1 Obserwatory zredukowanePełny lub n-tego rzędu obserwator (Luenberger’a) – redundancja informacyjna Pewna liczba zmiennych stanu dostępna poprzez zakładany pomiar wyjść Będziemy zakładali, jak poprzednio Przypadek ciągły Wyprowadzenie I Zakładamy: q mierzonych wyjść są liniowo niezależne – macierz C ma rząd q Zakładamy też: macierz C o wymiarze qxn ma postać lub można ją sprowadzić do postaci (przez przekształcenie podobieństwa – zmianę bazy)

2 Jeżeli opis systemu sterowanego nie jest początkowo w postaciróżnej od podanej - przeprowadzamy transformację podobieństwa wybierając macierz T ’ tak, aby T było nieosobliwe ( miała macierz odwrotną)

3 Możliwy sposób wyboru macierzy T ’czyli Dowód poprawności wyboru – z metody eliminacji Gausa - Jordana Związki wynikające z przekształcenia podobieństwa:

4 Dekompozycja Biorąc pod uwagę postać macierzy C można napisać równanie stanu w postaci

5 lub Równanie wyjścia staje się oczywiście tożsamością (tautologią) Przy czym pamiętamy Wystarczy teraz estymować tylko v (n-q – elementów)

6 jest dostępne pomiarowo, to równieżIdea rekonstrukcji Ponieważ jest dostępne pomiarowo, to również Wartość jest mierzalna Podane równania możemy tratować jako równania stanu i równania pomiarów, w których - wektor stanu - wektor wejścia - wektor wyjścia (pomiaru) Równanie stanu i pomiaru zredukowanego systemu piszemy w postaci Odpowiada to równaniom:

7 Budujemy pełny obserwator Luenbergera, ale rzędu n-q, który nazywamy obserwatorem zredukowanymOznaczymy macierz wzmocnień obserwatora zredukowanego o wymiarze (n-q)xq Równanie stanu obserwatora zredukowanego przyjmujemy: Wyprowadzenie szczegółowej postaci obserwatora zredukowanego Bezpośrednio mierzy się y, występowanie pochodnej jest niekorzystne – wprowadza się zmienną

8 Podstawiając do ostatniego wynikuotrzymamy nowe równanie obserwatora zredukowanego lub

9 Odpowiada im schemat blokowy obserwatora zredukowanegoPonieważ v ma wymiar (n-q), więc również z ma wymiar (n-q) i jest dobrze określonym obserwatorem zredukowanym tego rzędu

10 Warunki dla obliczenia macierzy wzmocnień obserwatora zredukowanegoJak poprzednio definiujemy błąd rekonstrukcji obserwatora (błąd estymacji) Warunek dobrego estymatora Weźmy zredukowane równanie stanu systemu i początkowe równanie obserwatora zredukowanego Równanie dynamiki błędu obserwatora zredukowanego

11 Macierz stanu jednorodnego równania dynamiki błędu obserwatoraWymagana obserwowalność pary Lemat. Jeżeli para , to para też jest obserwowalna Twierdzenie. Mając dany liniowy stacjonarny system rzędu n, który posiada q liniowo niezależnych wyjść (pomiarów wyjść) i jest obserwowalny, można skonstruować obserwator rzędu (n-q) mający dowolne wartości własne

12 Przeprowadzona konstrukcja wyznacza jeden obserwator tego typu, który posiadajako macierz systemu Inne wyprowadzenia II. Można też założyć: macierz C o wymiarze qxn ma postać lub można ją sprowadzić do postaci (przez przekształcenie podobieństwa – zmianę bazy)

13 Wówczas, jeżeli opis systemu sterowanego nie jest początkowo w postaciróżnej od podanej - przeprowadzamy transformację podobieństwa wybierając macierz T ’ tak, aby T było nieosobliwe ( miała macierz odwrotną)

14 Możliwy sposób wyboru macierzy T ’czyli Dowód poprawności wyboru – z metody eliminacji Gausa - Jordana

15 Dekompozycja Biorąc pod uwagę inną postać macierzy C można teraz napisać równanie stanu w postaci

16 lub Wystarczy teraz estymować tylko v (n-q – elementów) Równanie wyjścia staje się oczywiście tożsamością (tautologią) Przy czym pamiętamy Wystarczy teraz estymować tylko v (n-q – elementów)

17 Zastosowana idea rekonstrukcji pozostaje taka sama i warunki dla obliczenia macierzy wzmocnień obserwatora zredukowanego wyprowadza się w analogiczny sposób Otrzymamy równanie obserwatora zredukowanego lub

18 Macierz systemu obserwatora przyjmie postaćIII. Można zrezygnować z „częściowo jednostkowej” postaci macierzy C o wymiarze qxn i założyć jedynie, że macierz C ma jedną z postaci a. b.

