1 Politechnika RzeszowskaFIZYKA CIAŁA STAŁEGO Vitalii Dugaev Katedra Fizyki Politechnika Rzeszowska Semestr letni, rok 2013/2014

2 Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 7 Strona 1Ruch w polu magnetycznym Równanie dla przemieszczenia cząstek kuli Fermiego pod wpływem siły F Częstość cyklotronowa Przyjmujemy że H jest równoległe do osi z, E=0 i τ→∞ Rozwiązania: gdzie - częstość cyklotronowa swobodnego elektronu Fizyka Ciała Stałego, Lekcja Strona 1

3 Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 7 Strona 2Stałe magnetoprzewodnictwo Niech stałe pole magnetyczne E leży w płaszczyźnie xy, a H wzdłuż osi z W stanie ustalonym Fizyka Ciała Stałego, Lekcja Strona 2

4 Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 7 Strona 3Rozwiązując względem δvx, δvy otrzymamy Składowe gęstości prądu elektrycznego Składowa z prądu elektrycznego nie podlega działaniu pola magnetycznego skierowanego wzdłuż z: Fizyka Ciała Stałego, Lekcja Strona 3

5 Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 7 Strona 4Gęstość prądu możemy przedstawić w postaci macierzy: Z tych równań wynika że składowe σxx i σyy leżące na przekątnej tensora magnetoprzewodnictwa maleją monotonicznie ze wzrostem pola magnetycznego Wartości składowych, które nie leżą na przekątnych σxy i σyx, początkowo rosną, a później maleją, gdy pole magnetyczne H wzrasta Fizyka Ciała Stałego, Lekcja Strona 4

6 Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 7 Strona 5Efekt Halla Rozpatrzmy próbkę w kształcie pręta umieszczonego wydłuż linii pola elektrycznego Ex i prostopadle do linii pola magnetycznego H Hz Fizyka Ciała Stałego, Lekcja Strona 5

7 Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 7 Strona 6Ponieważ prąd nie może wypływać z próbki w kierunku y, to jy=0 Możliwo to jest wówczas kiedy powstanie poprzeczne pole elektryczne Ey o wartości Powstałe poprzeczne pole można zmierzyć. Jest ono znane pod nazwą pola Halla. Wielkość nazywana jest stałą Halla. Fizyka Ciała Stałego, Lekcja Strona 6

8 Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 7 Strona 7W słabym polu i ma wartość ujemną dla elektronów swobodnych. Im mniejsza jest koncentracja nośników prądu, tym większą wartość przyjmuje stała Halla. Pomiar RH jest metodą wyznaczania koncentracji nośników Fizyka Ciała Stałego, Lekcja Strona 7

9 Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 7 Strona 8Emisja termoelektryczna Elektrony, które opuszczają metal mają energie leżące w wysoko- energetycznej części rozkładu elektronów w stanie równowagi, czyli energię większą od potencjału chemicznego μ o wartość pracy wyjścia Φ Ponieważ to w tych warunkach dla wyparowanych elektronów W tym przedziale funkcja rozkładu Fermiego-Diraca przyjmie postać Jeżeli E1 jest energią elektronu odniesioną do poziomu energetycznego w próżni E0, wówczas E=E0+E1, E0–μ=Φ i Φ μ E0 gaz elektronowy w metalu próżnia x Fizyka Ciała Stałego, Lekcja Strona 8

10 Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 7 Strona 9Obliczymy gęstość nasyconego prądu elektronowego wyparowanego z metalu Szybkość, z którą elektrony w metalu w przedziale pędu między p a p+dp uderzają w jednostkę powierzchni metalu, wynosi gdzie n(p) jest liczbą elektronów w jednostce objętości w przestrzeni fazowej, którą wyrazić możemy jako Gęstość prądu emisji gdzie Fizyka Ciała Stałego, Lekcja Strona 9

11 Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 7 Strona 10Zazwyczaj θ>>1, wówczas logarytm możemy rozwinąć: Jest to równanie Richardsona-Duszmana. Możemy je napisać w postaci gdzie Fizyka Ciała Stałego, Lekcja Strona 10

12 Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 7 Strona 11PASMA ENERGETYCZNE Elektrony w kryształach rozmieszczone są w pasmach energetycznych, oddzielonych przedziałami energii, w których nie ma dozwolonych stanów elektronowych. Takie wzbronione przedziały nazywane zostały przerwami energetycznymi albo przerwami pasmowymi energia izolator metal półprzewodnik półprzewodnik Fizyka Ciała Stałego, Lekcja Strona 11

13 Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 7 Strona 12Model elektronów swobodnych gdzie dla periodycznych warunków brzegowych w ściance o boku L Funkcje falowe elektronu swobodnego przedstawiają fale bieżące niosące pęd Fizyka Ciała Stałego, Lekcja Strona 12

