1 Parte V: Análisis no lineal de la VFC ● Ya hemos dicho que los sistemas pueden clasificarse como determinísticos o aleatorios ● Los determinísticos pueden ser expresados por una formulación o regla precisa, conocido su estado en un momento dado, podemos conocer su estado futuro ● A su vez los determinísticos pueden ser clasificados como lineales (o no lineales) ● Su estado en un momento determinado es función lineal (o no) del estado en un momento anterior

2 ● Un subconjunto de los sistemas determinísticos no lineales son los sistemas caóticos que tienen las siguientes características: ● comportamiento determinístico y aperiódico ● dependencia sensible de las condiciones iniciales ● las trayectorias del sistema tienen bandas permitidas y prohibidas ● Caótico no es un sistema desordenado y azaroso, es un sistema ordenado y complejo ➔ Ejemplos de sistemas caóticos: la atmósfera, una colonia de hormigas, actividad cerebral, el sistema circulatorio... La idea de pérdida de complejidad como síntoma de enfermedad está siendo demostrada constantemente Parte V: Análisis no lineal de la VFC

3 Evidencias de la no linealidad de la VFC ● La teoría determinística caótica es un paradigma eficaz para describir la complejidad inherente a los sistemas biológicos ● Puede explicar la variabilidad organizada en la estructura y función fisiológica ● Diversos experimentos utilizando medidas de análisis no lineal confirman que la VFC es caótica: ● Fetos normales vs. complicaciones varias: entropía ▼ ● Pacientes antes y después de cirugía cardíaca: si entropía ▼ entonces complicaciones ● Pacientes sanos y con fallo cardíaco: dimensión ▼

4 Parte V: Análisis no lineal de la VFC Técnicas de Análisis 1. Dimensión Fractal 2. Entropía Aproximada 3. Exponentes de Lyapunov

5 Parte V: Análisis no lineal de la VFC ● Pretendemos determinar la dinámica de un sistema a partir de una serie temporal medida en dicho sistema – En nuestro caso a partir de la Frecuencia Cardíaca ● Ya que el modelo del sistema es desconocido ● Tenemos que reconstruir el espacio de estados

6 Parte V: Análisis no lineal de la VFC Por el teorema de Takens, podemos asegurar que un sistema con n variables de estado está completamente descrito por un vector v m (i) obtenido por un proceso de expansión a partir una medida x: v m (i) = [x(i), x(i +  ),…, x(i+ (m – 1)  )] para i = 1, N – (m – 1)  siendo x(i) la señal original muestreada y N el número total de muestras Aunque el sistema reconstruido no es el mismo que el original, sabemos que tiene las mismas propiedades cualitativas si escogemos un m ≥ 2n + 1

7 Parte V: Análisis no lineal de la VFC Por el teorema de Takens: v m (i) = [x(i), x(i +  ),…, x(i+ (m – 1)  )] para i = 1, N – (m – 1)  si m = 2 y  = 1 / frecuencia_muestreo v 2 (1) = [x(1), x(2)] v 2 (2) = [x(2), x(3)] v 2 (3) = [x(3), x(4)] … v 2 (N-1) = [x(N-1), x(N)]

8 Parte V: Análisis no lineal de la VFC ● Debemos escoger los valores de m y  adecuados para realizar una reconstrucción correcta ● Para la determinación de  se utilizan varios métodos: ● Uso del primer cero de la función de autocorrelación ● Uso del primer cero del criterio de información mutua ● En cuanto al valor de m suele venir determinado por su aplicación posterior ● Se puede calcular por métodos retroalimentados – Partimos de un valor de n y suponemos m  2n + 1 – Calculamos la dimensión a partir de m – Si no es igual a n, cambiamos n y recalculamos

9 Parte V: Análisis no lineal de la VFC DIMENSIÓN FRACTAL: ● La dimensión de la representación de los puntos del vector v m en el espacio de estados es un buen indicador de la complejidad del sistema ● una dimensión baja indica sistema determinístico ● una dimensión alta sugiere comportamiento aleatorio ● una dimensión baja y no entera sugiere un sistema caótico ● No debe ser usada como indicador único ● El método más usado es el de Grassberger y Procaccia

