1 OPORNOŚĆ HYDRAULICZNA, CHARAKTERYSTYKA PRZEPŁYWUWYKŁAD 3 METODY OBLICZANIA PRZEPŁYWU POMIĘDZY DWOMA ZBIORNIKAMI, OPORNOŚĆ HYDRAULICZNA, CHARAKTERYSTYKA PRZEPŁYWU

2 1. Równanie Bernoulliego dla zagadnienia przepływu pomiędzy dwoma zbiornikami

3 Zagadnienie przepływu pomiędzy dwoma zbiornikami dla płynu rzeczywistego można rozwiązać pisząc równanie Bernoulliego dla przekroju na powierzchni cieczy zbiornika zasilającego oraz przekroju na końcu ostatniego przewodu albo, przekrojów położonych na powierzchniach cieczy zbiorników. 1.1. Równanie Bernoulliego dla przekrojów 1-3 ma postać

4 po przekształceniu po oznaczeniu oraz podstawieniu równania ciągłości przepływu otrzymamy

5 Po wprowadzeniu pojęcia oporności hydraulicznej w R* w postaci:równanie przybiera postać Strumień objętości wynosi Od jakich wielkości zależy oporność hydrauliczna R* ?

6 Widać, że wyznaczenie strumienia objętości wymaga znajomości oporności hydraulicznej, która to z kolei wielkość zależy od współczynników strat zależnych od strumienia objętości. Jeżeli znamy wartości współczynników strat to znamy oporność hydrauliczną i możemy obliczyć strumień objętości jako Przy braku znajomości współczynników strat do wyznaczenia oporności hydraulicznej i strumienia objętości konieczne jest zastosowanie metody kolejnych przybliżeń (opis w dalszej części).

7 1.2. Równanie Bernoulliego dla przekrojów 1-2Alternatywne równanie Bernoulliego dla przekrojów 1-2 leżących na powierzchniach cieczy w zbiornikach ma postać Po analogicznych przekształceniach i podstawieniach zdefiniowanych wielkości otrzymujemy

8 Gdzie oporność hydrauliczna układu wynosirównanie przybiera postać Strumień masy jest zatem wynosi Równania Bernoulliego dla przekrojów 1-2 oraz 1-3 sprowadzają się do tej samej postaci, gdy

9 2. Charakterystyka przewodu2.1. Charakterystyka prostego odcinka przewodu o wymiarach l, d gdzie jest opornością hydrauliczną liniową przewodu o wymiarach l, d.

10 W ruchu laminarnym , więcCzyli w ruchu laminarnym straty liniowe zależą wprost proporcjonalnie od strumienia objętości. W ruchu turbulentnym, dla Re>Regr, współczynnik strat liniowych  zależy tylko od chropowatości przewodu, natomiast nie zależy od Re, a więc nie zależy też od qv. Równanie przybiera więc postać: Czyli w rozwiniętym ruchu turbulentnym straty liniowe zależą od kwadratu strumienia objętości.

11 Rys.3. Charakterystyka przepływu przewoduNależy zauważyć, że w ruchu laminarnym strata energii zależy od d4, a w ruchu turbulentnym od d5.

12 2.2. Charakterystyka oporu miejscowegoWysokości straty energii na oporze miejscowym obliczamy ze wzoru: gdzie  jest współczynnikiem strat miejscowych, a  średnią prędkością przepływu za przeszkodą.

13 W ogólnym przypadku współczynnik strat miejscowych  zależy od geometrii oporu miejscowego i liczby Reynoldsa, ale powyżej granicznej liczby Re, zwykle dla Re>104, nie ma ona już wpływu na , zatem w tym przypadku współczynnik  konkretnego oporu miejscowego jest stały. Po podstawieniu równania ciągłości przepływu otrzymamy gdzie: jest opornością hydrauliczną oporu miejscowego.

14 2.3. Ekwiwalentny współczynnik oporu liniowegoW jaki sposób zastąpić przewód o znanych parametrach d, l,  przeszkodą lokalną o równoważnym współczynniku oporu miejscowego e ? stąd e - jest ekwiwalentnym (równoważnym) współczynnikiem oporu liniowego.

15 2.4. Charakterystyka przepływowa szeregowego systemu hydraulicznegoNa podstawie uogólnionego równania Bernoulliego, zapisanego dla przekrojów 1-2, otrzymamy: gdzie

16 natomiast jest opornością hydrauliczną zastępczą szeregowego systemu hydraulicznego. Charakterystyka przepływu przybiera więc postać: Oporność hydrauliczna zastępcza dla k-tego przewodu wynosi gdzie : k = 1, 2, 3, …, n jest numerem elementu systemu, a Rk opornością hydrauliczną k-tego odcinka tworzącego system hydrauliczny.

