1 Obwody elektryczne 2015
2 Kontakt: Dr inż. Marek Ossowski [email protected]Zakład Ukaładów i Sysytemów Nieliniowych Instytut Systemów Inżynierii Elektrycznej Al.Politechniki 11 pok.14 Ip (C3) Tel.(42) Tel tylko w sprawach niezwykle ważnych!!!! OE1 2015
3 Program wykładów Obwody elektryczne -wstęp Prawa KirchhoffaTwierdzenie Tellegena Elementy obwodów Oporniki liniowe Łączenie oporników Rezystywność i konduktywność Oporniki nieliniowe Charakterystyki wypadkowe połączeń Źródła niezależne idealne i rzeczywiste Źródła sterowane OE1 2015
4 Program wykładów (cd) Obliczanie prostych obwodów DC Obwody równoważneMetoda praw Kirchhoffa Zasada superozycji Twierdzenie Thevenina-Nortona Metoda potencjałów węzłowych Zasada wzajemności Twierdzenie o kompensacji Podstawy analizy obwodów AC OE1 2015
5 Teoria Obwodów cz.I – M.Tadeusiewicz Literatura Teoria Obwodów cz.I – M.Tadeusiewicz Teoria Obwodów. Zadania – praca zbiorowa po redakcją M.Tadeusiewicza OE1 2015
6 Zaliczenie przedmiotuObecność na wszystkich zajęciach Zaliczenie dwóch sprawdzianów pisemnych przewidzianych terminach (7 i 12 tydzień zajęć) Forma sprawdzianu pisemnego: Krótkie pytania (możliwość testu) Pytania problemowe Proste zadania obliczeniowe OE1 2015
7 POJĘCIA PODSTAWOWE Urządzenie elektryczne = obiekt fizyczny taki jak tranzystor, wzmacniacz operacyjny Obwód elektryczny połączone przewodami urządzenia elektryczne Urządzenia elektryczne reprezentowane są przez modele składające się z podstawowych elementów obwodów (oporników, źródeł, kondensatorów, cewek) Modele przybliżony opis fizycznych urządzeń To samo urządzenie może mieć różne modele OE1 2015
8 Kierunki odniesienia:Rozpatrywane są napięcia między węzłami i prądy płynące w gałęziach łączących węzły. Zwyczajowo przyjmuje się za dodatni kierunek przepływu ładunków dodatnich (napięcie od + do -) Ze względu na możliwe zmiany w czasie kierunku ruchu ładunków trudno określić aktualny kierunek prądu i zwrot napięcia przyjmuje się pewne kierunki odniesienia, które wraz z wartością (za znakiem) są jednoznaczną informacją o prądzie i napięciu OE1 2015
9 Kierunki odniesienia (interpretacja)OE1 2015
10 OBWÓD PRZYKŁADOWY OE1 2015
11 POJĘCIA PODSTAWOWE (cd)WĘZEŁ miejsce połączenia końcówek elementów oznaczane na schematach kropką. GAŁĄŹ odcinek obwodu między węzłami (zawiera zwykle jeden element lub urządzenie wraz z przewodami) ŚCIEŻKA ciąg gałęzi: rozpoczyna się w jednym węźle, przebiega kolejno pewien zbiór gałęzi i kończy się w węźle końcowym PĘTLA zamknięty ciąg gałęzi: rozpoczyna się w jednym węźle, przebiega kolejno pewien zbiór gałęzi i kończy się w tym samym węźle początkowym (inaczej: ścieżka o wspólnym początku i końcu) omin topologie OE1 2015
12 Napięciowe Prawo Kirchhoffa (NPK)Dla dowolnego obwodu elektrycznego, dowolnej zmienności napięć, w dowolnej chwili : algebraiczna suma napięć gałęziowych wzdłuż dowolnej pętli wynosi zero Liczba gałęzi i-tej pętli OE1 2015
13 OBWÓD PRZYKŁADOWY OE1 2015
