1 Opracowanie Joanna Szymańska Konsultacja Bożena Hołownia

2 Metoda podstawiania polega na wyznaczeniu z jednego równania dowolnej niewiadomej (zmienną x lub y) i podstawieniu jej do drugiego równania. Za pomocą drugiego równania obliczamy drugą niewiadomą (zmienną). wyliczoną wartość podstawiamy do pierwszego równania i obliczamy drugą niewiadomą. wyliczoną wartość podstawiamy do pierwszego równania

3 x + 2y = 11 3x – y = 5 x = 11 – 2y 3x – y = 5 x = 11 – 2y - 7y = -28 x = 11 – 2y 3(11 – 2y) – y = 5 x = 11 – 2y 33 – 6y – y = 5 x = 11 – 2y 33 – 7y = 5 Wyznaczamy x lub y z dowolnego równania. Ja wyznaczam x z pierwszego równania, w tym celu obustronnie odejmuję 2y. /-2y Podstawiamy wyznaczoną niewiadomą do drugiego równania. Mnożymy liczby w nawiasie przez liczbę stojącą przed nim. PRZYKŁADY: Redukujemy wyrazy podobne. Obustronnie odejmujemy 33. /-33 x = 11 – 2y y = 4 Obustronnie dzielimy przez -7. /:(-7) Wartość y wstawiamy do pierwszego równania.

4 x = 11 – 2 · 4 y = 4 Obliczamy wartość x. x = 11 – 8 y = 4 x = 3 y = 4 Rozwiązaniem układu równań jest para liczb (3,4) Aby sprawdzić poprawność rozwiązania podstawiamy za x 3, a za y 4 i sprawdzić czy obie równania są prawdziwe. 3 + 2 · 4 = 11 3 · 3 – 4 = 5 3 + 8= 11 9 – 4 = 5 11= 11 5 = 5 Układ równań rozwiązany jest prawidłowo.

5 2x – 4y = 10 2x + 2y = 52 2x – 4y = 10 2x = 52 – 2y - 6y = - 42 2x = 52 – 2y 52 – 2y – 4y = 10 2x = 52 – 2y 52 – 6y = 10 2x = 52 – 2y Nie zawsze musimy wyznaczać samo x lub y, jeśli w obu równaniach powtarza się to samo wyrażenie, można je wyznaczyć i podstawić do drugiego równania. /-2y Podstawiamy wyznaczone wyrażenie do pierwszego równania. Redukujemy wyrazy podobne. PRZYKŁADY: Obustronnie odejmujemy 52. /-52 y = 7 2x = 52 – 2y Obustronnie dzielimy przez -6. /:(-6) Wartość y wstawiamy do drugiego równania.

6 y = 7 2x = 52 – 2 · 7 Obliczamy wartość x. y = 7 2x = 52 – 14 y = 7 2x =38 Rozwiązaniem układu równań jest para liczb (19,7) Sprawdzenie: 2 · 19 – 4 · 7 = 10 2 · 19 + 2 · 7 = 52 38 – 28 = 10 38 + 14 = 52 10= 11 52= 52 Układ równań rozwiązany jest prawidłowo. /:2 y = 7 x = 19

7 Mnożymy przez wspólną wielokrotność mianownika, aby „pozbyć” się ułamków. W drugim równaniu mnożymy wyrażenia w nawiasie przez 2 /·4/·4 W pierwszym równaniu mnożymy wyrażenia w nawiasie przez liczbę stojącą przed nim. W drugim redukujemy x i obustronnie odejmujemy 2y Redukujemy wyrazy podobne w pierwszym równaniu. Drugie dzielimy obustronnie przez –1. PRZYKŁADY: /: (-1) W pierwszym i drugim równaniu występuje –4y, dlatego możemy za –4y podstawić x lub za x w pierwszy równaniu podstawić -4y, Wasz wybór. /-2y lub Ja wybieram pierwszą możliwość i ten układ dalej rozwiązuję. Obustronnie dzielimy przez 8. /: 8

8 x = -2 x = -4y Obliczamy wartość y. x = -2 -2 = -4y Rozwiązaniem układu równań jest para liczb (-2, 0,5) Sprawdzenie: Układ równań rozwiązany jest prawidłowo. /:(-4) x = -2 0,5 = y x = -2 y = 0,5

9 http://nakrecenieksperci.pl/video/play,5333082162545837901,Rozwiazywanie-ukladow-rownan-metoda-podstawiania.html