1 PREZENTACJA MULTIMEDIALNA Z PRZEDMIOTU Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski PREZENTACJA MULTIMEDIALNA Z PRZEDMIOTU „WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW” SEM.III
2 PODSTAWY MECHANIKI CIAŁ SZTYWNYCHElementy: Przestrzeń Czas Ciało
3 Przestrzeń Zajmiemy się wyłącznie przestrzenią euklidesową, opisaną za pomocą współrzędnych kartezjańskich prostokątnych. Zwykle będzie to przestrzeń dwuwymiarowa, czasami trójwymiarowa.
4 PODSTAWY MECHANIKI CIAŁ SZTYWNYCHCzas W statyce uważamy, że procesy nie zależą od czasu, czyli są stacjonarne Ciało Ciało zajmuje część przestrzeni i jest obdarzone takimi cechami fizycznymi jak masa. Modelami ciał, stosowanymi w mechanice są: punkt materialny, tarcza i bryła
5 STOPNIE SWOBODY CIAŁA Stopniami swobody ciała nazywamy liczbę niezależnych od siebie ruchów, określających położenia ciała w przestrzeni Ważny jest tutaj przymiotnik „niezależny”, gdyż ruchów od siebie zależnych może być znacznie więcej
6 STOPNIE SWOBODY CIAŁA Punkt materialny Na płaszczyźnie W przestrzeni
7 Tarcza materialna na płaszczyźnieSTOPNIE SWOBODY CIAŁA Tarcza materialna na płaszczyźnie 3 stopnie swobody
8 STOPNIE SWOBODY CIAŁA 4 stopnie swobody
9 STOPNIE SWOBODY CIAŁA 5 stopni swobody
10 STOPNIE SWOBODY CIAŁA BRYŁA W PRZESTRZENI 3 translacje + 3 obroty6 stopni swobody
11 WIĘZY Więzami nazywamy ograniczenia ruchów, narzucone na ciało. Więzy zmniejszają liczbę stopni swobody ciała. Jeśli liczba więzów od siebie niezależnych jest równa liczbie stopni swobody, ciało pozostaje nieruchome. Więzy nie mogą być zakładane dowolnie i muszą spełniać warunki, które rzeczywiście odbierają stopnie swobody.
12 WIĘZY Więzy narzucone na punkt materialny Na płaszczyźnieW przestrzeni
13 WIĘZY Więzy narzucone na tarczę: prawidłowo nieprawidłowo
14 Podpory Podpora przegubowo-przesuwna Podpora przegubowo-nieprzesuwnaOdebrany jeden stopień swobody – ruch prostopadły do linii przesuwu Podpora przegubowo-nieprzesuwna Odebrane dwa stopnie swobody – ruchy translacyjne Podpora utwierdzona Odebrane trzy stopnie swobody – ruchy translacyjne i obrót
15 Belka swobodnie podparta
16
17
18
19 WSPORNIK
20 WSPORNIKI
21 WSPORNIKI
22 WSPORNIKI
23 Rama
24
25
26 Kratownica
27
28
29
30
31
32 PODSTAWY RACHUNKU WEKTOROWEGOSkalary a wektory Skalarami nazywamy takie wielkości statyczne, które charakteryzuje tylko jedna liczba. Przykładami skalarów są na przykład: Temperatura [K] Masa [kg] Praca [J] Moc [W] Objętość [m3].
