1 PREZENTACJA MULTIMEDIALNAZ MATEMATYKI POJĘCIE FUNKCJI Wykonała: mgr Małgorzata Krowicka Politechnika Częstochowska

2 Pojęcie funkcji

3 N O T A B E N E Zatem miłej zabawy!Słowo FUNKCJA pochodzi od łac. wyrazu FUNGI –odgrywać, przedstawiać, a ten z kolei od rdzenia FUNG – oznaczającego zabawę Zatem miłej zabawy!

4 1. Teoria 2. Ćwiczenia

5 Skąd się wzięło pojęcie - FUNKCJA?Funkcja to najważniejsze pojęcie współczesnej matematyki. W języku funkcji formułuje się prawa przyrody, a także wiele praw ekonomii. Pojęcie FUNKCJI narodziło się w średniowieczu w XIII – XIV w. Jego autorami są filozofowie przyrody z Paryża i Oksfordu, próbujący zrozumieć zagadkę ruchu: ”jak to się dzieje, że wystrzelona strzała porusza się, choć jej nikt nie pcha?” Wprowadzenie pojęcia funkcji to najważniejsze dokonanie w dziejach średniowiecznej matematyki.

6 PRZEDSTAWIANIE FUNCJIPOJĘCIE FUNKCJI PRZEDSTAWIANIE FUNCJI WŁASNOŚCI FUNKCJI ĆWICZENIA

7 jednego elementu zbioru YPOJĘCIE FUNKCJI Zbiór X Zbiór Y f Funkcja f jest to przyporządkowanie każdemu elementowi zbioru X dokładnie jednego elementu zbioru Y

8 Zbiór X nazywamy dziedziną funkcjiJego elementy- argumentami funkcji

9 Zbiór Y nazywamy przeciwdziedziną funkcjiJego elementy- wartościami funkcji Funkcję oznaczamy ; f: X Y lub y=f(x)

10 PRZEDSTAWIANIE FUNCJIgrafy tabela wykres wzór opis słowny

11 4,5,6- wartości funkcji = zbiór wartości funkcjiGrafy Zbiór X Zbiór Y f: X Y 4 5 6 7 1 2 3 4 przeciwdziedzina dziedzina 1,2,3,4- argumenty funkcji 4,5,6- wartości funkcji = zbiór wartości funkcji

12 Tabela dziedzina X 1 2 3 4 Y 6 8 przeciwdziedzina1,2,3,4- argumenty funkcji 2,4,6,8- wartości funkcji

13 Wykres 1 2 3 -1 -2 -3 X Y Argumenty-(x) Wartości- y Wykres funkcji to zbiór punktów płaszczyzny postaci (x,f(x)), gdzie x-jest argumentem, a f(x)- odpowiednią wartością , zatem y=f(x)

14 Wzory f(x)=2x f(x)= x+3 D:R f(x) = D: R\{0}Dla funkcji określonej wzorem przyjmujemy, że jeśli dziedzina nie jest podana, to dziedzinę tej funkcji tworzą wszystkie liczby, dla których wzór ma sens. f(x)=2x f(x)= x+3 D:R f(x) = D: R\{0}

15 Opis słowny przyporządkowujemy jej liczbę przeciwną.”„Każdej liczbie ze zbioru X={1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}, przyporządkowujemy jej liczbę przeciwną.” Zatem przeciedziedziną jest: Y={-1,-2,-3,-4,-5,-6,-7,-8,-9,-10}

16 a teraz... Krótkie utrwalenie !

17 Najważniejsze pojęciafunkcja przyporządkowanie zbiór X dziedzina zbiór Y przeciwdziedzina dziedzina zawiera argumenty przeciwdziedzina zawiera wartości

18 Każdy argument musi mieć swoją wartość!I co jeszcze? Każdy argument musi mieć swoją wartość! Ha, ha ... To nie jest takie trudne!!!

19 PRZYPORZĄDKOWANIE - PRZYKŁADY Nie jest funkcją, bo 1 ma dwie wartości2 3 4 5 6 7 3 4 5 2 6 10 Jest funkcją Nie jest funkcją, bo 2 nie ma wartości 1 2 3 4 5 Nie jest funkcją, bo 1 ma dwie wartości

20 PRZYPORZĄDKOWANIE- PRZYKŁADYx -3 3 -8 10 y -1 5 -6 2 12 Jest funkcją x 7 8 12 23 y 3 5 9 10 Nie jest funkcją, bo 7 ma dwie wartości

21 PRZYPORZĄDKOWANIE- PRZYKŁADY3 Wartości y 2 1 X -2 -1 1 2 3 Y Argumenty-(x) 3 Nie jest funkcją, bo x=1 ma dwie wartości. 2 Wartości y 1 -2 -1 1 2 X Argumenty-(x) Jest funkcją

22 Własności funkcji MONOTONICZNOŚĆ FUNKCJI MIEJSCE ZEROWE FUNKCJI

23 MONOTONICZNOŚĆ FUNKCJIFunkcje rosnące, malejące, nierosnące i niemalejące nazywamy funkcjami monotonicznymi Funkcja rosnąca Funkcja malejąca Funkcja stała

24 FUNKCJA ROSNĄCA Funkcja, która rośnie w całej dziedzinie to funkcja

25 Jest to funkcja rosnącaX Y f 1 2 3 4 4 5 6 7 f(1) =4 f(2) =5 f(3) =6 f(4) =7 dziedzina przeciwdziedzina Argumenty-1,2,3,4- rosną Wartości- 4,5,6,7-rosną Jest to funkcja rosnąca

