1 Próbna matura z matematyki listopad 2009
2 STRUKTURA I FORMA EGZAMINUEgzamin maturalny z matematyki jako przedmiot obowiązkowy jest zdawany na poziomie podstawowym. Egzamin trwa 170 minut.
3 STRUKTURA I FORMA EGZAMINUZa rozwiązanie wszystkich zadań z arkusza poziomu podstawowego można otrzymać maksymalnie 50 punktów.
4 Standardy wymagań egzaminacyjnych1. Wykorzystanie i tworzenie informacji. 2. Wykorzystanie i interpretowanie reprezentacji. 3. Modelowanie matematyczne. 4. Użycie i tworzenie strategii. 5. Rozumowanie i argumentacja.
5 Opis arkusza – listopad 2009Arkusz egzaminacyjny składał się z trzech grup zadań: grupa 1. – 25 zadań zamkniętych; - do każdego z zadań były podane cztery odpowiedzi, z których tylko jedna była poprawna, - każde zadanie z tej grupy punktowane w skali 0 – 1, - zdający udzielał odpowiedzi, zaznaczając ją na karcie odpowiedzi; grupa 2. – 6 zadań otwartych krótkiej odpowiedzi; - zadania punktowane w skali 0-2; grupa 3. – 3 zadania otwarte rozszerzonej odpowiedzi; - skala punktowa: zad.32: 0-5 pkt, zad.33 i 34: 0-4 pkt.
6 Opis arkusza poziomu podstawowegoArkusz egzaminacyjny składa się z trzech grup zadań: grupa 1. – od 20 do 30 zadań zamkniętych; - do każdego z zadań są podane cztery odpowiedzi, z których tylko jedna jest poprawna, - każde zadanie z tej grupy jest punktowane w skali 0 – 1, - zdający udziela odpowiedzi, zaznaczając ją na karcie odpowiedzi; grupa 2. – od 5 do 10 zadań otwartych krótkiej odpowiedzi (punktowanych w skali 0-2); grupa 3. – od 3 do 5 zadań otwartych rozszerzonej odpowiedzi (punktacja w skali 0-4 lub 0-5, lub 0-6).
7 Zadania zamknięte (punktowane w skali 0 – 1)Opis arkusza Zadania zamknięte (punktowane w skali 0 – 1)
8 Zadania zamknięte
9 Zad.1 (1 pkt) 0,50 Wskaż nierówność, która opisuje sumę przedziałów zaznaczonych na osi liczbowej. A. C. D. B.
10 Zad.4 (1pkt) 0,55 Iloraz jest równy A. B. C. D.
11 Wierzchołek paraboli o równaniu ma współrzędneZad.8 (1 pkt) 0,55 Wierzchołek paraboli o równaniu ma współrzędne A. B. C. D.
12 Zbiór rozwiązań nierówności przedstawiony jest na rysunkuZad. 11 (1 pkt) 0,44 Zbiór rozwiązań nierówności przedstawiony jest na rysunku A. B. C. D. A. B. C. D.
13 Strategia rozwiązywania zadań zamkniętych
14 Zadania zamknięte Zadanie 5. (1 pkt) O liczbie x wiadomo, że Zatem .
15 Dane są wielomiany oraz . Wielomian jest równyZadania zamknięte Zadanie 7. (1 pkt) Dane są wielomiany oraz . Wielomian jest równy
16 Zadania zamknięte Zadanie 17. (1 pkt) W trójkącie równoramiennym ABC dane są oraz Wysokość opuszczona z wierzchołka C jest równa
17 Promień okręgu o równaniu jest równyZadania zamknięte Zadanie 20. (1 pkt) Promień okręgu o równaniu jest równy
18 Zadania zamknięte Zadanie 25. (1 pkt) Wybieramy liczbę a ze zbioru oraz liczbę b ze zbioru Ile jest takich par , że iloczyn jest liczbą nieparzystą ?
19 Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi (punktowane w skali 0-2)Opis arkusza Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi (punktowane w skali 0-2)
20 Zadania otwarte krótkiej odpowiedzi
21 Zadania otwarte krótkiej odpowiedziZadanie 26. (2 pkt) 0,47 Rozwiąż nierówność
22 Zadanie 26. Błędy zdających: błędnie obliczone miejsca zerowe, podanie tylko miejsc zerowych jako rozwiązanie nierówności, błędnie podany zbiór rozwiązań nierówności. Uwaga! zapis pierwiastków w postaci:
23 A co z oceną takiego rozwiązania?!
24 Zadania otwarte krótkiej odpowiedziZadanie 27. (2 pkt) 0,38 Rozwiąż równanie
25 Zadanie 27. Błędy zdających: obliczanie delty dla równania stopnia trzeciego, dzielenie równania przez niewiadomą x (poza wyrazem wolnym) i obliczanie delty, niepoprawne zapisy przy grupowaniu wyrazów, np.: , następnie zapisywanie wielomianu w postaci , błędne rozwiązanie równania
26 A co z oceną takiego rozwiązania?!
27 Zadania otwarte krótkiej odpowiedziZadanie 28. (2 pkt) 0,28 W układzie współrzędnych na płaszczyźnie punkty A = (2, 5) i C = (6, 7) są przeciwległymi wierzchołkami kwadratu ABCD. Wyznacz równanie prostej BD.
