1 P1. Septiembre 2005 a) Calcular el valor de la integral Respuesta.

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3 b) Obtener la serie de Laurent válida en el dominio 1 < |z| < 2 de la función compleja: Respuesta.

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5 c) Calcular el valor de la integral: Respuesta. siendo Γ la curva |z| = 1/5 con orientación positiva.

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8 d) Determinar el número de ceros con sus multiplicidades y con parte real no negativa que tiene el polinomio complejo: Respuesta. -iR iR Im (z)‏ Al recorrer la semicircunferencia C R con R → ∞:

9 Parametrizando el segmento L R : z = it con t variando desde R a –R, se obtiene: Para dibujar aproximadamente esta curva en el plano w, buscamos los puntos más relevantes de la misma. Los cortes con los ejes son: - Eje real:

10 - Eje imaginario: v u La curva pasa por el origen, lo que se traduce en que P(z) tiene raíces imaginarias puras: t = ± 1 => z = ± i. Para aplicar el método de Nyquist el polinomio no puede tener ceros sobre el contorno, por lo que analizamos la existencia de raíces con parte real positiva del polinomio:

11 Al recorrer la semicircunferencia C R con R → ∞: Parametrizando el segmento L R : z = it con t variando desde R a –R, se obtiene:

12 Para dibujar aproximadamente esta curva en el plano w, buscamos los puntos más relevantes de la misma. - Los cortes con los ejes son: * Eje real: * Eje imaginario:

13 - Comportamiento en los extremos del segmento L R cuando R → ∞: * z = it con t → +∞: * z = it con t → -∞:

14 Dibujamos en el plano w el contorno resultante recorriéndolo desde t→∞ hasta t → -∞ y analizamos cómo varía el argumento: v u

15 Con todo:, luego el polinomio dado no tiene ninguna raíz con parte real positiva. En definitiva, P(z) tiene dos raíces en el eje imaginario (z = ±i) y ninguna que cumpla Re(z) > 0.

16 e) Demostrar la siguiente desigualdad: Im (z)‏ 1 Re (z)‏ Respuesta. L: longitud del arco: M: max |Log z| Γ

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