14 Prądowe Prawo Kirchhoffa (PPK)Dla dowolnego obwodu elektrycznego, dowolnej zmienności prądów, w dowolnej chwili algebraiczna suma prądów w dowolnym węźle wynosi zero Liczba gałęzi zbiegających się w i-tym węźle OE1 2015
15 OBWÓD PRZYKŁADOWY OE1 2015
16 Prądowe Prawo Kirchhoffa (ogólniej)Dla dowolnego obwodu elektrycznego w dowolnej chwili algebraiczna suma prądów przenikających dowolną gaussowską powierzchnię zamkniętą wynosi zero. Liczba gałęzi przecinających powierzchnię zamkniętą Si OE1 2015
17 PRZYKŁAD: OE1 2015
18 Zasady pisania równań KirchhoffaDla obwodu o n węzłach i b gałęziach można napisać: n-1 liniowo niezależnych równań z PPK (dla n-1 dowolnie wybranych węzłów) b-n+1 liniowo niezależnych równań z NPK (dla b-n+1 odpowiednio wybranych pętli) Ogólna liczba liniowo niezależnych równań jakie można napisać dla obwodu o n węzłach i b gałęziach wynosi: OE1 2015
19 Twierdzenie TellegenaOE1 2015
20 OE1 2015
21 STOSUJEMY DO KAŻDEGO SKŁADNIKA SUMY POGRUPUJEMY SKŁADNIKI ZAWIERAJĄCEK-TE POTENCJAŁY OE1 2015
22 PONIEWAŻ WSZYSTKIE PRĄDY WYSTĘPUJĄCE Liczba gałęzi w k-tym węźle PONIEWAŻ WSZYSTKIE PRĄDY WYSTĘPUJĄCE W SUMIE DLA K-TEGO WĘZŁA WYPŁYWAJĄ Z NIEGO, NA PODSTAWIE PPK: CZYLI: OE1 2015
23 SUMA MOCY CHWILOWYCH WSZYSTKICH GAŁĘZI OBWODU JEST RÓWNA ZERU.WNIOSEK 1 SUMA MOCY CHWILOWYCH WSZYSTKICH GAŁĘZI OBWODU JEST RÓWNA ZERU. WNIOSEK 2 NAPIĘCIA uk ORAZ PRĄDY ik NIE MUSZĄ DOTYCZYĆ TEGO SAMEGO OBWODU, A JEDYNIE OBWODÓW O TEJ SAMEJ TOPOLOGII, tzn. POSIADAJĄCYCH TEN SAM GRAF. OE1 2015
24 Ilustracja twierdzenia TellegenaWNIOSEK 1 1 2 3 1 2 3 1 2 3 OE1 2015
25 Ilustracja twierdzenia TellegenaWNIOSEK 2 1 2 3 1 2 3 1 2 3 OE1 2015
26 Elementy obwodów Oporniki liniowe nieliniowe Źródła niezależnenapięciowe prądowe Źródła sterowane (zależne) OE1 2015
27 Uwaga: Wartości chwilowe wielkości obwodowych,np.prądów i napięć (funkcje czasu) oznaczamy zawsze małymi literami np. u(t), i(t), p(t), w(t) OE1 2015
28 Jednostki Stosujemy jednostki podstawowe układu SI: Jednostka napięciaJednostka natężenia prądu: Jednostka oporu (rezystancji): Jednostka mocy: Jednostka energii: OE1 2015
29 Będziemy rozważać elementy SLS:skupione (S) liniowe (L) stacjonarne (S) OE1 2015
30 Moc i energia i u Moc chwilowa Energia Związek między mocą i energią:OE1 2015
31 Opornik liniowy Równania Symbole JednostkiCharakterystyka prądowo-napięciowa OE1 2015
32 Opornik liniowy Obliczanie rezystancji Długość przewodukonduktywność przewodność rezystywność oporność właściwa pole powierzchni poprzecznej przewodu OE1 2015
33 Rezystywność i konduktywność przewodnikówMateriał Rezstywność Konduktywność m mm2/m S/m m/(mm2) SREBRO 1.6210-8 0.0162 62.5106 62.5 MIEDŹ 1.7510-8 0.0175 57 106 57 ALUMINIUM 2.8310-8 0.0283 35.3 106 35.3 CYNA 1210-8 0.12 8.33 106 8.33 PLATYNA 11.1 10-8 0.111 9 106 9 MANGANIN 44 10-8 0.44 2.3 106 2.3 KONSTANTAN 48 10-8 0.48 2.1 106 2.1 CHROMONIKIELINA 110 10-8 1.1 0.91 106 0.91 CYNK 6.3 10-8 0.63 15.9 106 15.9 OE1 2015