28 Zadanie 28. Błędy zdających: interpretowanie odcinka AC jako boku kwadratu, brak umiejętności zaznaczenia w układzie współrzędnych pozostałych wierzchołków kwadratu (szkicowanie prostokąta, rombu itp.), brak znajomości warunku prostopadłości prostych, błędy rachunkowe przy przekształcaniu równania prostej, niedokładne zapisywanie postaci ogólnej równania prostej BD, np. 2x + y – 14.
29 Zadania otwarte krótkiej odpowiedziZadanie 29. (2 pkt) ,37 Kąt α jest ostry i Oblicz sinα + cosα .
30 Zadanie 29. Błędy zdających: błędne rozumowanie podstawianie wartości sinusa i cosinusa dla kątów 30°, 45° i 60°, np , źle dobrane boki trójkąta prostokątnego, co oznacza, że uczeń nie zna definicji funkcji trygonometrycznych kąta ostrego w trójkącie prostokątnym.
31
32 Błędnie zaznaczony kąt
33 Zadania otwarte krótkiej odpowiedziZadanie 31. (2 pkt) 0,01 Trójkąty ABC i CDE są równoboczne. Punkty A, C i E leżą na jednej prostej. Punkty K, L i M są środkami odcinków AC, CE i BD (zobacz rysunek). Wykaż, że punkty K, L i M są wierzchołkami trójkąta równobocznego. D M B C L A K E
34 Zadanie 31.
35
36 Zadania otwarte krótkiej odpowiedziZadanie 30. (2 pkt) 0,22 Wykaż, że dla każdego m ciąg jest arytmetyczny.
37 Zadanie 30. Błędy zdających:przedstawianie uzasadnienia dla konkretnych wybranych wartości m i wnioskowanie prawdziwości tezy dla dowolnego m, wykorzystywanie wzoru na sumę trzech początkowych wyrazów ciągu arytmetycznego i na tym poprzestanie, zapisywanie warunku lub błędy rachunkowe przy przekształcaniu równania, stosowanie własności ciągu geometrycznego, brak umiejętności utworzenia dwóch związków pozwalających dostrzec tożsamość.
38 Podstawowe założenia oceniania zadań otwartychkrótkiej odpowiedzi , , I sposób rozwiązania (wykorzystanie własności ciągu arytmetycznego): wystarczy sprawdzić, że zachodzi następujący związek między sąsiednimi wyrazami ciągu: . lub II sposób rozwiązania (wykorzystanie definicji ciągu arytmetycznego): mamy wystarczy sprawdzić, że III sposób rozwiązania: wyznaczenie r w zależności od m, wykorzystując dwa spośród trzech danych wyrazów i obliczenie trzeciego z tych wyrazów, korzystając z wyznaczonego r IV sposób rozwiązania: wykorzystanie wzoru ogólnego ciągu arytmetycznego. Korzystamy ze wzoru ogólnego ciągu arytmetycznego:
39 Podstawowe założenia oceniania zadań otwartychkrótkiej odpowiedzi Zdający otrzymuje 1 pkt, gdy zapisze warunek: lub Zdający otrzymuje 2 pkt, gdy z przedstawionego zapisu wynika, że otrzymana równość jest tożsamością.
40 Zadania otwarte rozszerzonejOpis arkusza Zadania otwarte rozszerzonej odpowiedzi
41 Zadania otwarte rozszerzonej odpowiedzi
42 Zadania otwarte rozszerzonej odpowiedziZadanie 33. (4 pkt) 0,07 Punkty A = (2,0) i B = (12,0) są wierzchołkami trójkąta prostokątnego ABC o przeciwprostokątnej AB. Wierzchołek C leży na prostej o równaniu y=x Oblicz współrzędne punktu C.
43
44 Zadanie 33. Błędy zdających: przyjmowanie, że odcięta punktu C jest taka sama jak odcięta środka odcinka AB, przyjmowanie, że współrzędne punktu C są takie same jak współrzędne środka odcinka AB, interpretowanie, że bok AB (pomimo to, że treść zadania wskazuje na przeciwprostokątną) jest jedną z przyprostokątnych trójkąta ABC.