26 Jest to funkcja rosnącaArgumenty - rosną f(10) =15 X 10 20 30 40 Y 15 25 35 45 f(20) = 25 f(30) = 35 f(40) = 45 Wartości - rosną Jest to funkcja rosnąca

27 Jest to funkcja rosnącaY X 1 2 3 4 5 -1 -2 f(-1) = -1 Wartości - rosną Wartości-oś Y f(1) = 1 f(2) = 2 f(3) = 3 dziedzina-oś X argumenty -rosną Jest to funkcja rosnąca

28 FUNKCJA MALEJĄCA Funkcja, która maleje w całej dziedzinie nazywamyfunkcją malejącą

29 Argumenty-1,2,3,4- rosną Funkcja malejąca Wartości-10,9,8,7-malejąX 10 9 8 7 Y f(1)=10 f(2)=9 f(3)=8 f(4)=7 dziedzina przeciwdziedzina Argumenty-1,2,3,4- rosną Funkcja malejąca Wartości-10,9,8,7-maleją

30 f(1)=15 Argumenty- rosną f(2)=10 X 1 2 3 4 Y 15 10 5 f(3)=5 f(4)=1 Wartości- maleją Funkcja malejąca

31 Jest to funkcja malejącaY Wartości- maleją 2 1 1 2 3 4 -3 -2 -1 X -1 f(-2)= 2 Argumenty-rosną f(-1)= 1 f(0)= 0 Jest to funkcja malejąca f(1)= -1

32 Funkcja stała Funkcja, która w całej dziedzinie przyjmuje tylko jednąwartość to funkcja stała

33 X Y f(1)=2 f(2)=2 f(3)=2 f(4)=2 Funkcja staładziedzina przeciwdziedzina Argumenty- 1,2,3,4- rosną Wartości- 2-stała Funkcja stała

34 f(4)=1 f(3)=1 f(2)=1 f(1)=1 Funkcja stałaArgumenty -maleją f(4)=1 X 4 3 2 1 Y f(3)=1 f(2)=1 f(1)=1 Wartość - stała Funkcja stała

35 f(-2)=1 f(-1)=1 f(0)=1 f(1)=1 f(2)=1 f(3)=1 FUNKCJA STAŁAX Y f(-1)=1 Wartość-stała f(0)=1 f(1)=1 f(2)=1 f(3)=1 Argumenty-(x) FUNKCJA STAŁA

36 Funkcja STAŁA nie jest monotoniczna.UWAGA !!! Funkcja STAŁA nie jest monotoniczna.

37 MIEJSCE ZEROWE FUNKCJIKażdy argument, dla którego funkcja przyjmuje wartość 0, nazywamy: miejscem zerowym funkcji.

38 2 X Y 2 X Y 1 4 5 6 10 1 Funkcja posiada 4 dwa miejsca zerowe 5 dla10 2 X Y 1 4 5 6 2 X Y Funkcja posiada dwa miejsca zerowe dla x=4 i x=5 Funkcja nie posiada miejsc zerowych

39 X 2 4 6 Y 1 5 Funkcja ma dwa miejsca zerowe dla x=2 i x=6 X 2 4 6 Y 1 3 5 7 Funkcja nie posiada miejsc zerowych

40 X Y Funkcja ma dwa miejsca zerowe dla x=-3 i x=21 2 3 -1 -2 -3 X Y Argumenty-(x) Wartości y Funkcja ma dwa miejsca zerowe dla x=-3 i x=2

41 Ćwiczenia Czy dane przyporządkowanie jest funkcją?Czy funkcja jest monotoniczna? Czy funkcja ma miejsca zerowe?

42 Czy dane przyporządkowanie jest funkcją?1 2 3 -1 -2 -3 X Y 2 4 6 8 -5 -2 7 tak tak nie nie X 2 4 6 Y 1 5 7 tak nie

43 1 2 3 -1 -2 -3 X Y tak nie x -2 -3 -4 -5 y 1 2 - 3 tak nie

44 Czy funkcja jest monotoniczna?1 2 3 4 X 10 9 8 7 Y tak-rosnąca X 2 4 6 Y 1 5 tak-malejąca nie tak-rosnąca nie tak-malejąca

45 Y X tak-rosnąca tak-malejąca nie tak-rosnąca tak-malejąca nie3 2 1 X 1 2 3 -3 -2 -1 tak-rosnąca tak-malejąca 1 2 3 4 4 5 6 7 nie tak-rosnąca tak-malejąca nie

46 Wskaż miejsce zerowe funkcji-3 -2 -1 2 1 2 -1 x=0,2 x=-3,-2 Nie ma x -2 -1 1 2 y 9 -6 3 -3 x=0 Nie ma x=1

47 Nie ma x -7 6 -5 y 7 -6 5 -4 Nie ma Y X x=0,3 x=1 x=-7,-5 x=0 3 2 1 -3-2 -1 1 2 3 X x=0,3 x=1 Nie ma x -7 6 -5 y 7 -6 5 -4 x=-7,-5 x=0 Nie ma

48 zostawia w twym umyśle ścieżkę, którą w razie potrzeby „ To co musiałeś odkryć samodzielnie, zostawia w twym umyśle ścieżkę, którą w razie potrzeby możesz pójść jeszcze raz” Georg Christoph Lichtenberg

49 Dziękuję za uwagę 