34 Parametry rezystorów Rezystancja znamionowa wskaźnik wartości rezystancji. Podawana z największym dopuszczalnym odchyleniem rezystancji rzeczywistej od rezystancji znamionowej. (Dopuszczalne odchyłki zawarte w przedziale 0,1 – 20 %) Moc znamionowa największa dopuszczalna moc możliwa do wydzielenia w rezystorze. Moc ta jest zależna od powierzchni rezystora, sposobu odprowadzenia ciepła, maksymalnej dopuszczalnej temperatury pracy i temperatury otoczenia. Napięcie znamionowe największe dopuszczalnym napięciem, które może być przyłożone do rezystora bez zmiany jego właściwości (bez jego uszkodzenia). Typowe wartości znamionowe: od kilkudziesięciu do kilkuset woltów. OE1 2015
35 Rodzaje rezystorów regulowane Oporniki stałe OE1 2015
36 Rezystory (cd) Drutowe: z przewodu cylindrycznego lub taśmowego nawiniętego na korpusie ceramicznym Warstwowe: elementem oporowym jest cienka warstwa przewodząca (węglowa lub metalowa) nałożona na nieprzewodzącą część konstrukcyjną Objętościowe (masowe): przewodzą prąd całym przekrojem. OE1 2015
37 Przykład: 4K74700 (węglowy)Pasek 1, pole # Pasek 2, pole # Pasek 4, tolerancja w % Pasek 3, mnożnik (ile zer?) PASEK 1: żółty PASEK 2: fiolet PASEK 3: czerwony PASEK 4: złoty 5%(tol.) 4700 OE1 2015
38 Przykład kodu wartości1-szy pasek: pomarańczowy = 3 2-gi pasek: pomarańczowy = 3 3-i pasek: czerwony = 2 ( 102) 4-ty pasek: czerwony = 2% 33 x 102 = 3300 = 3.3 k OE1 2015
39 Oporniki nieliniowe: rezystancja statycznaProporcjonalna do tangensa nachylenia siecznej w danym punkcie OE1 2015
40 Oporniki nieliniowe: rezystancja dynamicznaProporcjonalna do tangensa nachylenia stycznej w danym punkcie OE1 2015
41 Oporniki nieliniowe uzależnione napięciowo i prądowoOpornik, dla którego u jest jednoznaczną funkcją prądu i dla i(-;+ ) nazywamy uzależnionym prądowo. Opornik, dla którego i jest jednoznaczną funkcją napięcia u dla u(-;+ ) nazywamy uzależnionym napięciowo. termistor Dioda tunelowa OE1 2015
42 Oporniki nieliniowe nieuzależnioneOpornik, dla którego u jest jednoznaczną funkcją prądu i dla i(-;+ ) oraz dla i jest jednoznaczną funkcją napięcia u dla u(-;+ ) nazywamy nieuzależnionym. Żarówka z włóknem wolframowym OE1 2015
43 Charakterystyki elementów nieliniowych:OE1 2015
44 L Cewka i u i indukcyjność Strumień magnetycznyprzenikający przez uzwojenie jest proporcjonalny do prądu gdy charakterystyka strumieniowo-prądowa cewki liniowej jest linią prostą przechodzącą przez początek układu współrzędnych. i OE1 2015
45 L - indukcyjność cewki Dla cewki, która ma z zwojów wprowadzamy pojęcie „strumień skojarzony” z uzwojeniem: OE1 2015
46 Kondensator i u C q u pojemność Ładunek elektrycznyna okładkach kondensatora jest proporcjonalny do napięcia gdy q charakterystyka napięciowo-ładunkowa kondensatora liniowego jest linią prostą przechodzącą przez początek układu współrzędnych. u OE1 2015
47 C - pojemność kondensatoraOE1 2015
48 Elementy pasywne i aktywne obwodówElement pasywny pobiera energię Element aktywny dostarcza ją do obwodu pasywny aktywny OE1 2015
49 Źródła napięciowe Źródłem napięciowym jest dwukońcówkowy element posiadający na swoich zaciskach zadane napięcie uz(t) niezależne od wartości prądu płynącego przez źródło. Symbole: OE1 2015
