1 Probabilidade e Estatística Aplicadas à Contabilidade IProf. Dr. Marcelo Botelho da Costa Moraes

2 Introdução à ProbabilidadeCapítulo 4 Parte B

3 Introdução à ProbabilidadeExperimentos, Regras de Contagem e Atribuindo Probabilidades Eventos e suas Probabilidades Algumas Relações Básicas de Probabilidade Probabilidade Condicional Teorema de Bayes

4 Teorema de Bayes Muitas vezes começamos análise de probabilidade com probabilidades a priori Então, a partir de um exemplo de relatório, ou um teste do produto obtemos algumas informações adicionais Dada esta informação, podemos calcular probabilidades revistas ou probabilidades a posteriori Teorema de Bayes fornece os meios para a revisão das probabilidades a priori Nova Informação Aplicação do Teorema de Bayes Probabilidades a Posteriori a Priori

5 Teorema de Bayes Exemplo: L. S. ClothiersA proposta de um shopping center dará uma forte concorrência para as empresas do centro da cidade, como é o caso da L. S. Clothiers. Se o shopping for construído o proprietário da L. S. Clothiers sente que seria melhor se mudar para ele O shopping não pode ser construído a menos que uma mudança de zoneamento seja aprovada pela prefeitura da cidade. O conselho de planejamento deve primeiro fazer uma recomendação, a favor ou contra a mudança de zoneamento, para o município

6 Teorema de Bayes Probabilidades a Priori SejaUsando julgamento subjetivo: A1 = a prefeitura aprova a mudança de zoneamento A2 = a prefeitura recusa a mudança de zoneamento P(A1) = 0,7; P(A2) = 0,3

7 Teorema de Bayes Nova informaçãoO conselho de planejamento tem recomendado contra a mudança de zoneamento. Assim, se B indica o evento de uma recomendação negativa por parte do conselho de planejamento. Dado que B ocorreu, a L.S. Clothiers revisa as probabilidades de que a Prefeitura Municipal irá aprovar ou desaprovar a mudança de zoneamento?

8 Teorema de Bayes Probabilidade CondicionalHistórico com o conselho de planejamento e a Prefeitura Municipal tem indicado: Então: P(B|A1) = 0,2 P(B|A2) = 0,9 P(BC|A1) = 0,8 P(BC|A2) = 0,1

9 Teorema de Bayes Diagrama de Árvore P(B|A1) = 0,2 P(A1 ∩ B) = 0,14P(Bc|A1) = 0,8 P(A1) = 0,7 P(A2) = 0,3 P(B|A2) = 0,9 P(Bc|A2) = 0,1 P(B|A1) = 0,2 P(A1 ∩ B) = 0,14 P(A2 ∩ B) = 0,27 P(A2 ∩ Bc) = 0,03 P(A1 ∩ Bc) = 0,56 Prefeitura Conselho de Planejamento Resultados Experimentais

10 Teorema de Bayes Para encontrar a probabilidade a posteriori de que o evento Ai irá ocorrer uma vez que o evento B ocorreu, nós aplicamos o Teorema de Bayes O Teorema de Bayes é aplicável quando os eventos para os quais queremos calcular probabilidades a posteriori são mutuamente exclusivos e sua união é o espaço amostral inteiro. 𝑷 𝑨 𝒊 𝑩 = 𝑷 𝑨 𝒊 𝑷(𝑩| 𝑨 𝒊 ) 𝑷 𝑨 𝟏 𝑷 𝑩 𝑨 𝟏 +𝑷 𝑨 𝟐 𝑷 𝑩 𝑨 𝟐 +…+𝑷 𝑨 𝒏 𝑷(𝑩| 𝑨 𝒏 )

11 Teorema de Bayes Probabilidades a PosterioriDada a recomendação do conselho de planejamento de não aprovar a alteração de zoneamento, revisamos as probabilidades anteriores, como segue: = (𝟎,𝟕)(𝟎,𝟐) 𝟎,𝟕 𝟎,𝟐 +(𝟎,𝟑)(𝟎,𝟗) = ,34 𝑷 𝑨 𝟏 𝑩 = 𝑷 𝑨 𝟏 𝑷(𝑩| 𝑨 𝟏 ) 𝑷 𝑨 𝟏 𝑷 𝑩 𝑨 𝟏 +𝑷 𝑨 𝟐 𝑷 𝑩 𝑨 𝟐

