1 Podstawowe własności trójkątówAUTORKA PREZENTACJI: Maria Pawłowska Spis treści

2 ZAWARTOŚĆ PREZENTACJI :Nierówność trójkąta Klasyfikacja trójkątów Cechy przystawania trójkątów Cechy przystawania trójkątów prostokątnych Cechy podobieństwa trójkątów Twierdzenie Pitagorasa Twierdzenie odwrotne Pole Obwód Wysokości Okrąg opisany na trójkącie

3 Nierówność trójkąta a + b > c b + c > a a + c > bSuma dwóch dowolnych boków trókąta jest zawsze większa od dugości trzeciego boku. a + b > c b + c > a a + c > b

4 1. Podział trójkątów ze względu na boki różnoboczny (dowolny)Każdy bok ma inną długość i każdy kąt ma inną miarę. równoramienny Ma dwa boki równe i nazywamy je ramionami. Trzeci bok to podstawa. Kąty przy podstawie mają tę samą miarę. równoboczny Ma wszystkie boki równej długości. Wszystkie kąty wewnętrzne są równe i mają po 60°.

5 2. Podział trójkątów ze względu na kątyostrokątny (dowolny)  Każdy kąt wewnętrzny jest kątem ostrym. prostokątny C = 90°, Ma jeden kąt prosty, a dwa pozostałe są ostre rozwarty Ma jeden kąt rozwarty, a dwa pozostałe są ostre. < 90°

6 Cechy przystawania trójkątówDwa trójkąty są przystające, gdy spełniają jeden z równoważnych warunków: (bbb) Długości boków pierwszego trójkąta są równe długościom odpowiednich boków drugiego trójkąta ( odpowiednie boki są przystające). (bkb) Długości dwóch boków pierwszego trójkąta są równe długościom boków drugiego trójkąta i miary kątów zawarte między tymi kątami są równe ( dwa boki i zawarty między nimi kąt pierwszego trójkąta są przystające do odpowiednich dwóch boków i zawartego między nimi kąta drugiego trójkąta). (kbk) Długość boku pierwszego trójkąta jest równa długości drugiego trójkąta i miary odpowiednich kątów przylegających do boków są równe ( bok i dwa kąty do niego przylegające pierwszego trójkąta są przystające do odpowiedniego boku i dwóch kątów do niego przylegających drugiego trójkąta).

7 |AB| = |A1B1|, |BC| = |B1C1|    oraz   |AC| = |A1C1|, to ABC  A1B1C1

8 |AB| = |A1B1|, |AC| = |A1C1|  i    CAB =  C1A1B1to ABC  A1B1C1

9 |AB| = |A1B1| i  CAB =  C1A1B1 i  ABC =  A1B1C1to ABC  A1B1C1

10 Cechy przystawania trójkątów prostokątnychI cecha Przyprostokątne jednego trójkąta są odpowiednio równe (przystające) przyprostokątnym drugiego trójkąta. II cecha Przyprostokątna i kąt ostry do niej przeciwległy jednego trójkąta są odpowiednio równe przyprostokątnej i kątowi do niej przyległemu w drugim trójkącie. III cecha Przyprostokątna i kąt do niej przeciwległy jednego trójkąta są odpowiednio równe przyprostokątnej i kątowi do niej przyległemu w drugim trójkącie. VI cecha Przeciwprostokątna i jeden z kątów ostrych jednego trójkąta są odpowiednio równe przeciwprostokątnej i jednemu z kątów ostrych w drugim trójkącie. V cecha Przeciwprostokątna i jedna z przyprostokątnych jednego trójkąta są odpowiednio równe przeciwprostokątnej i jednej z przyprostokątnych w drugim trójkącie.

11 Cechy podobieństwa trójkątówWłasność, która pozwala na określenie podobieństwa pewnej rodziny figur, nazywa się cechą podobieństwa figur tej rodziny Wyróżniamy trzy cechy podobieństwa trójkątów: (bbb) Długości boków jednego trójkąta są proporcjonalne do odpowiednich długości boków drugiego trójkąta. (bkb) Długości dwóch boków jednego trójkąta są proporcjonalne do odpowiednich długości dwóch boków drugiego trójkąta i kąty między tymi parami boków są przystające. (kbk) Dwa kąty jednego trójkąta są przystające do odpowiednich dwóch kątów drugiego trójkąta ( więc też i trzecie kąty obu trójkątów są przystające).

12

13

14

15 Twierdzenie PitagorasaW trójkącie prostokątnym suma kwadratów długości jego przyprostokątnych jest równa kwadratowi długości przeciwprostokątnej. a2 + b2 = c2

16 Twierdzenie odwrotne Jeżeli w trójkącie kwadrat długości najdłuższego boku jest równy sumie kwadratów długości pozostałych boków, to ten trójkąt jest prostokątny, a jego najdłuższy bok jest przeciwprostokątną.

17 Pole trójkąta

18 Obwód różnoboczny równoranienny równoboczny Ob = a + b + c Ob = a + 2b

19 Wysokości Wysokością trójkąta nazywamy odcinek poprowadzony z wierzchołka trójkąta prostopadle do przeciwległego boku lub do przedłużenia tego boku. Każdy trójkąt ma trzy wysokości, które przecinają sie w jednym punkcie zwanym ortocentrum (p.O).

20 Okrąg opisany na trójkącieNa każdym trójkącie można opisać okrąg. Środkiem okręgu opisanego jest punkt przecięcia się symetralnych boków trójkąta. Środek okręgu opisanego na trójkącie równobocznym i środek okręgu wpisanego w trójkąt równoboczny pokrywają się.