1

2 Platon ( p.n.e.) Był twórcą systemu filozoficznego zwanego idealizmem platońskim. Uważa się, że to od Platona zaczyna się filozofia rozumiana jako nauka systematyczna, a nie przypadkowe spekulacje. Był założycielem słynnej Akademii. W geometrii znane są jego konstrukcje za pomocą linijki i cyrkla oraz bryły platońskie, czyli wielościany foremne.

3 Wielokąty foremne Kąty wielościenne Platon Teajtetos

4 Czworościan Ośmiościan Dwudziestościan Sześcian Dwunastościan

5 Czworościan Czworościan foremny może być wpisany w sześcian na dwa sposoby tak, aby każdy jego wierzchołek pokrywał się z jakimś wierzchołkiem sześcianu, a każda jego krawędź z przekątną jednej ze ścian sześcianu. Objętość każdego z tych czworościanów wynosi 1/3 objętości sześcianu.

6

7 Pole powierzchni całkowitej: 𝑆= 3 ∙ 𝑎 2 ≈1,7321∙ 𝑎 2 Objętość: 𝑉= 2 12 ∙ 𝑎 3 ≈0,1179∙ 𝑎 3 Wysokość: ℎ=𝑎∙ 24 6 =𝑎∙ 6 3 ≈0,8165 ∙𝑎

8 Sześcian  Kąt bryłowy przy jego wierzchołku (tj. kąt trójścienny) wynosi π/2, Sześcian jest także szczególnym przypadkiem graniastosłupa prawidłowego, prostopadłościanu

9

10 Objętość: 𝑉= 𝑎 3 Pole powierzchni całkowitej: 𝑆=6∙ 𝑎 2 Wysokość: ℎ=𝑎 Przekątna: 𝑑=𝑎∙ 3

11 Ośmiościan Ścinając wierzchołki ośmiościanu otrzymujemy wielościan półforemny o nazwie ośmiościan ścięty. Ośmiościan foremny jest także antygraniastosłupem. Ośmiościan foremny ma cztery pary ścian do siebie równoległych.

12

13 Pole powierzchni całkowitej:Objętość: 𝑉= ∙ 𝑎 3 ≈3,4641∙ 𝑎 3 Pole powierzchni całkowitej: 𝑆=2 3 ∙ 𝑎 2 ≈0,4714 ∙ 𝑎 2 Wysokość: ℎ= 𝑎 3 ∙ 6 ≈0,8165 ∙𝑎 Przekątna: 𝑑=𝑎∙ 2 ≈1,4142∙ 𝑎

14 Dwunastościan Ścinając wierzchołki dwunastościanu otrzymujemy wielościan półforemny o nazwie dwunastościan ścięty.

15

16 Pole powierzchni całkowitej: 𝑆=3∙ 𝑎 2 ∙ 5(5+2 5) ≈20,6457 ∙𝑎 2 Objętość: 𝑉= 1 4 ∙ 𝑎 3 ∙( )≈7,6613∙ 𝑎 3 Miara kąta między ścianami: 𝛼=116,6° Alfa – miara kąta między ścianami

17 Dwudziestościan Posiada 15 płaszczyzn symetrii.Ścinając wierzchołki dwudziestościanu otrzymujemy wielościan półforemny o nazwie dwudziestościan ścięty.

18

19 Pole powierzchni całkowitej: 𝑆=5∙ 𝑎 2∙ 3 ≈8,6603 ∙𝑎 2 Objętość: 𝑉= 5 13 ∙ 𝑎 3 (3+ 5 )≈2,1817∙ 𝑎 3 Miara kąta między ścianami bocznymi: 𝛼=138,2° Alfa – miara kąta między ścianami

20 Wielościany foremne

21 Wielościany foremne

22 Zadanie 1 Oblicz wysokość czworościanu foremnego o boku długości a. Wyznacz jego objętość. Zadanie 2 Wykaż, że promień kuli opisanej na czworo-ścianie foremnym o boku długości a wynosi

23 Praca domowa  Zadanie 3 Oblicz długość przekątnej sześcianu o krawędzi długości a. Zadanie 4 Oblicz objętość sześcianu, którego przekątna ma długość cm.

24 W dialogu Timajos Platon pisał, że każdy żywioł można utożsamić z jedną z doskonałych brył:ogień - czworościan, ziemia - sześcian, powietrze - ośmiościan, woda - dwudziestościan. Po odkryciu dwunastościanu foremnego włączono go do systemu jako symbol całego wszechświata (eteru)

25 ośmiościan – dwudziestościan – dwunastościan – czworościan - sześcian

26 Reprodukcje rysunków pochodzących z Mysterium Cosmographicum (1595) Keplera

27

28

29

30 minerały

31 diament

32 fluoryt

33 piryt

34 piryt

35 Krzemiany i glinkokrzemiany

36

37 akwamaryn

38 aragonit

39 halit

40 Kryształ górski

41 Gips...

42 morion

43 rubelit

44 staurolit

45 topaz

46 wulfenit

47 kalcyt

48 kalcyt

49 Galena na sfalerycie

50 Oliwin

51 bizmut

52 Układ krystaliczny Możliwe typy sieciTrójskośny Jednoskośny Rombowy prymitywna (P) centrowana na podstawach (C) przestrzennie centrowana (I) ściennie centrowana (F) Tetragonalny Romboedryczny Heksagonalny Regularny

53

54