14 Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 7 Strona 13Model prawie swobodnych elektronów Rozważmy model liniowej sieci krystalicznej o stałej sieci a. Warunek Bragga (k+G)2=k2 dla dyfrakcji fali o wektorze falowym k w modelu jednowymiarowym przyjmuje postać gdzie G jest wektorem sieci odwrotnej Odbicie zachodzi dla k=±π/a, ponieważ fala odbita od jednego atomu sieci liniowej interferuje z fala odbitą od najbliższego atomu Obszar w przestrzeni zawarty między -π/a i π/a nazywa się pierwszą strefą Brillouina. W przypadku k=±π/a funkcje falowe nie są falami bieżącymi ponieważ każde odbicie Bragga zmienia kierunek rozchodzenia się fali na przeciwny drugie pasmo dozwolone Pierwsze pasmo wzbronione Fizyka Ciała Stałego, Lekcja Strona 13

15 Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 7 Strona 14Można utworzyć dwie fali stojące: Obu falom stojącym ψ(+) oraz ψ(-) odpowiada w sieci krystalicznej różne energii ponieważ gęstość prawdopodobieństwa tych fal odpowiada różnemu ułożeniu się elektronów (pomiędzy jonami dla ψ(-) i wokół rdzeni atomowych dla ψ(+). Dlatego energia potencjalna dla fali ψ(+) jest mniejsza niż dla fali ψ(-) i mamy przerwę energetyczną o szerokości Eg Energia potencjalna |ψ(-)|2 |ψ(+)|2 Fizyka Ciała Stałego, Lekcja Strona 14

16 Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 7 Strona 15Równanie falowe elektronu w potencjale periodycznym Niech U(x) oznacza energię potencjalną elektronu w sieci liniowej o stałej a, U(x)=U(x+a) Możemy U(x) rozwinąć w szereg Fouriera sumowany na wszystkie wektory sieci odwrotnej Równanie Schrödingera Funkcję falową szukamy w postaci szeregu Fouriera Fizyka Ciała Stałego, Lekcja Strona 15

17 Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 7 Strona 16Przyjmując Otrzymamy Ciągły rozkład współczynników szeregu Fouriera C(K) nie występuje w danym ψk, natomiast występują tylko formy C(k-G), gdzie G jest wektorem sieci odwrotnej: gdzie Ponieważ uk(x) jest szeregiem Fouriera rozciągniętym na wektory sieci odwrotnej, to jest niezmiennicza względem translacji sieci krystalicznej T Fizyka Ciała Stałego, Lekcja Strona 16

18 Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 7 Strona 17Twierdzenie Blocha: Funkcje własne równania falowego dla potencjału periodycznego przyjmują postać funkcja Blocha gdzie uk(r) jest funkcją periodyczną o okresie równym stałej sieci krystalicznej Wszystkie jednoelektronowe funkcje w idealnym krysztale przyjmują postać funkcji Blocha Fizyka Ciała Stałego, Lekcja Strona 17

19 Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 7 Strona 18Pseudopęd elektronu Wskutek translacji sieci krystalicznej na wektor T a zatem eik·T jest czynnikiem fazowym, przez który jest mnożona funkcja Blocha przy translacjach Wartość k występuje w prawach zachowania dla procesów zderzeń elektronów w kryształach. Dlatego k jest nazywane pseudopędem elektronu Gdy elektron o wektorze falowym k zderza się z fononem o wektorze falowym q, to zgodnie z zasadą zachowania (fonon został zaabsorbowany) gdzie G jest wektorem sieci odwrotnej Fizyka Ciała Stałego, Lekcja Strona 18

20 schemat strefy zredukowanejUkład strefy zredukowanej Jest możliwe dobranie wskaźnika przy wektorze falowym k w funkcji Blocha tak, aby leżał on zawsze wewnątrz pierwszej strefy Brillouina. Ujęcie takie nazywa się układem strefy zredukowanej Jeśli funkcja Blocha jest napisana w postaci ψk’(r) z k’ poza pierwszą strefą, to możemy zawsze znaleźć odpowiedni wektor G taki, że k=k’-G z k leżącym wewnątrz pierwszej strefy Brillouina schemat strefy rozwiniętej schemat strefy zredukowanej pierwsza strefa Brillouina Fizyka Ciała Stałego, Lekcja Strona 19

21 Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 7 Strona 20Przybliżone rozwiązanie w pobliżu granicy strefy Załóżmy, że w modelu jednowymiarowym wartości energii potencjalnej UG, będące składowymi szeregu Fouriera, są małe w porównaniu z energią kinetyczną elektronu swobodnego λk W tym przybliżeniu dla k, leżącego na granicy strefy w punkcie G1/2, pozostawimy tylko dwa równania Dla wygody przyjmujemy, że U(x) jest funkcją parzystą x, a więc UG=U–G=U1 Warunek rozwiązania Fizyka Ciała Stałego, Lekcja Strona 20

22 Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 7 Strona 21czyli Istnieją dwa pierwiastki Ek Na granicy strefy: Fizyka Ciała Stałego, Lekcja Strona 21

23 Fizyka Ciała Stałego, Lekcja 7 Strona 22W pobliżu granicy strefy Definicja: Fizyka Ciała Stałego, Lekcja Strona 22