1 O ODPORNOŚCI KONWENCJONALNEGO OBSERWATORA LUENBERGERA ZREDUKOWANEGO RZĘDU Ryszard Gessing Instytut Automatyki Politechnika Śląska

2 Plan prezentacji Wprowadzenie Przypadek obiektu o jednym wejściu i jednym wyjściu (SISO) Obserwator Luenbergera zredukowanego rzędu Własności obserwatora, przykład 1 Przypadek obiektu SISO z zerami, przykład 2 Uwagi końcowe

3 Wprowadzenie Obserwator Luenbergera – podejście deterministyczne; Filtr Kalmana – podejście stochastyczne; Są budowane w oparciu o model obiektu; W związku z tym są wrażliwe na zmiany parametrów obiektu. Wyznaczanie ocen współrzędnych stanu:

4 np. Filtr Kalmana W modelu obiektu występują szumy układowe i pomiarowe: są białymi szumami o znanych macierzach kowariancji odpowiednio, - nieosobliwa Filtr Kalmana: gdy przyjmuje postać:

5 Plan prezentacji Wprowadzenie Przypadek obiektu o jednym wejściu i jednym wyjściu (SISO) Obserwator Luenbergera zredukowanego rzędu Własności obserwatora, przykład 1 Przypadek obiektu SISO z zerami, przykład 2 Uwagi końcowe

6 Przypadek obiektu o jednym wejściu i jednym wyjściu (SISO) Rozważmy obiekt o transmitancji: Wprowadzamy współrzędne stanu:

7 Równania stanu obiektu:

8 lub w równoważnej postaci:

9 Plan prezentacji Wprowadzenie Przypadek obiektu o jednym wejściu i jednym wyjściu (SISO) Obserwator Luenbergera zredukowanego rzędu Własności obserwatora, przykład 1 Przypadek obiektu SISO z zerami, przykład 2 Uogólnienie wyników Uwagi końcowe

10 Obserwator Luenbergera zredukowanego rzędu -macierze o odpowiednim wymiarze ma wartości własnetakie że Istnieje macierzspełniająca równania; -macierz jednostkowa nxn

11 Uzasadnienie Oznaczając: i mnożąc równanie lewostronnie przez P otrzymujemy po przekształceniach: Jeżeli nie jest znane to ani ani nie jest znane ale

12 Plan prezentacji Wprowadzenie Przypadek obiektu o jednym wejściu i jednym wyjściu (SISO) Obserwator Luenbergera zredukowanego rzędu Własności obserwatora, przykład 1 Przypadek obiektu SISO z zerami, przykład 2 Uwagi końcowe

13 Własności obserwatora 1.Wybierz E i F tak że są duże ujemne; 2.Znajdź P z rozwiązania pierwszego równania; 3.Macierze W i V wynikają ze wzoru: Jeżeli i to nie zależy od parametrów obiektu

14 Przypadek obiektu SISO bez zer Jeżeli i to i obserwator jest mało wrażliwy na zmiany parametrów obiektu

15 Przykład 1 Obiekt: Równoważny opis w postaci równań stanu:

16 Przykład 1 Wolniejszy obserwator: Szybszy obserwator:

17 Wyniki symulacji

18 Pomiar z szumem, obiekt nominalny -wyjście filtru zasilanego białym szumem o wariancji 1 i próbkowaniu 0.0001

19 Zastosowanie do obiektów nieliniowych Obiekt nieliniowy IObiekt nieliniowy II (ramię robota) Charakterystyka statyczna Dane do symulacji: I II

20 Wyniki symulacji (Obserwator szybszy zaprojektowany poprzednio dla obiektu liniowego)

21 Plan prezentacji Wprowadzenie Przypadek obiektu o jednym wejściu i jednym wyjściu (SISO) Obserwator Luenbergera zredukowanego rzędu Własności obserwatora, przykład 1 Przypadek obiektu SISO z zerami, przykład 2 Uwagi końcowe

22 Przypadek obiektu SISO z zerami Transmitancja obiektu Współrzędne stanu (m>0):

23 Równania stanu

24 Własności obserwatora 1.Wybierz E i F tak że są duże ujemne; 2.Znajdź P z rozwiązania pierwszego równania; 3.Macierze W i V wynikają ze wzoru: Jeżeli i to nie zależy od parametrów obiektu

25 Własności obserwatora 1) nie zależą od zmian wszystkich parametrów 2) Zależą od zmian parametrów: i nie zależą od zmian parametrów

26 Obiekt: Przykład 2 mamy: przyjmujemy:

27 z rozwiązania równań: otrzymujemy:

28 Wyniki symulacji dla danych:

29 Plan prezentacji Wprowadzenie Przypadek obiektu o jednym wejściu i jednym wyjściu (SISO) Obserwator Luenbergera zredukowanego rzędu Własności obserwatora, przykład 1 Przypadek obiektu SISO z zerami, przykład 2 Uwagi końcowe

30 Szybsze mody obserwatora są związane z mniejszą jego wrażliwością na zmiany parametrów obiektu; Dla obiektów bez zer obserwator z dostatecznie szybkimi modami jest prawie niewrażliwy na zmiany wszystkich parametrów obiektu; Im więcej zer transmitancji tym mniej parametrów obiektu na których zmianę obserwator jest prawie niewrażliwy; Parametry na których zmianę obserwator jest prawie niewrażliwy nie występują w stosowanych wzorach określających współrzędne stanu; Można przypuszczać, że obserwator Luenbergera pełnego rzędu ma podobne własności.