19 Weźmy przypadek a. Dekompozycja Biorąc pod uwagę postać macierzy C można teraz napisać równanie stanu w postaci

20 Pełny obserwator Nie ma potrzeby rekonstruować górnej składowej wektora stanu – zakładając nieosobliwość C1 można bowiem Dalej: zastosowana idea rekonstrukcji pozostaje taka sama i warunki dla obliczenia macierzy wzmocnień obserwatora zredukowanego wyprowadza się w analogiczny sposób

21 Macierz systemu obserwatora przyjmie postać

22 Obserwator zredukowany dla systemów z jednym wyjściem (system SISO)Przypadek ciągły Biorąc pod uwagę postać macierzy C Ograniczymy się do przypadku wyprowadzenia I Dekompozycja

23 Macierze A oraz B mają postaćMacierze cT ma postać (lub sprowadzamy ją do postaci

24 Macierze wzmocnień obserwatora redukuje się do wektora i oznaczymy goPostępując jak poprzednio otrzymamy równanie obserwatora zredukowanego lub

25 Macierz systemu obserwatora przyjmie postaćProjektowanie obserwatora zredukowanego dla systemów SISO gr określamy tak, aby macierz Fr miała n-1 wartości własnych, które spełniają postulowane równanie charakterystyczne

26 Możliwości I. bezpośrednio – porównanie wartości współczynników II. wykorzystanie postaci kanonicznej obserwowalności wówczas

27 Problem polega na znalezieniutakich, aby macierz miała wielomian charakterystyczny o postulowanej postaci Przywołując twierdzenie podane dla pełnego obserwatora i pamiętając o zmniejszeniu wymiaru o 1 oraz, że macierzy A odpowiada teraz A11

28 otrzymujemy rozwiązanieZatem i równania obserwatora

29 III. macierz A w dowolnej postaci – wykorzystanie dualnego twierdzenia Ackermann’aTwierdzenie dualne Ackermann’a Jeżeli system jest obserwowalny i jeżeli wymaga się, aby obserwator n – tego rzędu (Luenbergr’a) posiadał wielomian charakterystyczny to należy wybrać macierz wzmocnień obserwatora o wartościach gdzie jest ostatnią kolumną odwrotnej macierzy obserwowalności i jest określona lub

30 Dualne twierdzenie Ackermann’a stosujemy systemu zredukowanego, czyli ogólnie do systemu rzędu n-q danego równaniem stanu (wyprowadzenie I) i wyjścia Zatem w twierdzeniu Ackermann’a należy podstawić

31 Przykład 1 (z W10): System jednowymiarowy Zaprojektować pełny obserwator stanu dla systemu, mający podwójna wartość własną w Opis w przestrzeni stanu

32 Ponieważ należy zbudować obserwator zredukowany dla Niech Ponieważ zatem system ma wymaganą postać dla wyprowadzenia I Ale nie jest w postaci kanonicznej obserwowalności – zastosujemy kolejno wyliczenie bezpośrednie i równanie dualne Ackermann’a Dekompozycja

33 Wektor redukuje się do skalara Postulowany wielomian charakterystyczny Macierz systemu obserwatora Wielomian charakterystyczny macierzy systemu obserwatora zatem Porównanie zatem

34 Równanie obserwatora Schemat blokowy systemu z obserwatorem

35 Dualne równanie Ackermann’a stosujemy do systemu zredukowanegoPara oznacza tutaj Macierz obserwowalności Postulowany wielomian charakterystyczny zatem I podobnie jak poprzednio

36 Dziękuję za uczestnictwo w wykładzie i uwagę