10 Parte V: Análisis no lineal de la VFC DIMENSIÓN FRACTAL: ● Método de Grassberger y Procaccia ● para cada punto i se calcula la proporción de puntos en el espacio m- dimensional que distan de v m (i) menos que r ● a esto se le llama la integral de correlación ● la dimensión se define como

11 Parte V: Análisis no lineal de la VFC DIMENSIÓN FRACTAL: ● La elección de parámetros para calcular la dimensión fractal en una señal de Frecuencia Cardíaca es ● m = 10 ●   = 3 segundos ● r a = r tal que C 10 (r) = 0.005 ● r b = r tal que C 10 (r) = 0.75

12 Parte V: Análisis no lineal de la VFC ENTROPÍA: ● Aunque no conozcamos con seguridad el modelo del sistema, o no podemos establecer claramente que tipo de sistema es… ● La entropía nos da una medida de la complejidad del mismo ● Permitiendo distinguir entre diferentes sujetos en cuanto a posibles enfermedades que den como resultado la reducción de complejidad ● La entropía aproximada es una de la más utilizadas, ya que permite realizar un cálculo menos costoso computacionalmente y se ha demostrado que es un buen índice de complejidad

13 Parte V: Análisis no lineal de la VFC ENTROPÍA APROXIMADA: ● Se basa en el cálculo de la integral de correlación, que ya vimos antes, promediada según la fórmula: ● La entropía aproximada se define como: m = 2,  = 0.8 segundos, r = 0.2 * SD de la FC muestreada ● Mide la probabilidad (logarítmica) de que patrones que están cercanos para m observaciones permanecen cercanos en las siguientes comparaciones incrementales

14 EXPONENTES DE LYAPUNOV: ● Cuantifican la divergencia exponencial de trayectorias que ocurre en el espacio de estados de los sistemas caóticos ● Miden la dependencia con respecto a las condiciones iniciales Parte V: Análisis no lineal de la VFC

15 EXPONENTES DE LYAPUNOV: ● Dada una hiperesfera infinitesimal de radio r 0 en el espacio de estados m-dimensional, tras un tiempo t podríamos describir la relación entre el radio inicial y los radios del elipsoide en sus ejes principales como: ● Los coeficientes L i son los exponentes de Lyapunov ● Un L i positivo significa caos, cuanto mayor sea el exponente más caótico es el sistema ● El algoritmo más utilizado para su cálculo es el desarrollado por Wolf y cols. ● Sólo calcula el mayor exponente positivo Parte V: Análisis no lineal de la VFC

16 EXPONENTES DE LYAPUNOV: ● El método de Wolf establece: ● para dos puntos muy cercanos en el espacio x 0 y x 0 + Δx, que son función del tiempo, y cada uno de los cuales genera una órbita propia, la separación de las dos órbitas también será una función del tiempo ● además también será función del valor inicial ● para un conjunto de datos caóticos, la razón exponencial media de divergencia es: ● El λ máximo positivo es elegido como el exponente máximo Parte V: Análisis no lineal de la VFC

17 ¿CÓMO CALCULAR ESTAS MEDIDAS? ● La mayoría de estas ecuaciones no tienen solución analíticamente, debemos recurrir a técnicas numéricas ● También podemos apoyarnos en trabajos previos que proponen valores para los parámetros necesarios para reconstruir el espacio de estados y calcular estos indicadores ● En R ya tenemos paquetes como: ● fNonlinear: modelado de series temporales no lineales y caóticas (incluye cálculo del exponente máximo de Lyapunov) ● tseriesChaos: análisis de series temporales no lineales ● Rtisean ● entropy: entropía y estimación de la información mutua Parte V: Análisis no lineal de la VFC

18 Bibliografía ● John G. Proakis & Dimitris G. Manolakis, Tratamiento digital de señales, Pearson Educación, 2007 ● Sophocles J. Orfanidis, Introduction to Signal Processing, disponible on line, 2010: http://www.ece.rutgers.edu/~orfanidi/i2sp ● X. Vila, Análisis de la variabilidad de señales fisiológicas. Integración en un sistema de monitorización inteligente, Tesis Doctoral, Univ. Santiago de Compostela, 1997 ● Task force, Heart rate variability. standards of measurement, physiological interpretation, and clinical use, European Heart Journal, 17:354-381, 1996 ● U. Rajendra y col., Heart rate variability: a review, Med Bio Eng Comput, 44:1031–1051, 2006