1 Pochodna funkcji jednej zmiennej. Pochodna wektora

2 Pochodna funkcji jednej zmiennej x dxdx df f(x) xx ff

3 Różniczka funkcji Infinitezymalna zmiana df wartości funkcji f(x) spowodowana infinitezymalną zmianą dx jej argumentu nazywa się różniczką funkcji. x dxdx df f(x)

4 Użyteczne pochodne a=const, f(x), u(x), v(x) - funkcje

5 Użyteczne pochodne np.

6 Interpretacja geometryczna pochodnej x df f(x) dx 

7 Gdy argumentem funkcji jest czas… Np. pochodna f’(t) po czasie

8 Pochodna wektora f (  ) f (  +  ) ff ff 

9 Pochodna wektora cd.

10 Pochodna wektora Każdą składową wektora różniczkuje się osobno.

11 Wektor położenia, wektor przemieszczenia i wektor prędkości.

12 Punkt materialny Punkt materialny to obiekt o masie różnej od zera i zerowych rozmiarach. W wielu przypadkach rzeczywiste obiekty traktujemy jak punkty materialne. Dla ruchu translacyjnego można założyć, że obiekt to cząstka o masie równej masie obiektu umieszczonej w centrum jego masy.

13 Wektor położenia - Wektor związany z konfiguracją Wszechświata Element zorientowany, który ma początek w początku układu odniesienia a koniec w punkcie o współrzędnej odpowiadającej położeniu punktu materialnego. r O r r r = [x,y,z] x y z z x y

14 Wektor przemieszczenia  r = r(t 2 ) – r(t 1 ) x y z r(t) r(t 1 ) rr Położenie cząstki może zmieniać się w czasie. Różnica wektorów położenia w dwóch różnych chwilach czasu t 1 i t 2 nazywa się wektorem przemieszczenia: r(t 2 )

15 Wektor prędkości x y z r(t) Szybkość zmian wektora położenia cząstki nazywa się wektorem prędkości tej cząstki. dr r(t+dt) v Prędkość chwilowa jest zdefiniowana jako granica szybkości zmian wektora położenia przy  t dążącym do zera.

16 Prędkość chwilowa y x B A1A1 A2A2 A3A3 A4A4 Wektor prędkości chwilowej jest styczny do toru

17 Wektor prędkości chwilowej Wektor prędkości chwilowej jest styczny do toru w punkcie, w którym cząstka znajduje się w danej chwili VpVp VkVk

18 Prędkość chwilowa Przykład:

19 Szybkość i przyspieszenie

20 Szybkość Moduł wektora prędkości nazywa się szybkością Szybkość jest równa pochodnej drogi po czasie dr Na kolejnym wykładzie pokażemy, że droga jest równa całce z prędkości chwilowej po czasie.

21 Szybkość Przykład: ruch jednostajny po okręgu w płaszczyźnie xy

22 Średnia szybkość Średnia szybkość jest równa stosunkowi drogi do czasu, w którym cząstka tę drogę przebyła Na kolejnym wykładzie pokażemy, że

23 Przykład cd Obliczmy średnią szybkość po czasie równym okresowi (punkt wykonał jeden pełny obrót): Tymczasem wektor prędkości średniej po czasie T: R v l  t x

24 dv -v(t) v(t+dt) Wektor przyśpieszenia x y z v(t) Szybkość zmian wektora prędkości cząstki nazywa się wektorem przyśpieszenia. v(t+dt) a(t) Przyśpieszenie chwilowe jest zdefiniowane jako granica szybkości zmian wektora prędkości przy  t dążącym do zera.

25 Przyśpieszenie - przykłady

26

27 Średnie przyśpieszenie Stosunek zmiany wektora prędkości do czasu, w którym zaszła ta zmiana nazywa się średnim przyśpieszeniem. t1t1 t2t2 vv Na kolejnym wykładzie pokażemy, że

28 Przykład: ruch jednostajny po okręgu w płaszczyźnie xy

29 Prędkość i przyspieszenie jako pochodne t a 0 a(t) t V(0) 0 V(t) t x(0) 0 x(t)

30 Użyteczne równania Przekształcając i otrzymujemy:

31 Rzut pionowy Dla y x y0y0

32 Rzut poziomy y x y0y0 x maks

33 Rzut ukośny y x Składowe prędkości początkowej: 

34 Rzut ukośny I II x  W kierunku x – ruch jednostajnyW kierunku y – rzut pionowy

35 Rzut ukośny – zasięg z=zasięg x  I

36 Rzut ukośny – zasięg