1 Práctica 6 Integración Numérica

2 Integración Numérica Integral Definida: CálculoFórmula del Punto Medio Fórmula de los Trapecios Regla de Simpson Integración de Romberg Métodos Adaptativos Métodos de Newton-Cotes

3 Integral definida: CálculoRegla de Barrow Pero... Funciones sin primitiva sencilla Datos experimentales

4 Fórmula del Punto MedioSimple Compuesta a b  h 

5 Punto Medio con paso variableSubintervalos Pesos (¡pasos!) Nodos Integral

6 Fórmula de los TrapeciosSimple Error Exacta para polinomios de grado 1

7 Fórmula de los TrapeciosCompuesta Error

8 Algoritmo de los Trapeciosx x x xn  h  y0 y1 y2 yn

9 Algoritmo iterativo de trapeciosEstimación actual Nuevos nodos Refinamiento iterativo

10 Algoritmo TRAPITER Entrada: a, b, n, tol, maxiter.Salida: I, incr, iter Proceso:Calcular IT[h] por trapecios con paso h Inicializar incr y el contador de iteraciones, iter Mientras incr > tol y iter < maxiter Hallar los nodos nuevos, x=[x1/2, x3/2 ... xn-1/2] Calcular el vector de ordenadas y = f(x) Refinar IT[h/2] = IT[h] /2 + h/2*sum(y) Calcular incr, incrementar iter Dividir h por 2 Actualizar IT[h]

11 Regla de Simpson Simple Error Exacta para polinomios de 3er grado

12 Regla de Simpson Compuesta Error

13 Extrapolación de RichardsonSaber que el error de IT[h] es de orden 2, permite estimar la integral con error de menor orden, a partir de dos evaluaciones con distinto h.

14 Método de Romberg Estimaciones de Simpson Eliminación de la constanteFórmula de Romberg

15 Tabla de Romberg Expresión general Error de orden h2jExacta para polinomios de grado 2j–1

16 Algoritmo de ROMBERG Entrada: a, b, n, tol, maxiter Salida: I, incr, kProceso: Calcular I11 Inicializar incr, k Mientras incr > tol y k < maxiter Evaluar Ik1 refinando Ik-1, Inicializar j Mientras incr > tol y j < k Calcular Ikj Calcular incr Incrementar j Incrementar k

17 Métodos adaptativos Limitaciones del Método de RombergCondiciones de convergencia Métodos adaptativos de MATLAB quad: Simpson adaptativo quad8: Newton-Cotes adaptativo (orden 8)

18 Métodos de Newton-CotesDados los nodos x0, x1, x2, ..., xn en [a,b], determinar pesos p0, p1, p2, ...,pn tales que para todo polinomio f(x) de grado < n, Sustituyendo f(x) = 1, x, x2, ... , xn, se obtiene un sistema lineal del que se despejan los pesos p0, p1, p2, ..., pn.

19 F I N