1 Politechnika RzeszowskaFIZYKA CIAŁA STAŁEGO Vitalii Dugaev Katedra Fizyki Politechnika Rzeszowska Semestr letni, rok 2013/2014

2 Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 5 Strona 1Przy założeniu, że każda płaszczyzna oddziałuje tylko z najbliższymi sąsiadami równania ruchu przyjmują postać Szukamy rozwiązań w postaci równania fal bieżących o amplitudach ξ i η dla płaszczyzn nieparzystych i parzystych Otrzymujemy Fizyka Ciała Stałego, Lekcja Strona 1

3 Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 5 Strona 2Warunek rozwiązania: Dla małych wartości K (Ka << 1) (gałąź optyczna) (gałąź akustyczna) Fizyka Ciała Stałego, Lekcja Strona 2

4 Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 5 Strona 3gałąź fononów optycznych akustycznych drgania optyczne Widmo dyspersji fononów drgania akustyczne Fizyka Ciała Stałego, Lekcja Strona 3

5 Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 5 Strona 4Właściwości optyczne w podczerwieni Rozpatrzymy wpływ fotonów podczerwieni na dwuatomowy kryształ o ładunku jonów ±e Równania ruchu w polu elektrycznym Ele-iωt Szukamy rozwiązań w postaci Dla wartości granicznej K=0 otrzymujemy Fizyka Ciała Stałego, Lekcja Strona 4

6 Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 5 Strona 5gdzie odpowiada gałęzi optycznej dla K=0 Rozwiązanie odpowiada poprzecznej fali elekromagnetycznej, w której Polaryzacja dielektryczna P zdefiniowana jest jako moment dipolowy jednostki objętości. Jeżeli w jednostce objętości znajduje się N dodatnich jonów i N ujemnych, to Fizyka Ciała Stałego, Lekcja Strona 5

7 Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 5 Strona 6Zależność stałej dielektrycznej od częstości gdzie ε(∞) oznacza wkład pochodzący od elektronów rdzeni jonowych, stała S jest rzędu 4πNe2/μ Definicja: W przedziale częstości nie będę się rozchodzili fale elektromagnetyczne Zależność Lyddane’a-Sachsa-Tellera Zależność ε(ω) Fizyka Ciała Stałego, Lekcja Strona 6

8 Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 5 Strona 7CIEPLNE WŁAŚCIWOŚCI IZOLATORÓW Ciepło właściwe sieci krystalicznej Ciepło właściwe w stałej objętości zdefiniowane jest wzorem gdzie S jest entropią, E – energią wewnętrzną, a T – temperaturą Wartość ciepła właściwego prawie wszystkich ciał stałych wynosi około 3NkB (N jest liczbą atomów w próbce) W niskich temperaturach ciepło właściwe znacznie spada i zbliża się do zera jak T3 dla izolatorów oraz jak T dla metali CP T, K Fizyka Ciała Stałego, Lekcja Strona 7

9 Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 5 Strona 8Drgania sieci są niezależne, jeżeli spełnione jest prawo Hook’a. Wtedy energia drgań sieci zależy tylko od ich częstości i liczby fononów n W równowadze termicznej w temperaturze T liczba fononów określona jest wzorem Plancka lub Bosego-Einsteina gdzie <…> oznacza wartość średnią w równowadze termicznej Fizyka Ciała Stałego, Lekcja Strona 8

10 Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 5 Strona 9Model Einsteina Średnia energia oscylatora o częstości ω ma wartość Dla N oscylatorów mających jednakową częstość rezonansową energia E równa się gdzie β=1/kBT Ciepło właściwe wynosi Przybliżony charakter modelu Einsteina polega na tym, że wszystkie fale sprężyste w ciele stałym mają tę samą częstość CP Fizyka Ciała Stałego, Lekcja Strona 9

11 Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 5 Strona 10Model Debye’a ciepła właściwego sieci krystalicznej Energia, jaką w równowadze termicznej przybiera zbiór oscylatorów o różnych częstościach ωK, wyraża się wzorem gdzie odnosi się do ωK zgodnie z rozkładem Bosego-Einsteina Energię można wyrazić wzorem gdzie D(ω) jest gęstością stanów czyli gęstością drgań przypadających na jednostkowy przedział częstości Fizyka Ciała Stałego, Lekcja Strona 10

12 Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 5 Strona 11Gęstość stanów w modelu trójwymiarowym Zastosujemy metodę periodycznych warunków brzegowych do zbioru N atomów znajdujących się wewnątrz sześcianu o boku L Każde drganie przedstawia falę stojącą, która spełnia warunek Stąd czyli na objętość (2π/L)3 w przestrzeni K przypada jedna dozwolona wartość K W przybliżeniu Debye’a: ω=vK, ω<ωD Fizyka Ciała Stałego, Lekcja Strona 11

