1 Obserwowalność i odtwarzalnośćSystem ciągły System dyskretny Obserwowalność/odtwarzalność określa możliwość jednoznacznego określenia stanu systemu w oparciu pomiary przez skończony przedział czasu sygnałów wejścia i wyjścia Znaczenie: znajomość stanu początkowego i wejścia systemu pozwala zrekonstruować całą trajektorię stanu w oparciu o równania stanu

2 Systemy ciągłe Obserwowalność stanu Stan obserwowalny Stan systemu liniowego jest obserwowalny jeżeli można go określić znając wyjście dla chwil ze skończonego przedziału, Jeżeli każdy stan jest obserwowalny, mówimy, że system jest całkowicie obserwowalny lub krócej obserwowalny

3 Obserwowalność systemu ciągłego liniowego stacjonarnegoTwierdzenie OSC LS1 System liniowy stacjonarny jest obserwowalny wtedy i tylko wtedy, gdy macierz obserwowalności, nazywana macierzą obserwowalności Kalmana ma rząd n, tzn. rząd systemu

4 Wymiar macierzy obserwowalnośći: nqxn; n – wymiar stanu, q – wymiar wyjściaDla q=1 macierz obserwowalności jest macierzą kwadratową i dla sprawdzenia obserwowalności wystarczy sprawdzić nieosobliwość macierzy obserwowalności

5 Inne testy obserwowalności systemów ciągłychDodatek A

6 Obserwowalność a przekształcenia podobieństwaObserwowalność zostaje zachowana podczas transformacji podobieństwa

7 Odtwarzalność stanu Stan odtwarzalny Stan systemu liniowego jest odtwarzalny jeżeli można go określić znając wyjście dla chwil ze skończonego przedziału, Jeżeli każdy stan jest odtwarzalny, mówimy, że system jest całkowicie odtwarzalny lub krócej odtwarzalny

8 Dla systemów ciągłych obserwowalność i odtwarzalność są równoważneOdtwarzalność systemu ciągłego liniowego stacjonarnego Twierdzenie OtSC LS1 System liniowy stacjonarny jest odtwarzalny wtedy i tylko wtedy, gdy macierz odtwarzalnośći, nazywana macierzą odtwarzalności Kalmana ma rząd n, tzn. rząd systemu

9 Systemy dyskretne Obserwowalność stanu Stan obserwowalny Stan systemu liniowego jest obserwowalny jeżeli można go określić znając wyjście dla chwil ze skończonego przedziału, Jeżeli każdy stan jest obserwowalny, mówimy, że system jest całkowicie obserwowalny lub krócej obserwowalny

10 Obserwowalność systemu dyskretnego liniowego stacjonarnegoTwierdzenie OSD LS1 System liniowy stacjonarny jest obserwowalny wtedy i tylko wtedy, gdy macierz obserwowalności, nazywana macierzą obserwowalności Kalmana ma rząd n, tzn. rząd systemu

11 Inne testy obserwowalności systemów dyskretnychDodatek B

12 Dla systemów dyskretnych obserwowalność i odtwarzalność nie są równoważneOdtwarzalność systemu dyskretnego liniowego stacjonarnego Twierdzenie OtSD LS1 System liniowy stacjonarny jest odtwarzalny wtedy, gdy macierz odtwarzalności, nazywana macierzą odtwarzalności Kalmana ma rząd n, tzn. rząd systemu

13 Dekompozycja Kalmana systemów niesterowalnych i nieobserwowalnychPrzykład 1 Mamy system Liniowy, stacjonarny, 1 – wejście, 1 - wyjście

14 Transmitancja Zera i bieguny transmitancji Transmitancja po redukcji

15 Schemat blokowy modelu przestrzeni stanu

16 Schemat blokowy modelu w nowej przestrzeni stanuTransformacja do postaci diagonalnej Schemat blokowy modelu w nowej przestrzeni stanu

17 Cztery różne statusy zmiennych stanu:- v1  można na niego wpływać sterowaniem u i można go obserwować z wyjścia y - v2  nie można na niego wpływać sterowaniem u, ale można go obserwować z wyjścia y - v3  można na niego wpływać sterowaniem u, ale nie można go obserwować z wyjścia y - v4  nie można na niego wpływać sterowaniem u, ani nie można go obserwować z wyjścia y

18 Można wyróżnić cztery podsystemy:- związany ze zmienną stanu v1  sterowalny i obserwowalny - związany ze zmienną stanu v2  niesterowalny, ale obserwowalny - związany ze zmienną stanu v3  sterowalny, ale nieobserwowalny - związany ze zmienną stanu v4  niesterowalny i nieobserwowalny Stany niesterowalne i nieobserwowalne mogą być alb stabilne, albo niestabilne System, którego wszystkie stany niesterowalne są stabilne jest nazywany stabilizowalnym System, którego wszystkie stany nieobserwowalne są stabilne jest nazywany wykrywalnym

19 Dekompozycja na podprzestrzenie sterowalne/osiągalneJeżeli system jest niesterowalny/nieosiągalny można go zdekomponować na część sterowalną i niesterowalną Twierdzenie o dekompozycji na podprzestrzenie sterowalne Jeżeli system liniowy stacjonarny o macierzach A, B i C nie jest sterowalny (tzn. A jest wymiaru nxn i rank(Mc = p < n) wówczas może być znalezione przekształcenie podobieństwa takie, że macierze systemu po transformacji mają postać gdzie, , a para macierzy {AC, BC} jest sterowalna, oraz

