1 PLAN WYKŁADÓW Podstawy kinematyki Ruch postępowy i obrotowy bryłyPodstawy dynamiki punktu materialnego Ruch harmoniczny Praca, moc, sprawność, zasady zachowania Dynamika układu punktów materialnych Masowe momenty bezwładności Pojęcia podstawowe, rozciąganie proste Zginanie proste Naprężenia złożone 11. Ścinanie i skręcanie 12. Obliczenia zbiorników cienkościennych 13. Hipotezy wytężeniowe 14. Pełzanie, relaksacja, zmęczenie materiału

2 LITERATURA 1. SIUTA WŁADYSŁAW, Mechanika Techniczna, Wydawnictwa Szkolne i Pedagogiczne, Warszawa 1985. 2. ZAWADZKI JERZY, SIUTA WŁADYSŁAW, Mechanika Ogólna, PWN 1970, Warszawa 3. MISIAK JAN, Mechanika Ogólna, WNT, Warszawa 4. HUBER M. T. Mechanika Ogólna i Techniczna. PAN Warszawa 1956. 5. ŻUCHOWSKI R., Wytrzymałość materiałów, Oficyna Wydawnicza PWr., Wrocław 1998.

3 Wykład 1 Podstawy kinematyki

4 WPROWADZENIE KINEMATYKA – (kineo z greckiego poruszam) jest to dział mechaniki opisujący ruch punktu lub bryły, bez uwzględniania masy i przyczyn wywołujących zmianę ruchu (geometria ruchu). RUCH – określamy jako zmianę położenia ciała materialnego względem układu odniesienia (tj. względem innego ciała lub zbioru ciał uważanych za pozostające w spoczynku) w jednostce czasu.

5 · Kinematykę ciała sztywnego.WPROWADZENIE W związku z tym że ciała rzeczywiste zastępujemy pojęciem punkt materialny lub ciało doskonale sztywne, kinematykę możemy podzielić na: ·       Kinematykę punktu materialnego ·       Kinematykę ciała sztywnego.

6 Tor punktu Jest to linia ciągła l utworzona przez kolejne położenia poruszającego się punktu. Tor punktu może być linią prostą lub dowolną krzywą. y x l Tor krzywoliniowy l Tor prostoliniowy Rys. 1

7 Podział ruchu Ruch prostoliniowy jednostajnyRuch prostoliniowy zmienny Ruch krzywoliniowy jednostajny Ruch krzywoliniowy zmienny

8 OPIS PORUSZAJĄCEGO SIĘ PUNKTUPołożenie poruszającego się punktu P w przyjętym układzie współrzędnych można określić przez x, y, z. Ponieważ współrzędne te są funkcjami zmiennej t (czasu), to otrzymujemy: Kinematyczne równania ruchu punktu x = f1(t), y = f2(t), z = f3(t). Rys. 2

9 Równania ruchu w postaci wektorowejJeżeli początek promienia r pokrywa się z początkiem układu współrzędnych to składowe wektora są równe współrzędnym punktu P rx = x(t), ry = y(t), rz = z(t) Rys. 3 Po uwzględnieniu powyższej zależności promień wektora r możemy zapisać w postaci sumy geometrycznej:

10 Prędkość punktu materialnegoRozpatrzmy ruch punktu P w przedziale czasu t = t2 - t1, w którym punkt przebył drogę s = P1P2 . Przyrost wektora promienia wynosi r zatem” Rys. 4

11 Prędkość średnia Prędkość średnia punktu jest ilorazem przyrostu wektora r do czasu t w którym ten przyrost nastąpił.

12 Prędkość chwilową określa granica przy t dążącym do zeraPrędkość chwilowa Prędkość chwilową określa granica przy t dążącym do zera Przyrost r ma składowe x, y, z stąd

13 Prędkość chwilowa Wektor prędkości można zapisać w postaci:którego moduł wynosi:

14 Przyspieszenie punktu materialnegoW czasie t = t2 - t1, wektor prędkości zmienia się z v1 na v2 . Przyrost wektora prędkości wynosi v, zatem Przyspieszenie średnie punktu Przyspieszenie średnie punktu wyraża się jako iloraz przyrostu prędkości v przez przyrost czasu t.

15 Przyspieszenie chwilowe punktuWiedząc, że przyrost prędkości v ma składowe vx, vy, vz, stąd składowe wektora przyśpieszenia mają postać

16 Przyspieszenie chwilowe punktuWektor przyśpieszenia można zapisać w postaci : a jego moduł

17 Ruch prostoliniowy jednostajnyRuchem prostoliniowym jednostajnym jest ruch punktu po torze prostoliniowym, który odbywa się w taki sposób, że w jednakowych przedziałach czasu t punkt przebywa takie same odcinki drogi.

18 Równania ruchu prostoliniowego jednostajnegoDroga s jest liniową funkcją czasu, zatem czyli Stąd po scałkowaniu otrzymujemy

19 Wykres ruchu prostoliniowego jednostajnegoRys. 6 czyli

20 Ruch prostoliniowy zmienny Ruch prostoliniowy jednostajnie zmiennyJest to ruch punktu po torze prostoliniowym, który odbywa się w taki sposób, że w jednakowych przedziałach czasu t punkt przebywa różne odcinki drogi. Ruch prostoliniowy jednostajnie zmienny Jeżeli prędkość jest liniową funkcją czasu, to ruch punktu jest jednostajnie zmienny.