50 Źródła napięciowe (idealne): charakterystykiOE1 2015
51 Rzeczywiste źródło napięcioweSymbole: OE1 2015
52 Stany pracy źródła napięciowegoObciążenie: obciążenie OE1 2015
53 Charakterystyka napięciowo-prądowa źródła napięciowego (rzeczywistego)Stan jałowy Stan zwarcia OE1 2015
54 Stany pracy źródła napięciowego (cd)Stan jałowy(rozwarcie) Zwarcie OE1 2015
55 Dopasowanie odbiornika do źródłaPrąd w obwodzie: Moc odbiornika: OE1 2015
56 Dopasowanie odbiornika do źródła (cd)Warunek dopasowania odbiornika do źródła OE1 2015
57 Przykładowy wykres mocy odbiornika:OE1 2015
58 Sprawność ukladu odbiornikźródło0.5 dopasowanie OE1 2015
59 Źródła prądowe Źródłem prądowym jest dwukońcówkowy element przez którego zaciski płynie zadany prąd iz(t) niezależnie od wartości napięcia panującego na jego zaciskach. Symbole: oznaczenia DC: OE1 2015
60 Źródła prądowe (idealne): charakterystykiOE1 2015
61 Rzeczywiste źródło prądu (model praktyczny)w stanie jałowym: OE1 2015
62 Rzeczywiste źródło prądu (stan zwarcia)w stanie zwarcia: OE1 2015
63 Rzeczywiste źródło prądu (obciążenie)OE1 2015
64 Charakterystyka u-i źródła prądowegoStan zwarcia Stan jałowy OE1 2015
65 Źródła zależne (sterowane)Źródło napięcia sterowane prądem 2 1 Prąd sterujący 2' 1' Model czwórnikowy Przypadek liniowy OE1 2015
66 Źródła zależne (sterowane)Źródło napięcia sterowane napięciem 1 2 napięcie sterujące 2' 1' Model czwórnikowy Przypadek liniowy OE1 2015
67 Źródła zależne (sterowane)Źródło prądu sterowane prądem 2 1 Prąd sterujący 2' 1' Model czwórnikowy Przypadek liniowy OE1 2015
68 Źródła zależne (sterowane)Źródło prądu sterowane napięciem 2 1 napięcie sterujące 2' 1' Model czwórnikowy Przypadek liniowy OE1 2015
69 Wzmacniacz operacyjnyOE1 2015
70 Wzmacniacz operacyjnyOE1 2015
71 OE1 2015
72 OE1 2015
73 Przykład 1 OE1 2015
74 Układy równoważne (definicja)OE1 2015
75 Układy P i Q nazywamy równoważnymi, jeżeli ich opis matematyczny jest taki sam.Opis obwodu P Opis obwodu Q OE1 2015
76 Przykład 1 OE1 2015
77 Przykład 2 (gwiazda) 1 2 3 OE1 2015
78 Przykład 2 (trójkąt) 1 2 3 OE1 2015
79 trójkąt gwiazda Porównując równania opisujące oba układy otrzymuje się zależności: OE1 2015
80 Gwiazda trójkąt Podobnie, rozwiązując poprzednie zależności względem R12,R23,R31 otrzymamy: OE1 2015
81 Obliczanie prostych obwodówPołączenie szeregowe oporników liniowych Połączenie szeregowe elementów nieliniowych (charakterystyka wypadkowa) Połączenie równoległe oporników liniowych. Połączenie równoległe oporników nieliniowych (charakterystyka wypadkowa) Dzielnik prądu Dzielnik napięcia; układy z potencjometrem Układanie i rozwiązywanie równań napisanych na podstawie PPK i NPK OE1 2015
82 Połączenie szeregowe oporników liniowychOE1 2015
83 Połączenie szeregowe oporników nieliniowychZadanie: znając charakterystyki napięciowo-prądowe obu oporników nieliniowych wyznaczyć wypadkową charakterystykę połączenia szeregowego tych elementów. OE1 2015