20 Dodatek C – Sposób znajdowania macierzy przekształcenia podobieństwa i przykład

21 Dekompozycja na podprzestrzenie obserwowalne/odtwarzalneJeżeli system jest nieobserwowalny można go zdekomponować na część obserwowalną i nieobserwowalną Twierdzenie o dekompozycji na podprzestrzenie obserwowalna Jeżeli system liniowy stacjonarny o macierzach A, B i C nie jest obserwowalny (tzn. A jest wymiaru nxn i rank(Mo = p < n) wówczas może być znalezione przekształcenie podobieństwa takie, że macierze systemu po transformacji mają postać gdzie, , , a para macierzy {Ao, Bo} jest obserwowalna, oraz

22 Dodatek D – Sposób znajdowania macierzy przekształcenia podobieństwa i przykład

23 Dziękuję za uczestnictwo w wykładzie i uwagę

24 Inne testy sterowalności systemów ciągłychDodatek A Inne testy sterowalności systemów ciągłych

25 Twierdzenie OSC LS2 System liniowy stacjonarny jest obserwowalny wtedy i tylko wtedy, gdy nie istnieje żadem prawostronny wektor własny macierz A, taki że co oznacza, że żaden wektor własny macierz A nie jest ortogonalny do wszystkich kolumn macierz C

26 Twierdzenie OSC LS3 System liniowy stacjonarny jest obserwowalny wtedy i tylko wtedy, gdy macierz o wymiarze (r+n)xn ma rząd n dla dowolnego zespolonego skalara s Test obserwowalności w oparciu o twierdzenia 2 i 3 nosi nazwę testu Popov’a – Belevitch’a-Hautus’a

27 Twierdzenie OSC LS4 Diagonalny system liniowy stacjonarny z jednokrotnymi wartościami własnymi jest obserwowalny wtedy i tylko wtedy, gdy macierz C nie ma kolumn zerowych

28 Inne testy obserwowalności systemów dyskretnychDodatek B Inne testy obserwowalności systemów dyskretnych

29 Twierdzenie OSD LS2 System liniowy stacjonarny jest obserwowalny wtedy i tylko wtedy, gdy nie istnieje żadem prawostronny wektor własny macierz AD , taki że co oznacza, że żaden wektor własny macierz AD nie jest ortogonalny do wszystkich kolumn macierz CD

30 Twierdzenie OSD LS3 System liniowy stacjonarny jest obserwowalny wtedy i tylko wtedy, gdy macierz o wymiarze (r+n)xn ma rząd n dla dowolnego zespolonego skalara z Test sterowalności w oparciu o twierdzenia 2 i 3 nosi nazwę testu Popov’a – Belevitch’a-Hautus’a

31 Twierdzenie OSD LS4 Diagonalny system liniowy stacjonarny z jednokrotnymi wartościami własnymi jest obserwowalny wtedy i tylko wtedy, gdy macierz CD nie ma kolumn zerowych

32 Sposób znajdowania macierzy przekształcenia podobieństwa i przykładDodatek C

33 Macierz transformacji Q może być utworzona w następujący sposób:Macierz MC ma wymiar n x nm, a ponieważ jest rządu p, można spośród jej kolumn wybrać p kolumn liniowo niezależnych Załóżmy, że będą to kolumny Następnie wybieramy n – p wektorów tak, aby macierz była nieosobliwa

34 Przykład 1. Rozważamy system dwuwymiarowy ( dwa wejścia, dwa wyjścia) Macierz sterowalności Kalmana Rząd macierzy Kalmana System jest niesterowalny

35 Dwie pierwsze kolumny macierzy sterowalności są liniowo niezależne, dobierzemy wektorWówczas oraz Macierze systemu po transformacji podobieństwa

36 Macierze podsystemu sterowalnegoNiesterowalna część systemu opisana równaniem stanu Macierz transmitancji systemu przed i po transformacji

37 Związki pomiędzy zmiennymi stanuWartość własna części niesterowalne wynosi System jest stabilizowalny

38 Sposób znajdowania macierzy przekształcenia podobieństwa i przykładDodatek D

39 Macierz transformacji P może być utworzona w następujący sposób:Macierz Mo ma wymiar nr x n, a ponieważ jest rządu p, można spośród jej wierszy wybrać p wierszy liniowo niezależnych Załóżmy, że będą to kolumny Następnie wybieramy n – p wektorów tak, aby macierz n x n była nieosobliwa

40 Przykład 2. Rozważamy system dwuwymiarowy ( 2 wejścia, dwa wyjścia) System jest sterowalny lecz nieobserwowalny – macierz obserwowalności Kalmana Rząd macierzy Kalmana System jest nieobserwowalny

41 Dwa pierwsze wiersze macierzy obserwowalności są liniowo niezależne, dobierzemy wektorWówczas oraz Macierze systemu po transformacji podobieństwa

42 Macierze podsystemu obserwowalnegoMacierz transmitancji systemu przed i po transformacji

43 Wartości własne systemu oryginalnegoPodsystemu obserwowalnego Wartość własna części nieobserwowalnej wynosi System jest niewykrywalny