1 Problemas Resueltos sobre Límites y Continuidad

2 Repaso de Problemas típicos1 2 4 3 5 6 7 8 9 10

3 Repaso de Problemas 11 12 13 14 15

4 Métodos para el cálculo de Límites1 Casos de indenterminación: 2 Aritmética del : Si la función, de la que se está calculando el límite, está definida por una expresión algebraica que toma un valor finito en el punto límite, ese valor es el límite buscado. 3 Si la función, de la que se está calculando el límite, no se puede evaluar en el punto límite (p.e. porque aparece una indeterminación (1)), entonces re-escribir la función en forma que se pueda calcular el límite. 4

5 Simplificaciones y MétodosFactorizar ó simplificar: 1 Eliminar factores comunes en functiones racionales: 2 Si aparece una raíz cuadrada, multiplicar y dividir por la expresión conjugada: 3 Usar el hecho: 4

6 Continuidad de FuncionesSi las funciones son contínuas (p.e. definidas por expresiones elementales de polinomios, funciones racionales, trigonométricas, exponenciales o sus inversas) el límite se calcula sustituyendo el punto al que tiende la variable independiente. 1 Si la función f es continua en el punto x = a entonces: 2 Se utiliza para demostrar que una ecuación tiene solución. Ejemplos de funciones no continuas en x = 0: 3 4 Teorema del Valor Medio para Functiones Continuas Si f es continua, f(a) < 0 y f(b) > 0, entonces hay un punto c entre a y b tal que f(c) = 0.

7 Límites: factorizar y simplificar:Problema 1 Solución

8 Límites elementales Problema 2 SoluciónLo haremos más directo: sin más que considerar los términos de mayor grado, o más aún, igualando al cociente de los coeficientes principales. Problema 2

9 Límites: expresión conjugadaProblema 3 Solución Re-escribimos

10 Límites Problema 4 Solución Re-escribimosAhora nos quedamos con los términos de mayor grado en x.

11 Límites Problema 5 Solución Re-escribimos Menor grado en x.

12 Límites Problema 6 Solución

13 Límites Problema 7 Solución Re-escribimos:

14 Límites Problema 8 Solución Re-escribimos:

15 Límites Problema 9 Solución Re-escribimos

16 Límites Problema 9 Solución (cont.) Re-escribimos Dividimos por x.Se ha usado que sen(x)/x se acerca a 1 cuando x  0.

17 Límites Laterales Problema 10 Solución

18 Continuidad Problema 11 Solución

19 Continuidad Problema 12 Solución

20 Continuidad Problema 13 Solución

21 Continuidad Problema 14 solución Evitable No evitable

22 Continuidad Problema 15 SoluciónPor el Teorema de valor medio, una función continua toma cualquier valor entre dos de sus valores. Basta demostrar que la función f cambia de signo infinitas veces.