1 Pitagoras i jego dokonaniaOpracowała: mgr Elżbieta Piętka

2 Śladami Pitagorasa Ten grecki matematyk pochodziłz wyspy Samos (580 – 496 p.n.e.). Wielki wpływ na rozwój jego myśli miał pobyt w Egipcie. Najbardziej twórczy okres swego życia spędził w Krotonie i tam też powstała filozoficzna szkoła pitagorejska. Trudno oddzielić jego odkrycia od dokonań jego uczniów. Badania pitagorejczyków przyczyniły się do wspaniałego rozwoju geometrii oraz teorii liczb. .

3 Trójkąty pitagorejskie Twierdzenie Pitagorasa i jego dowód Gwiazda pitagorejska Trójkąt egipski Trójkąty pitagorejskie Twierdzenie Pitagorasa i jego dowód Inne dokonania Pitagorasa Zadania .

4 Gwiazda pitagorejska Umiłowaną figurą geometrycznąpitagorejczyków był pentagram. Jest to prawidłowy pięciokąt, którego boki są przedłużone w obie strony i tworzą pięciokąt gwiaździsty. Suma kątów pentagramu wynosi W pentagramie mamy doczynienia ze złotym podziałem. .

5 Złoty podział (a + b) : a = a : b Podział odcinka na dwie części tak,by stosunek długości dłuższej z nich do krótszej był taki sam, jak całego odcinka do części dłuższej. .

6 Złote cięcie znajduje się we wszystkich punktach skrzyżowania promieni pentagramu. b a .

7 trójkątem egipskim. W Egipcie używano go doTrójkąt prostokątny o bokach 3, 4 i 5 nazywamy trójkątem egipskim. W Egipcie używano go do wyznaczania kątów prostych przy odnawianiu granic gruntowych zmywanych dorocznymi wylewami Nilu. .

8 Trójkąt egipski Pitagoras przekazał nam związek między bokamitrójkąta egipskiego: 5 3 4 Pole trójkąta egipskiego wynosi 6, a więc liczbie kolejnej po trzech liczbach oznaczających długości boków. Ponadto .

9 Trójkąt o bokach 3, 4 i 5 uważany był w Starożytnościza figurę magiczną. 3 5 4 W słynnej piramidzie Cheopsa tak zwana komnata królewska ma wymiary w sposób szczególny związane z liczbami 3, 4, 5. .

10 Trójkąty prostokątne, których boki są wyrażone liczbami naturalnymi nazywamy trójkątami pitagorejskimi Oto kilka trójkątów pitagorejskich: 5, 12, 13; 15, 8 , 17; 7, 24, 25; Pitagoras obmyślił też regułę odnajdywania liczb naturalnych dla swych trójkątów: 2 2n+1, 2n(n+1), 2n +2n+1, gdzie n jest liczbą naturalną .

11 Są inne, znacznie późniejsze wzory odnajdywania liczb wyrażających boki w trójkątach pitagorejskich. m, n są liczbami naturalnymi , m >n

12 Twierdzenie PitagorasaKwadrat przeciwprostokątnej trójkąta prostokątnego równa się sumie kwadratów przyprostokątnych. c a b Uwaga: Pitagoras nie był odkrywcą tej własności, ale pierwszy zdołał to udowodnić.

13 Ilustracja geometryczna2 c 2 b a 2 Pole kwadratu zbudowanego na przeciwprostokątnej jest równe sumie pól kwadratów zbudowanych na przyprostokątnych. .

14 Dowód twierdzenia PitagorasaObecnie twierdzenie to udowodnione jest na ponad sto sposobów. .

15 Inny dowód twierdzenia Pitagorasaa + b c b a Inny dowód twierdzenia Pitagorasa .

16 Suma kolejnych liczb nieparzystych daje pełny kwadrat. A oto ilustracja geometryczna tego spostrzeżenia. .

17 Liczba nieparzysta jest różnicą dwu kwadratów. A oto ilustracja geometryczna tego spostrzeżenia. .

18 Liczby doskonałe Liczbami doskonałymi nazywali pitagorejczycy takieliczby, w których suma podzielników (bez danej liczby) równa się tej liczbie. 6 = 28 = 496 = Dzisiaj w dobie komputerów jest znanych ponad 40 liczb doskonałych (ostatnia ma ponad 19 milionów cyfr) .

19 Liczby zaprzyjaźnioneGdy zapytano Pitagorasa: „Co to jest przyjaciel?” odpowiedział: „Przyjaciel to drugi ja; przyjaźń to stosunek liczb 220 i 284”. Dwie liczby są zaprzyjaźnione, jeżeli suma dzielników każdej z nich (bez niej samej) równa się drugiej liczbie czyli zaprzyjaźnionej. 220 = , to są dzielniki liczby 284 284 = Składniki tej sumy są dzielnikami liczby 220 .

20 Drugim wielkiej doniosłości twierdzeniem geometrycznym przypisywanym Pitagorasowi jest twierdzenie o sumie kątów trójkąta. .

21 figurami kosmicznymi Pitagoras uznawany jest powszechnie za twórcępierwszych zasad budowy wielościanów foremnych, które nazwał figurami kosmicznymi ikosaedr oktaedr dodekaedr tetraedr hekasedr

22 Zadanie 1 Tam za murem dziewczyna, a pod ręką drabina,co pięć metrów długości ma. W fosie krążą rekiny. Żal przecudnej dziewczyny, co za murem z rozpaczy łka. Czy zwykłemu chłopczynie na wspomnianej drabinie te przeszkody pokonać się da? Dane wierszyk pominie. Znajdziesz je przy rycinie. Policz sprytnie. Odpowiedz raz dwa! .

23 Rozwiązanie: 5m . Odpowiedź: Drabina jest za krótka.

24 Zadanie 2 Czy lustro o wymiarach 2,20m x 2,20m możnaprzenieś przez drzwi o wymiarach 1m x 2m? .

25 Rozwiązanie: p Odpowiedz: Lustro można przenieść przez drzwi. .

26 Celem dalszego poznania dokonań Pitagorasa odsyłam do ciekawejksiążki S. Jeleńskiego p.t. „Śladami Pitagorasa” Dziękuję za uwagę.