21 Równania ruchu prostoliniowego jednostajnie zmiennegoPrzyśpieszenie Prędkość Droga a > 0 ruch jednostajnie przyspieszony a < 0 ruch jednostajnie opóźniony

22 Ruch krzywoliniowy jednostajnyJest ruch punktu po torze krzywoliniowym l, w którym wektor prędkości w każdej chwili jest styczny do toru, a jego wartość nie zmienia się z czasem (zmienia się tylko jego kierunek).

23 Ruch krzywoliniowy zmiennyJest to ruch punktu po torze krzywoliniowym, w którym wektor prędkości ruchomego punktu zmienia wartość i kierunek. W ruchu krzywoliniowym zmiennym wektor przyspieszenia punktu tworzy z wektorem prędkości tego punktu pewien kąt  (ostry lub rozwarty).

24 Przyśpieszenie normalneZ rysunku wynika, że wartość przyspieszenia składowego an prostopadłego do prędkości ma postać: Składowa ta nosi nazwę przyspieszenia normalnego, a związana jest ze zmianą kierunku wektora prędkości.

25 Przyśpieszenie styczne Wartość at jest określona w postaci:Składowa przyspieszenia w kierunku wektora prędkości nazywana jest przyspieszeniem stycznym i związana jest ze zmianą wartości wektora prędkości. Wartość at jest określona w postaci:

26 Wektor przyśpieszeniajest sumą przyspieszenia normalnego i stycznego a wartość tego wektora obliczamy z zależności

27 Na podstawie tych wiadomości można ustalić z jakim ruchem punktu materialnego mamy do czynienia:an0, at 0 - Przyspieszenie całkowite jest nachylone pod pewnym kątem (ostrym lub rozwartym) do prędkości. Rozważany ruch jest ruchem krzywoliniowym zmiennym, zmienia się wartość i kierunek prędkości. an=0, at 0 - Całkowite przyspieszenie jest styczne do toru. Prędkość w takim ruchu może zmienić swoją wartość ale jej kierunek pozostaje bez zmian. Jest to ruch prostoliniowy zmienny.

28 an0, at =0 - Całkowite przyspieszenie ma kierunek prostopadły do toruan0, at =0 - Całkowite przyspieszenie ma kierunek prostopadły do toru. Prędkość w tym ruchu może zmieniać jedynie swój kierunek, a wartość pozostaje stała. Rozważany ruch będzie ruchem jednostajnym krzywoliniowym. an=0, at =0 - Całkowite przyspieszenie jest równe zeru. Wektor prędkości w takim ruchu nie może zmienić ani swojego kierunku ani wartości. Jest to więc ruch jednostajnie prostoliniowy.

29 Ruch jednostajny po okręguW ruchu jednostajnym punkt materialny porusza się ruchem jednostajnym po okręgu o promieniu r, przebywając w równych odstępach czasu t równe odcinki drogi (łuki P1P2, P2P3, P3P4,).  r v P1 P2 an P1 Prędkość średnia punktu wyraża się jako P2 v P3 P3 Jednak w tym przypadku droga jest łukiem, więc jak wiadomo z geometrii v P4 P4 v czyli Rys. 13

30 Prędkość kątowa Stosunek kąta  wyrażonego w radianach do czasu t, w którym ten kąt został zatoczony, nazywamy prędkością kątową. Tak więc wartość prędkości liniowej otrzymamy z wyrażenia

31 Prędkość obrotowa Prędkością obrotową punktu po okręgu nazywamy liczbę pełnych obiegów w ciągu jednej minuty Pomiędzy prędkością kątową [rad/s] i prędkością obrotową [obr/min] zachodzi zależność

32 Przyśpieszenie Przyśpieszenie kątowe (składowa styczna at oznaczana przez e ) określa zmianę wektora prędkości kątowej. W przypadku ruchu jednostajnego po okręgu składowa styczna przyśpieszenia kątowego jest równa zeru. Występuje tylko składowa normalna, której wartość określona jest wzorem:

33 Przykład 1. Tarcza o średnicy d=2r=20cm zaczyna obracać się ruchem jednostajnie przyspieszonym z przyspieszeniem kątowym =5 rad/s2. Obliczyć przyspieszenie styczne i normalne punktów leżących na obwodzie tarczy w dziesiątej sekundzie ruchu. Rozwiązanie: Dane: =5 rad/s2; r=0,1m Obliczyć : at i an po 10 sek. ruchu w a at r v an Prędkość kątowa po 10 s ruchu wynosi: Przyśpieszenie normalne i styczne

34 Przykład 2. Ruch punktu po płaszczyźnie określony jest równaniami: x=40t, y=5t2. Obliczyć wartości przyspieszenia stycznego i normalnego w chwili t=3s. Rozwiązanie: Składowe prędkości: Składowe przyśpieszenia Moduł wektora prędkości wynosi: dla t=3s Moduł wektora przyśpieszenia:

35 Pierwsza pochodna prędkości określa przyspieszenie stycznedla t=3s Przyspieszenie normalne obliczamy z zależności dla t=3s