1 Ostyganie sześcianu Współrzędne kartezjańskie – rozdzielenie zmiennychPiotr Ciszewski WFiIS

2 1 2 3 4 5 6 7 Plan prezentacji Przedstawienie problemuRównanie przewodnictwa Warunki brzegowe Rozwiązanie równania przewodnictwa Szereg Fouriera przypomnienie Wyliczenie stałej V Czas ostygania 1 2 3 4 5 6 7

3 Przedstawienie problemu1 Mamy sześcian o długości boku l: W chwili t=0 podgrzewamy go do pewnej temperatury i obserwujemy proces jego schładzania. Aby przeanalizować ten proces należy rozwiązać równanie przewodnictwa cieplnego. l l l

4 Równanie przewodnictwa2 Ogólny zapis równania przewodnictwa: Zakładamy że nasza funkcja u jest funkcją położenia i czasu u(x,y,z,t) , a współczynnik zależy od wewnętrznej struktury, pojemności cieplnej, kształtu oraz fizycznej wielkości układu:

5 Zakładamy warunki brzegowe:3 Zakładamy warunki brzegowe: Na ściankach w trakcie ostygania temperatura jest równa 0. W chwili t = 0 temperatura sześcianu wynosi T0

6 Rozwiązanie równania przewodnictwa4 . Funkcja u zależy od położenia i od czasu, więc dokonujemy separacji zmiennych: Po podstawieniu do równania przewodnictwa otrzymujemy: i przyrównujemy do

7 Rozwiązanie równania przewodnictwa4 . Przyjmujemy, że: Więc : Z powyższych warunków możemy zapisać równania różniczkowe:

8 Rozwiązanie równania przewodnictwa4 . Po rozwiązaniu otrzymujemy funkcje: Gdzie to stałe. Korzystając z warunków początkowych podanych wcześniej wyliczamy wartości parametrów

9 Rozwiązanie równania przewodnictwa4 . Dla funkcji A(x) obliczamy parametr w następujący sposób: Stąd ostatecznie:

10 Rozwiązanie równania przewodnictwa4 . Analogicznie wyliczamy parametry dla funkcji B(y) i C(z) i otrzymujemy: Teraz funkcje A(x) B(y) C(z) przyjmują postać:

11 Rozwiązanie równania przewodnictwa4 . Postać szczególna rozwiązania równania przewodnictwa: Postać ogólna rozwiązania równania przewodnictwa:

12 Szereg Fouriera przypomnienie5 . Szereg Fouriera przypomnienie:

13 Wyliczenie stałej V 6 . Teraz wyliczymy współczynnik V stosując wzór na szereg Fouriera oraz korzystając z warunków początkowych. Wiemy że: Więc:

14 Podstawiając wyliczone wcześniej wartości naCzas ostygania 7 . Sześcian ostyga najwolniej gdy wykładnik funkcji eksponencjalnej jest najmniejszy: Pamiętamy, że : Podstawiając wyliczone wcześniej wartości na

15 Wartość λ jest minimalna gdy:Czas ostygania 7 . Wartość λ jest minimalna gdy: wtedy

16 . . Dziękuję