33 PODSTAWY RACHUNKU WEKTOROWEGOWektory Są to wielkości, do których opisu potrzebnych jest kilka liczb. Często jest wykorzystywana interpretacja geometryczna wektora. W tej interpretacji wektor jest symbolizowany przez odcinek opatrzony strzałką Zatem do opisu takiej wielkości potrzeba 3 liczb: Moduł (długość ) wektora Kierunek wektora Zwrot wektora
34 PODSTAWY RACHUNKU WEKTOROWEGOSuma wektorów
35 PODSTAWY RACHUNKU WEKTOROWEGORóżnica wektorów
36 PODSTAWY RACHUNKU WEKTOROWEGOIloczyn skalarny wektorów
37 PODSTAWY RACHUNKU WEKTOROWEGOIloczyn wektorowy wektorów
38 Rzut wektora na oś Na płaszczyźnie
39 Rzut wektora na oś W przestrzeni
40 Zbieżny układ sił Układ sił nazywa się zbieżnym, jeśli kierunki działania wszystkich sił przecinają się w jednym punkcie. P – wypadkowa układu sił zbieżnych
41 Równowaga układu sil zbieżnychNa płaszczyźnie W przestrzeni
42 Moment siły względem punktuW przestrzeni
43 Moment siły względem osi0 – dowolny punkt prostej P’ – rzut siły P na płaszczyznę prostopadłą do l Moment siły względem l jest równy zeru gdy: Wartość siły P równa jest zeru, Linia działania siły P przecina się z osią l Siła P jest równoległa do osi l
44 Siły równoległe Zgodnie skierowane czyli
45 Siły równoległe Przeciwnie skierowane czyli
46 Para sił Dwie siły równe i przeciwnie skierowaneMoment pary sił względem dowolnego punktu jest stały
47 Równoległe przesunięcie siły
48 Redukcja płaskiego układu sił
49 Równowaga płaskiego układu sił
50 Redukcja przestrzennego układu sił
51 Równowaga przestrzennego układu sił
52 Próba rozciągania pręta stalowegoNaprężenie: Prawo Hooke’a Moduł Younga [niemianowane] Odkształcenie: Stal:
53 Próbka betonowa Beton
54 Siły w prętach kratownicStatyczna wyznaczalność gdzie r – liczba reakcji podpór p – liczba prętów w – liczba węzłów Metoda równoważenia węzłów
55 Siły w prętach kratownicMetoda równoważenia węzłów Przypadki szczególne Jeśli w nieobciążonym węźle kratownicy schodzą się dwa pręty siły w nich są zerowe Jeśli w nieobciążonym węźle kratownicy schodzą się trzy pręty, przy czym dwa pręty leżą na jednej prostej, to siła w trzecim pręcie jest zerowa
56 Siły w prętach kratownicMetoda Rittera Punkty Rittera
57 Siły w prętach kratownicPrzykład – kratownica o pasach równoległych
58 Siły w prętach kratownicPrzykład -Kratownica wspornikowa z drugorzędnym podwieszeniem
59 Siły w prętach kratownicPrzykład- kratownica o pasach nierównoległych
60 Naprężenia normalne i styczne
61 Naprężenia normalne i styczneczyli zatem przy przy
62 Dwuwymiarowy stan naprężeniazatem Ale jest zatem
63 Dwuwymiarowy stan naprężeniaPodnieśmy obustronnie do kwadratu, potem dodajmy stronami gdyż Koło Mohra W naszym przypadku
64 Dwuwymiarowy stan naprężenia
65 Przestrzenny stan naprężenia
66 Stan odkształcenia Współczynnik Poissona Współczynniki Poissona:Objętość Względna zmiana objętości gdyż Współczynniki Poissona: Stal - Beton - Guma -
67 Uogólnione prawo Hooke’aPrócz tego: (jeśli izotropia) - Moduł Kirchhoffa Po odwróceniu:
68 Związki fizyczne przy odkształceniach postaciowychKoło Mohra Czyste ścinanie: - Moduł Kirchhoffa
69 Płaski stan naprężenia
70 Płaski stan odkształceniaBardzo długi kształt pryzmatyczny
71 Momenty zginające i siły poprzeczne w belkachJeżeli w przedziale nie działa żadne obciążenie, wykres momentów w tym przedziale jest linią prostą
72 Momenty zginające i siły poprzeczne w belkach
73 Momenty statyczne figur płaskichMoment statyczny figury względem osi x Tu jest ale Istnieje taka oś Punkt przecięcia się tych osi nazywa się środkiem ciężkości figury Podobnie ale Podobnie
74 Środki ciężkości figur płaskichFigury symetryczne (prostokąt, koło)
75 Środki ciężkości figur płaskichRównanie brzegu
76 Momenty bezwładności figur płaskichSzczególnie ważne są momenty bezwładności względem osi przechodzących przez środek ciężkości Ponieważ xs przechodzi przez środek ciężkości, zatem czyli Wzór Steinera
77 Momenty bezwładności figur płaskichProstokąt Trójkąt Równanie brzegu
78 Momenty bezwładności figur płaskichKoło Rura
79 Naprężenia normalne przy zginaniu
80 Naprężenia normalne przy zginaniu