84 Charakterystyki u-i oporników5 1 -4 3 -1 OE1 2015
85 Dodawanie napięć (punkt i=-1)5 1 -5 -4 3 Dla i=-1 -1 OE1 2015
86 Dodawanie napięć (punkt i=1 oraz i=2)5 2 1 3 -1 OE1 2015
87 Charakterystyka wypadkowa5 2 1 3 -1 3 OE1 2015
88 Podsumowanie Aby wyznaczyć wypadkową charakterystykę elementów nieliniowych połączonych szeregowo należy dla wszystkich (lub wybranych z określoną dokładnością) wartości prądu dodać wartości napięć elementów składowych. W przypadku układów odcinkowo-liniowych operację wystarczy przeprowadzić jedynie dla wszystkich punktów załamania charakterystyk (+dodatkowo dla dwóch punktów wybranych z segmentów zewnętrznych) OE1 2015
89 Połączenie równoległe oporników liniowychOE1 2015
90 Połączenie równoległe oporników nieliniowychZadanie: znając charakterystyki napięciowo-prądowe obu oporników nieliniowych wyznaczyć wypadkową charakterystykę połączenia równoległego tych elementów. OE1 2015
91 Połączenie równoległe oporników nieliniowych:OE1 2015
92 Podsumowanie Aby wyznaczyć wypadkową charakterystykę elementów nieliniowych połączonych równolegle należy dla wszystkich (lub wybranych z określoną dokładnością) wartości napięcia dodać wartości prądów elementów składowych. W przypadku układów odcinkowo-liniowych operację wystarczy przeprowadzić jedynie dla wszystkich punktów załamania charakterystyk (+dodatkowo dla dwóch punktów wybranych z segmentów zewnętrznych) OE1 2015
93 Dzielnik prądu Wyznaczyć prądy połączonych równolegle oporników jeśli znamy ich wartości oraz prąd dopływający do połączenia: OE1 2015
94 Dzielnik napięcia OE1 2015
95 Potencjometr 1 2 3 R 1 2 3 R OE1 2015
96 1 2 3 R OE1 2015
97 OE1 2015
98 Rozwiązywanie układów rozgałęzionych: algorytm pisania równań PPK i NPKLiczba węzłów: n=5 Liczba gałęzi: b=8 Niewiadome: OE1 2015
99 Jak ułożyć komplet równań liniowo niezależnych ?Ustalamy zmienne obwodowe: prądy gałęziowe (elementów rezystancyjnych i źródeł napięciowych) oraz napięcia idealnych źródeł prądowych Piszemy równania PPK dla n-1 spośród n węzłów obwodu Piszemy równania NPK dla b-n+1 pętli obwodu: Piszemy równanie dla dowolnej (pierwszej) pętli Piszemy równania dla kolejnych (nowych) pętli w taki sposób aby nowa pętla zawierała co najmniej jedną zmienną dotychczas niewykorzystaną Powtarzamy ten etap tak aby liczba równań wynosiła maksymalnie b-n+1 UWAGA: można napisać b-n+1 równań liniowo niezależnych dla oczek (pętli nie zawierających żadnych gałęzi wewnętrznych) OE1 2015
100 n-1 (4) równań na podstawie PPK:2 4 3 OE1 2015
101 Równania napięciowe, pierwsza pętla:1 OE1 2015
102 Równania napięciowe, druga pętla:Nowe gałęzie: 3,5 2 OE1 2015
103 Równania napięciowe, pętla trzecia:Nowe gałęzie: 6,8 3 OE1 2015
104 Równania napięciowe, pętla czwarta i ostatnia:Nowa gałąź: 7 4 OE1 2015
105 Przykład prostego obwodu z rozwiązaniemOblicz prądy gałęziowe w układzie z powyższego rysunku. Przyjmując, że opornik R2 jest jedynym odbiornikiem, wyznacz sprawność układu. Potwierdź słuszność twierdzenia Tellegena. OE1 2015
106 1 2 3 OE1 2015