12 Teorema de Bayes ConclusãoA recomendação do conselho de planejamento é uma boa notícia para L.S. Clothiers. A probabilidade a posteriori da prefeitura da cidade aprovar a mudança de zoneamento é 0,34 em comparação com uma probabilidade anterior de 0,70

13 Abordagem Tabular Passo 1 Prepare três colunas:Coluna 1: Os eventos mutuamente exclusivos para os quais as probabilidades a posteriori são desejadas Coluna 2: As probabilidades a priori para os eventos Coluna 3: As probabilidades condicionais da nova informação dado cada evento

14 Abordagem Tabular (1) (2) (3) (4) (5) Ai P(Ai) P(B|Ai) A1 A2 0,7 0,3Eventos Ai Probabilidades a Priori P(Ai) Condicionais P(B|Ai) A1 A2 0,7 0,3 1,0 0,2 0,9

15 Abordagem Tabular Passo 2Coluna 4: Calcule as probabilidades conjuntas para cada evento e da nova informação B usando a lei da multiplicação Multiplique as probabilidades a priori na coluna 2 pelas respectivas probabilidades condicionais na coluna 3 Isto é, 𝑃 𝐴 𝑖 ∩𝐵 =𝑃 𝐴 𝑖 𝑃(𝐵| 𝐴 𝑖 )

16 Abordagem Tabular (1) (2) (3) (4) (5) Ai P(Ai) P(B|Ai) A1 A2 0,7 0,3Eventos Ai Probabilidades a Priori P(Ai) Condicionais P(B|Ai) A1 A2 0,7 0,3 1,0 0,2 0,9 0,14 0,27 Conjuntas P(Ai ∩ B) 0,7 x 0,2

17 Abordagem Tabular Passo 2 (continuação)Vemos que há uma probabilidade de 0,14 da prefeitura aprovar a mudança de zoneamento e de uma recomendação negativa por parte do conselho de planejamento Há uma probabilidade de 0,27 da prefeitura recusar a mudança de zoneamento e de uma recomendação negativa por parte do conselho de planejamento

18 Abordagem Tabular Passo 3 Coluna 4Soma das probabilidades conjuntas. A soma é a probabilidade da informação nova, P(B). A soma 0,14 + 0,27 mostra uma probabilidade global de 0,41 de uma recomendação negativa por parte do conselho de planejamento

19 Abordagem Tabular (1) (2) (3) (4) (5) Ai P(Ai) P(B|Ai) A1 A2 0,7 0,3Eventos Ai Probabilidades a Priori P(Ai) Condicionais P(B|Ai) A1 A2 0,7 0,3 1,0 0,2 0,9 0,14 0,27 Conjuntas P(Ai ∩ B) P(B) = 0,41

20 Abordagem Tabular Passo 4Coluna 5: Calcule as probabilidades a posterior, utilizando a relação básica da probabilidade condicional 𝑃 𝐴 𝑖 |𝐵 = 𝑃( 𝐴 𝑖 ∩𝐵) 𝑃(𝐵) As probabilidades conjuntas P(Ai ∩ B) estão na coluna 4 e a probabilidade P(B) é a soma da coluna 4

21 Abordagem Tabular (1) (2) (3) (4) (5) Ai P(Ai) P(B|Ai) A1 A2 0,7 0,3Eventos Ai Probabilidades a Priori P(Ai) Condicionais P(B|Ai) A1 A2 0,7 0,3 1,0 0,2 0,9 0,14 0,27 Conjuntas P(Ai ∩ B) P(B) = 0,41 0,14/0,41 a Posteriori P(Ai |B) 0,3415 0,6585 1,0000

22 Exercícios Capítulo 4 – Parte B

23 Obrigado pela Atenção!!! Lista de Exercícios do Capítulo 4Prof. Dr. Marcelo Botelho da Costa Moraes