 4 meses: 1+1x1x( 1 3 )=1+ 1 3 ( ) + ( )x1x( 1 3 ) = ( ) ( ) = ( )2 ( )2 + ( )2x1x( 1 3 ) = ( )2 ( ) = ( )3 = ( 4 3 )3 = = 2,

9 Diariamente: (1+ 1 360 )360 = ( 361 360 )360= 2,714516 Em 3 meses:1+1x1x( 1 4 )=1+ 1 4 ( ) + ( )x1x( 1 4 ) = ( ) ( ) = ( )2 ( )2 + ( )2x1x( 1 4 ) = ( )2 ( ) = ( )3 ( )3 + ( )3x1x( 1 4 ) = ( )3 ( ) = ( )4 = ( 5 4 )4 = = 2, Em 1 meses: Diariamente: ( )360 = ( )360= 2,714516 1+1x1x( 1 12 )= ( ) + ( )x1x( 1 12 ) = ( ) ( ) = ( )2 ( )2 + ( )2x1x( 1 12 ) = ( )2 ( ) = ( )3 . ( )11+ ( )11x1x( 1 12 ) = ( )11 ( ) = ( )12 = ( )12 = 2,

10 Vamos fazer o desenvolvimento binomial de (1 + 1 𝑛 )n :1+ 1 𝑛 𝑛 = 𝑛 𝑛 1 𝑛 𝑛 𝑛− 𝑛 𝑛 𝑛− 𝑛 𝑛 𝑛− 𝑛 𝑛 𝑛− 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 𝑛 = =1+𝑛 1 𝑛 + 𝑛(𝑛−1) 2! 1 𝑛 𝑛(𝑛−1)(𝑛−2) 3! 1 𝑛 𝑛(𝑛−1)(𝑛−2)(𝑛−3) 4! 1 𝑛 𝑛 𝑛 = =1+1+ 𝑛−1 𝑛 2! + ( 𝑛−1 𝑛 )( 𝑛−2 𝑛 ) 3! + ( 𝑛−1 𝑛 )( 𝑛−2 𝑛 )( 𝑛−3 𝑛 ) 4! 𝑛 𝑛 = = − 1 𝑛 2! + 1− 1 𝑛 (1− 2 𝑛 ) 3! + 1− 1 𝑛 (1− 2 𝑛 )(1− 3 𝑛 ) 4! 𝑛 𝑛 Fazendo n ir para o infinito nos dois membros da igualdade 1+ 1 𝑛 𝑛 = − 1 𝑛 2! + 1− 1 𝑛 (1− 2 𝑛 ) 3! + 1− 1 𝑛 (1− 2 𝑛 )(1− 3 𝑛 ) 4! 𝑛 𝑛 , temos: lim 𝑛→∞ 𝑛 𝑛 = ! + 1 3! + 1 4! + 1 5! = e lim 𝑛→∞ 𝑛 𝑛 = e

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