107 + + OE1 2015
108 Moc odbiornika (użyteczna)Moc wytworzona (w źródłach) Sprawność: OE1 2015
109 Weryfikacja Twierdzenia TellegenaOE1 2015
110 Zasada superpozycji Odpowiedź układu liniowego na sumę wymuszeńdziałających jednocześnie jest równa algebraicznej sumie odpowiedzi układu na poszczególne wymuszenia działające osobno. Zasada ta stanowi, że odpowiedź obwodu liniowego (tzn. prąd, napięcie) na wszystkie niezależne źródła działające jednocześnie w obwodzie, jest równa sumie odpowiedzi na poszczególne źródła działające osobno (tzn. przy przyrównaniu pozostałych do zera). OE1 2015
111 Usunięcie źródła prądowego oznacza pozostawienie jego rezystancji wewnętrznej równej czyli rozwarciu jego zacisków: OE1 2015
112 Usunięcie źródła napięciowego oznacza pozostawienie jego rezystancji wewnętrznej równej 0 czyli zwarciu jego zacisków: OE1 2015
113 Przykład 1 (ogólny) OE1 2015
114 i = i’ + i” OE1 2015
115 OE1 2015
116 Thev OE1 2015
117 Zastępownie gałęzi źródłem napięcia lub prądu
118 Obwód z wyodrębnioną k-tą gałęzią OE1 2015
119 źródeł napięcia (przeciwsobnych) w gałęzi kDołączenie dwóch źródeł napięcia (przeciwsobnych) w gałęzi k OE1 2015
120 Jeśli e = uk uAC = 0 Gałąź obwodu, na której występuje napięcie uk można zastąpić idealnym źródłem napięcia o napięciu źródłowym e = uk OE1 2015
121 Dla wyodrębnionej gałęzi z prądem ik:OE1 2015
122 Gałąź obwodu, wiodącą prąd ik można zastąpić idealnym źródłem prąduJeśli j = ik ik-j+j j Gałąź obwodu, wiodącą prąd ik można zastąpić idealnym źródłem prądu j = ik OE1 2015
123 Włączanie i przenoszenie źródełTwierdzenie o włączaniu dodatkowych źródeł
124 Jeżeli we wszystkich gałęziach zbiegających się w dowolnym węźle umieścimy źródła napięcia o tym samym napięciu źródłowym i takiej orientacji względem węzła to rozpływ prądów w układzie nie ulegnie zmianie. NPK nie ulega zmianie!!! OE1 2015
125 Jeżeli w dowolnej pętli obwodu, równolegle do każdej gałęzi, włączymy między kolejne węzły źródła prądu o jednakowym zwrocie względem obiegu pętli i jednakowych wartościach to rozkład napięć w układzie nie ulegnie zmianie. OE1 2015
126 Przenoszenie źródeł (1)OE1 2015
127 Przenoszenie źródeł (2)OE1 2015
128 OE1 2015
129 Twierdzenie o kompensacji
130 Rozpatrujemy obwód liniowy:OE1 2015
131 OE1 2015
132 Po zastosowaniu twierdzenia o zastępowaniu gałęzi źródłem napięciowym:OE1 2015
133 Z SUPERPOZYCJI OE1 2015
134 PONIEWAŻ OE1 2015
135 Twierdzenie Thevenina-Nortona
136 L M OE1 2015
137 OE1 2015
138 Wyznaczanie parametrów iZ, GZNiech u=0, wówczas i=-iZ OE1 2015
139 Rozpatrując stan obwodu, w którym działa jedynie źródło u, (tzn. ek=0 dla k=1...L, oraz jk=0 dla k=1...M) OE1 2015
140 OE1 2015
141 L M OE1 2015
142 OE1 2015
143 Wyznaczanie parametrów uZ, RZNiech i=0, wówczas u=uZ OE1 2015
144 Rozpatrując stan obwodu, w którym działa jedynie źródło i, (tzn. ek=0 dla k=1...L, oraz jk=0 dla k=1...M) OE1 2015
145 Pomiarowe wyznaczanie parametrów źródeł zastępczychJeśli można pomierzyć napięcie uAB na zaciskach A-B oraz prąd zwarcia iZ=iAB płynący między zwartymi zaciskami A-B badanego układu to: OE1 2015