17 Charakterystyka przepływu k-tego odcinka systemu ma postać, (k = 1, 2, …, n) Ponieważ Oporność hydrauliczną można zapisać w prostszej postaci: oraz

18 lub graficznie (na przykładzie dwóch przewodów):

19 2.5. Charakterystyki przepływowe, oporność hydrauliczna i jej jednostki

20 3. Energia rozporządzalna na początku lub końcu systemuOznaczając gdzie Δe jest różnicą wysokości energii na początku e1 i końcu systemu e2 „+” dla wlotu do zbiornika „-” dla wylotu ze zbiornika

21 Wlot do zbiornika

22 Wylot ze zbiornika

23 4. Metoda graficzna rozwiązywania zagadnienia przepływu pomiędzy dwoma zbiornikamiPrzekrój 0-0 dzieli układ hydrauliczny na dwie części

24 Energia rozporządzalna w przekroju 0 wynosi:od strony przekroju 1 od strony przekroju 2 Gdzie RA – oporność hydrauliczna układu pomiędzy przekrojami 1-0 RB – oporność hydrauliczna układu pomiędzy przekrojami 0-2 Rozwiązując powyższy układ równań otrzymujemy

25 Przedstawiając powyższy układ równań w formie graficznej otrzymujemy

26 5. Metoda iteracyjna rozwiązywania zagadnienia przepływu pomiędzy dwoma zbiornikamiMetoda iteracyjna stosowana jest przy braku znajomości współczynników strat (liniowych lub miejscowych).

27 Krok 1. Wybór wartości początkowej  dla każdego przewodupoprzez przyjęcie dowolnej wartości z przedziału zmienności współczynnika strat liniowych, poprzez rozwiązanie zagadnienia przepływu pomiędzy dwoma zbiornikami dla płynu idealnego. Krok 2. Obliczenia strumienia objętości (masy) dla  z kroku 1. Krok 3. Obliczenia na podstawie wybranej formuły współczynników  dla strumienia z kroku 2. Krok 4. Obliczenia strumienia objętości (masy) dla  z kroku 3. Krok 5. Sprawdzenie zbieżności strumienia objętości (masy). brak zbieżności - powtórzenie kroków 3-4, zbieżność wartości oznacza wynik.

28 Ilość potrzebnych iteracji zależy:dokładności rozwiązania wyboru punktu, startowego (w małym stopniu). Wszystkie wielkości należy zawsze zapisywać z tą samą dokładnością (ilością miejsc po przecinku)!

29 Przykład 1. Metoda iteracyjna Inne dane: =1000 kg/m3, =1, Pa·s (w 15°C) d=10mm Określenie kierunku przepływu

30 Uogólnione równania Bernoulliego1-2 lub dla 1-3

31 Po podstawieniu do równania ciągłości przepływu i obliczeniu strumienia objętości otrzymujemyJeśli współczynniki  są znane obliczamy strumień objętości. W przeciwnym wypadku należy zastosować metodę iteracyjną. Określimy  początkową na podstawie rozwiązania przykładu dla płynu idealnego. Równanie Bernoulliego dla ma wówczas postać

32 Stąd po podstawieniu równania ciągłości przepływu oraz obliczeniu strumienia objętości otrzymujemyWyznaczenie liczb Reynoldsa

33 Iteracja 1 Wyznaczenie  (w zakresie rur hydraulicznie gładkich) dla Re<105 zastosowana zostanie formuła Blasiusa, dla Re<106 zastosowana zostanie formuła Schillera. Wyznaczenie strumienia objętości

34 Iteracja 2 Obliczenie liczb Re Obliczenie  przypadek? Wyznaczenie strumienia objętości

35 Iteracja 3 Obliczenie liczb Re Obliczenie  Wyznaczenie strumienia objętości

36 Iteracja 4 Obliczenie liczb Re Obliczenie  Wyznaczenie strumienia objętości

37 Wyznaczenie strumienia objętościIteracja 5 Obliczenie liczb Re Obliczenie   takie jak … Wyznaczenie strumienia objętości Dochodzimy do …

38 Przykład 2. Obliczenie strumienia objętości na podstawie oporności hydraulicznychDla danych z poprzedniego przykładu obliczono oporności hydrauliczne przewodów

39 Przykład 3. Metoda graficzna