81 Naprężenia normalne przy zginaniuRównania równowagi Oś obojętna przechodzi przez środek ciężkości przekroju Wskaźnik wytrzymałości
82 Naprężenia styczne przy zginaniu
83 Naprężenia styczne przy zginaniu
84 Prostokąt
85 Skręcanie prętów o przekroju kołowym
86 Skręcanie prętów o przekroju kołowymBiegunowy moment bezwładności gdzie Rozkład liniowy Wskaźnik wytrzymałości przy skręcaniu gdzie
87 Skręcanie prętów o przekroju niekołowymNie obowiązuje założenie płaskich przekrojów. Rozwiązania są przybliżone W połowie dłuższego boku W przybliżeniu
88 Hipotezy wytrzymałościoweZałożenia: - Naprężenie niszczące Jeśli pręt ściskany lub rozciągany to: W złożonym stanie naprężenia nie sposób ustalić naprężenia niszczącego Skoncentrujmy się na stanie płaskim Ustalenie , jaki jest wpływ składowych stanu naprężenia na bezpieczeństwo konstrukcji to przedmiot hipotez wytrzymałościowych
89 Hipotezy wytrzymałościoweStan naprężenia w punkcie można opisać albo za pomocą albo też naprężeń głównych Wytężenie materiału to funkcja Porównajmy to z wytężeniem pręta rozciąganego osiowo Zatem:
90 Hipotezy wytrzymałościowePostać funkcji W zależy od przyjętej hipotezy wytrzymałościowej Wprowadźmy pewne zastępcze naprężenie ( naprężenie zredukowane) zależne od lub Dla tego naprężenia ocenimy bezpieczeństwo tak jak przy rozciąganiu osiowym Zatem musi być
91 Hipotezy wytrzymałościoweHipoteza największego naprężenia normalnego lub Gdyż naprężenia główne nie muszą być uporządkowane To oznacza, że jeśli któreś z naprężeń głównych osiągnie wartość to jest to naprężenie niszczące
92 Hipotezy wytrzymałościoweZgodność hipotezy z doświadczeniem Czyste ścinanie Z doświadczenia wynika, że dla metali jest Czyli zniszczenie materiału nastąpi nie w punktach K, ale wcześniej Hipoteza największego naprężenia stycznego ma obecnie tylko znaczenie historyczne
93 Hipotezy wytrzymałościoweHipoteza największego naprężenia stycznego (Coulomba-Tresci) Zakłada się, że o zniszczeniu materiału decydują największe naprężenia styczne Przy rozciąganiu osiowym jest Przy zniszczeniu więc Warunek maksymalnego naprężenia stycznego W stanie dwuwymiarowym czyli czyli lub lub
94 Hipotezy wytrzymałościoweW belce zginanej Czyste ścinanie
95 Hipotezy wytrzymałościoweHipoteza energii odkształcenia postaciowego (Hubera-Misesa) Zakłada się, że miarą wytężenia materiału jest energia odkształcenia postaciowego. Energia właściwa odkształcenia sprężystego w stanie płaskim wynosi: W stanie jednoosiowym jest
96 Hipotezy wytrzymałościowePorównując wyrażenia na energię odkształcenia postaciowego Czyste ścinanie Równanie konturu na płaszczyźnie naprężeń głównych Elipsa
97 Stateczność konstrukcjiPręt rozciągany Pręt ściskany Nie ma takich prętów Oś pręta Oś pręta Model Rzeczywistość Pręt osiowo ściskany Pręt mimośrodowo ściskany
98 Stateczność konstrukcjiUtrata stateczności w sensie matematycznym. Jest to wrażliwość obiektu na małe zakłócenia stanu. Równowaga kulki w polu grawitacyjnym. Równowaga niestateczna Równowaga stateczna Równowaga obojętna Warunkiem koniecznym równowagi statecznej jest warunek kinematycznej niezmienności Równowaga obojętna Równowaga niestateczna Równowaga obojętna
99 Stateczność konstrukcjiWarunek kinematycznej niezmienności nie jest warunkiem dostatecznym Warunek ten jest narzucony na wartość obciążenia Punkt bifurkacji Wyboczenie
100 Stateczność konstrukcjiZadanie wyznaczenia siły krytycznej dokonane zostało przez Eulera w 1744 r. - Moduł Younga - długość pręta - najmniejszy moment bezwładności
101 Stateczność konstrukcjiRóżne rodzaje podparcia Ogólnie - długość wyboczeniowa
102 Stateczność konstrukcjiSmukłość pręta i – promień bezwładności pręta Równanie hiperboli Wyboczenie sprężyste
103 Stateczność konstrukcjiParabola Johnsona-Ostenfelda Prosta Tetmajera-Jasińskiego Hiperbola Eulera Wyboczenie niesprężyste Wzrost ściskania Zmniejszenie ściskania Wzór Johnsona-Ostenfelda Wzór Tetmajera-Jasińskiego
104 Stateczność konstrukcjiPrzeskok węzła kratownicy
105 PREZENTACJI MULTIMEDIALNEJ Z PRZEDMIOTU Prof. dr hab. inż. Marek Witkowski KONIEC PREZENTACJI MULTIMEDIALNEJ Z PRZEDMIOTU „WYTRZYMAŁOŚĆ MATERIAŁÓW” SEM.III