13 Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 5 Strona 12Gęstość stanów albo funkcja rozkładu: Całkowita liczba stanów dla N atomów, dla każdego rodzaju polaryzacji wynosi N: Przybliżenie Debye’a Funkcje rozkładu dla rzeczywistych sieci krystalicznych mają osobliwości znane jako osobliwości Van Hove’a. Powstają one w punktach krytycznych, w których prędkość grupowa jest równa zeru. Fizyka Ciała Stałego, Lekcja Strona 12

14 Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 5 Strona 13podłużne poprzeczne poprzeczne Aluminium Częstość, 1013 Hz Fizyka Ciała Stałego, Lekcja Strona 13

15 Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 5 Strona 14W modelu Debye’a widmo dyspersji fononów jest ograniczone do energii ω=ωD. Zakładamy że prędkość fononów nie zależy od polaryzacji gdzie czynnik 3 jest liczbą polaryzacji fononów Ten ostatni wzór definiuje temperaturę Debye’a θ Fizyka Ciała Stałego, Lekcja Strona 14

16 Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 5 Strona 15Ciepło właściwe: Dla niskich temperatur, T<<θ, CV Fizyka Ciała Stałego, Lekcja Strona 15

17 Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 5 Strona 16

18 Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 5 Strona 17Zeta-funkcja Riemanna: Dla x=2n gdzie Bn są liczbami Bernulliego: Fizyka Ciała Stałego, Lekcja Strona 17

19 Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 5 Strona 18GAZ FERMIEGO ELEKTRONÓW SWOBODNYCH Zgodnie z modelem elektronów swobodnych większość elektronów słabo związanych z atomami tworzącymi dany metal porusza się swobodnie Elektrony walencyjne w atomach stają się nośnikami elektryczności w metalu i nazywane są elektronami przewodnictwa Dlaczego ściśle upakowana materia jest przenikliwa dla elektronów przewodnictwa? Elektron przewodnictwa nie zostaje odchylony przez jony rozmieszczone w sieci periodycznej Elektron przewodnictwa jest bardzo rzadko rozpraszany przez inny elektron przewodnictwa – właściwość ta wynika z zasady Pauliego Gazem Fermiego elektronów swobodnych nazywamy gaz nie oddziaływających elektronów swobodnych, które podlegają zasadzie Pauliego Fizyka Ciała Stałego, Lekcja Strona 18

20 Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 5 Strona 19Poziomy energetyczne i gęstość stanów w modelu jednowymiarowym Rozpatrzmy elektron o masie m znajdujący się na linii o długości L ograniczonej na obu końcach nieskończonymi barierami Równanie Schrödingera Warunki brzegowe: ψn(0)=ψn(L)=0 Rozwiązanie: Wartość własna energii E n E Fizyka Ciała Stałego, Lekcja Strona 19

21 Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 5 Strona 20Załóżmy, że umieściliśmy na linii N elektronów. Według zasady Pauliego dwa elektrony nie mogą mieć dwóch jednakowych wszystkich liczb kwantowych. Liczby kwantowe: n = 1,2,... i ms = ±½ (spin) Dla N elektronów najwyższy obsadzony poziom nF spełni zależność Energię najwyższego obsadzonego poziomu nazywamy energią Fermiego EF Gęstość stanów gazu elektronów swobodnych w modelu jednowymiarowym Fizyka Ciała Stałego, Lekcja Strona 20

22 Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 5 Strona 21Wpływ temperatury na funkcję rozkładu Fermiego-Diraca Funkcja rozkładu: μ nazywamy potencjałem chemicznym Fizyka Ciała Stałego, Lekcja Strona 21

23 Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 5 Strona 22Gaz elektronów swobodnych w modelu trójwymiarowym Równanie Schrödingera Jeśli elektrony znajdują się w sześcianie o krawędzi L, to funkcja falowa Funkcje falowe, które spełniają periodyczne warunki brzegowe będą miały postać bieżącej fali płaskiej Fizyka Ciała Stałego, Lekcja Strona 22

24 Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 5 Strona 23Wartości własnej energii W stanie podstawowym układu o N swobodnych elektronach stany odsadzony można przedstawić jako punkty wewnątrz kuli w przestrzeni k Energia na powierzchni tej kuli jest energią Fermiego EF ; wektor falowy na powierzchni Fermiego ma wartość kF Wewnątrz kuli o objętości 4πkF3/3 całkowita dozwolona liczba stanów wynosi Fizyka Ciała Stałego, Lekcja Strona 23

25 Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 5 Strona 24Zależność energii Fermiego od koncentracji elektronów N/V Prędkość elektronu na powierzchni Fermiego Fizyka Ciała Stałego, Lekcja Strona 24