146 OE1 2015
147 Podsumowanie : zastępczy dwójnik NortonaKady liniowy dwójnik aktywny można przedstawić względem wybranej pary zacisków A-B w postaci zastępczego równoległego połączenia idealnego źródła prądu iZ i opornika RZ (GZ). Prąd zastępczego źródła jest równy prądowi jaki popłynie między zwartymi zaciskami A-B rozpatrywanego obwodu Rezystancja Rz (konduktancja GZ) jest równa rezystancji (konduktancji) rozpatrywanego obwodu widzianej względem wybranej pary zacisków A,B po przyrównaniu do zera wszystkich wymuszeń (zwarciu źródeł napięciowych, rozwarciu źródeł prądowych) OE1 2015
148 Podsumowanie : zastępczy dwójnik TheveninaKażdy liniowy dwójnik aktywny można przedstawić względem wybranej pary zacisków A-B w postaci zastępczego szeregowego połączenia idealnego źródła napięcia uZ i opornika RZ (GZ). Napięcie zastępczego źródła jest równe napięciu uAB jakie panuje między rozwartymi zaciskami A-B rozpatrywanego obwodu Rezystancja Rz (konduktancja GZ) jest równa rezystancji (konduktancji) rozpatrywanego obwodu widzianej względem wybranej pary zacisków A,B po przyrównaniu do zera wszystkich wymuszeń (zwarciu źródeł napięciowych, rozwarciu źródeł prądowych) OE1 2015
149 Metoda potencjałów węzłowych
150 Przykład 1 v1 v3 v2 OE1 2015
151 Równania prądowe v1 v3 v2 OE1 2015
152 Zależności gałęziowe v1 v3 v2 OE1 2015
153 Wstawienie zależności gałęziowych do równań prądowych równanie 1OE1 2015
154 Wstawienie zależności gałęziowych do równań prądowych równanie 2OE1 2015
155 Wstawienie zależności gałęziowych do równań prądowych równanie 3OE1 2015
156 Końcowy układ równań v1 v3 v2 OE1 2015
157 Przykład 2 v2 v1 v3 OE1 2015
158 Przykład 2 Równania OE1 2015
159 Przykład 2 równania końcowe spr.v3 v2 v1 OE1 2015
160 Przykład 2 Równania uproszczoneOE1 2015
161 Przykład 3 v2 v1 v3 OE1 2015
162 Przykład 3 Równania OE1 2015
163 Przykład 3 Równania pododaniu 1 i 3+ OE1 2015
164 Opis algorytmu Wybieramy (dowolnie) jeden z a węzłów jako węzeł odniesienia NIEWIADOME: Potencjały (a-1) węzłów niezależnych oraz prądy wszystkich idealnych źródeł napięciowych. Układamy dla (a-1) węzłów (oprócz węzła odniesienia!) równania na podstawie PPK. Prądy w gałęziach zawierających oporniki oraz napięcia sterujące i prądy sterujące (z gałęzi konduktancyjnych) uzależniamy od napięć węzłowych. Wstawiamy je do równań PPK z p.2 Komplet równań uzupełniamy poprzez uzależnienie od napięć węzłowych napięć źródeł niezależnych i sterowanych napięciowych OE1 2015
165 OE1 2015
166 OE1 2015
167 Przykład 4 u3 1 2 3 4 5 OE1 2015
168 Zasada wzajemności
169 OE1 2015
170 TWIERDZENIE O WZAJEMNOŚCI OCZKOWEOE1 2015
171 Twierdzenie o wzajemności węzłoweOE1 2015
172 Twierdzenie o wzajemności hybrydoweOE1 2015
173 OE1 2015
174 Dowód DLA KAŻDEJ k-tej GAŁĘZI ZACHODZI: Czyli: Skąd: OE1 2015
175 Uzasadnienie twierdzenia o wzajemności oczkowegoOE1 2015
176 Uzasadnienie twierdzenia o wzajemności węzłowegoOE1 2015
177 Twierdzenie o wzajemności hybrydowe - dowódOE1 2015