45 Zadania otwarte rozszerzonej odpowiedziZadanie 34. (4 pkt) 0,39 Pole trójkąta prostokątnego jest równe 60 cm². Jedna przyprostokątna jest o 7 cm dłuższa od drugiej. Oblicz długość przeciwprostokątnej tego trójkąta.
46 Zadanie 34. Błędy zdających:brak współczynnika we wzorze na pole trójkąta, błędne przekształcenie wyrażenia do postaci lub , brak nawiasu w zapisie, np i błędne dalsze przekształcenia, błędy rachunkowe przy rozwiązywaniu równań kwadratowych i obliczaniu przeciwprostokątnej.
47
48 Podstawowe założenia oceniania zadań otwartych rozszerzonej odpowiedziZasady oceniania arkusza egzaminacyjnego Podstawowe założenia oceniania zadań otwartych rozszerzonej odpowiedzi
49 Podstawowe założenia oceniania zadań otwartych rozszerzonej odpowiedzi
50 Podstawowe założenia oceniania zadań otwartych rozszerzonej odpowiedzi cd.
51 Zadania otwarte rozszerzonej odpowiedziZadanie 32. (5 pkt) 0,25 Uczeń przeczytał książkę liczącą 480 stron, przy czym każdego dnia czytał jednakową liczbę stron. Gdyby czytał każdego dnia o 8 stron więcej, to przeczytałby tę książkę o 3 dni wcześniej. Oblicz, ile dni uczeń czytał tę książkę.
52 Zadanie 32. Błędy zdających:brak umiejętności zapisania związku między liczbą dni poświęconych na czytanie książki a ilością stron czytanych dziennie, np. x + y = 480, układanie jednego równania poprawnego, a drugiego błędnego, np. xy = 480, x – 3 = y + 8, tworzenie równania lub układu równań nieadekwatnych do opisu oznaczeń, interpretowanie liczby stron czytanych w kolejnych dniach jako ciągu arytmetycznego o różnicy 8, błędy nieuwagi i błędy rachunkowe przy pokonywaniu zasadniczych trudności, czyli przy sprowadzaniu do równania z jedną niewiadomą, błędy merytoryczne i rzeczowe przy rozwiązywaniu równania kwadratowego, rozwiązywanie równania z niewiadomą y, a podawanie rozwiązań w postaci , co skutkowało interpretowaniem otrzymanego wyniku 32 (liczba stron) jako liczby dni, podejmowanie prób odgadnięcia wyniku – często bez związku z warunkami zadania, brak konfrontacji błędnych wyników z treścią zadania lub z jego założeniami.
53 Poprawny układ
54 I sposób rozwiązania: Oznaczamy: x – liczba stron przeczytanych każdego dnia, y – liczba dni. Zapisujemy i rozwiązujemy układ równań:
55 Rozwiązanie, w którym postęp jest wprawdzie niewielki, ale konieczny na drodze do całkowitego rozwiązania zadania………………………….1 pkt Zapisanie zależności między liczbą stron przeczytanych jednego dnia oraz liczbą dni, np.: lub gdzie x – liczba stron przeczytanych jednego dnia, y - liczba dni. Rozwiązanie, w którym jest istotny postęp…………………………….2 pkt Zapisanie układu równań z niewiadomymi x i y, np.:
56 Pokonanie zasadniczych trudności zadania…………………………3 pktZapisanie równania z jedną niewiadomą x lub y, np: lub lub lub
57 Rozwiązanie zadania do końca, lecz z usterkami, które jednak nie przekreślają poprawności rozwiązania zadania (np. błędy rachunkowe)… …………………………………….4 pkt rozwiązanie równania kwadratowego z niewiadomą x bezbłędnie i nieobliczenie liczby dni, rozwiązanie równania kwadratowego z niewiadomą x z błędem rachunkowym i konsekwentne obliczenie liczby dni, rozwiązanie zadania do końca z błędem rachunkowym popełnionym w którejkolwiek fazie rozwiązania, w tym również na początku, dalsze rozwiązanie jest przeprowadzone konsekwentnie w stosunku do popełnionego błędu a sam błąd nie spowodował istotnej zmiany w sposobie rozwiązywania zadania (np. nie spowodował, że otrzymano równanie liniowe zamiast kwadratowego lub nie zmienił liczby dopuszczalnych pierwiastków równania).
58 Odrzucenie odpowiedzi i podanie prawidłowej odpowiedzi: Rozwiązanie bezbłędne…………………5 pkt Odrzucenie odpowiedzi i podanie prawidłowej odpowiedzi: Uczeń przeczytał tę książkę w ciągu 15 dni.
59 Szczegółowe informacje na stronach:
60 Szanowni Państwo! Egzamin maturalny z matematykito szansa na przywrócenie naszemu przedmiotowi należnej rangi w szkole i życiu! Nie wolno nam tej szansy zaprzepaścić !