1 Procesamiento de Imágenes Digitales Dimensión Fractal Manuel J. Pecci López Daniel J. Pérez Ramos

2  CONTENIDO 1. Introducción. 2. Definición de Dimensión Fractal. 3. Métodos para el Cálculo de la Dimensión Fractal. 3.1. Métodos para Curvas. 3.1.1. Trazado de Richardson. 3.1.2. Salchicha de Minkowski. 3.1.3. Recuento de Celdas de Kolmogorov. 3.2. Métodos para Imágenes: 3.2.1. Recuento de Cajas (Bisoi & Mishra). 3.2.2. Recuento de Cajas Diferencial (Sarkar & Chaudhuri). 3.2.3. Optimización de los Métodos. 4. Aplicaciones de la Dimensión Fractal. 5. Síntesis del Estudio. 6. Bibliografía.

3 1. Introducción. Dimensión Fractal  Análisis de Imágenes. Descriptor Numérico Descriptores más antiguos = f (parámetros tamaño) Adimensional

4 Descriptor dimensional: Sensible a la alteración esperada en la forma. Redondez Rizamiento Elongación Extensión. Muchos Descriptores = f (perímetro,...)

5 + Irregularidad 2. Definición de Dimensión Fractal. D. Euclídea = 1 D. Euclídea = 2 D. Euclídea = 3 Medida de la irregularidad de una forma. ° Orientación del aumento del perímetro al disminuir la escala (fractales). ° Fraccionar el concepto de dimensión euclídea: + Rugosidad D. Fractal ~ 2 D. Fractal ~ 3

6 . log. ( Resultado.. Medida).... log (Instrumento Medida) 3. Métodos para el Cálculo de la Dimensión Fractal (D). Consideraciones Previas No es una medida exacta. Ponderación (Ej. Media) Carácter Empírico: Estimación D = | Pendiente |

7 3.1. Métodos para Curvas. ( 1  D  2) Sólo Continuo. 3.1.1. Trazado de Richardson (Richardson Plot) Longitudes de las zancadas.Estimación del Perímetro. Modificación de longitud zancada para pasar por punto del contorno Recorrer el contorno de la curva en pasos a partir de un punto origen. No es bueno en discreto. Desvirtúa medida.

8 Continuo y Discreto. 3.1.2. Salchicha de Minkowski (Minkowski Sausage) Engrosar por dilatación el contorno de la curva. Radio de los sucesivos círculos considerados. Área engendrada tras el engrosamiento. ¿Adaptarlo a discreto? Cambio instrumento de medida. ¿Cómo dilata? Nº Pixeles semiancho romboide Área ~ PP 1º) 2º) P  Contorno engrosado.

9 Tratar la imagen de la curva como malla cuadriculada de celdas. Lado L (pixeles) de las sucesivas celdas consideradas. Recuento de celdas atravesadas por la curva (N). Ej. L= 2 N= 7 3.1.3. Recuento de Celdas de Kolmogôrov (Cell-Counting Method)

10 Orígenes Concepto matemático de Dimensión Fractal (D) de un Conjunto (A). 3.2. Métodos para Imágenes. (2  D  3) D = log (N) / log(1/r), Propiedades de Auto-Similitud. N = Nº de réplicas de A cuando se detalla a una escala 1/r.

11 Ej. M = 8 (tamaño imagen) G = 256 (niveles de gris) L = 2 (lado caja) L’= L x G / M (proporción de niveles de gris por caja) G 0 64 192 256 128 L L L’ M/LM/L Lado L (pixeles) de las sucesivas cajas de recubrimiento. Recuento total de cajas que albergan alturas proporcionales al nivel de gris de cada pixel. 3.2.1. Método del Recuento de Cajas (Box-Counting Method).

12 Mismo planteamiento que el Método del Recuento de Cajas. Cambia en el resultado de la medida. Para cada celda (centrada en i,j): n L = l – k + 1, donde l = índice caja contiene el mayor nivel de gris. k= índice caja contiene el menor nivel de gris. 3.2.2. Método del Recuento de Cajas Diferencial (Differential Box-Counting Method) Recuento total: N L =  n L celdas

13 Acotación del tamaño de las celdas (L) 3.2.3.1 Acotación en el Método del Recuento de Cajas. ° Cota Inferior. Cada celda cuenta 1 caja N = (M/L) x (M/L) = (M/L) 2 Cada celda cuenta todas sus cajas N = (M/L) x (M/L) x (M/L) = (M/L) 3 2  D = log(N) / log(1/r)  3 1/r  M/L Pixels de celda (L 2 ) < (M/L) Imposible D = 3 L 2  M/L L 3  M 3.2.3. Optimización de los Métodos. Mayor exactitud Dimensión Fractal.

14 ° Cota Superior. Viene impuesto por el tamaño de la imagen (M). 3.2.3.1 Acotación en el Método del Recuento de Cajas Diferencial. Chaudhuri & Sarkar 2  L  M/2 Eficiencia Computación Al menos dos cajas verticales (para la resta) Nº Cajas Verticales = M/L = M/(M/2) = 2 L  M/2 A partir de L = M/2 sólo podemos cubrir con una celda.

15 4. Aplicaciones de la Dimensión Fractal. 4.1. Detección de malignidad en tumores. Imágenes provenientes de resonancias magnéticas. Discernir tumores malignos (gliomas) y benignos (quistes). Parte de la descripción del borde procedente de otros estimadores. 4.2. Evolución de la Fisonomía de una Ciudad. La medida de la irregularidad es sensible a los cambios en la fisonomía de una ciudad. (Ej. Cardiff). 4.3. Tipología de Rocas. Analiza cortes geológicos dando un indicador para la clasificación de grandes masas rocosas. 4.4. Estimación de la Longitud de Costa. Aporta una orientación de la descripción cualitativa del borde. Estimación de la longitud = f(D. Fractal, Escala).

16 4.5. Detección de Acuíferos y Reservas Petrolíferas. Dimensión fractal y otros parámetros estadísticos a partir de estudios sismográficos. Hallar medidas de porosidad y reflectividad que conducen a la detección de acuíferos y reservas petrolíferas. 4.7. Distribución de Bancos de Algas. La deformación de las células se refleja en el valor de la dimensión fractal. Dicha morfología es característica de los nutrientes que absorbe. La distribución de nutrientes es indicativa de la profundidad a la que se encuentran. 4.6. Predicción de Tendencias Migratorias. Dimensión fractal como medida de la tortuosidad de los cambios de hábitats. Relación con escalas territoriales permiten adivinar tendencias migratorias.

17 Medida de la irregularidad de una forma. No es una medida exacta.(Estimación / Media). Cálculo Empírico. Métodos en continuo y en discreto. 1  D en curvas  2 2  D en imágenes  3 Mayor precisión en cálculo al acotar instrumento de medida en los métodos. Múltiples campos de aplicación. 5. Síntesis del Estudio. Dimensión Fractal (D)  Análisis de Imágenes. Fracciona la Dimensión Euclídea

18 5. Bibliografía. “Digital Image Processing”. Rafael C. González, Richard E. Woods. Addison-Wesley Publishing Company. “The Image Processing” John C. Russ. CRC Press, Springer & IEEE Press. “On Calculation of Fractal Dimension of Images” Ajay Kumar Bisoi & Jibitesh Mishra. Elsevier Science. “Evaluation of Malignancy in Tumors of the Central Nervous System Using Fractal Dimension”. Démian Pereira, Cira Zambrano y Miguel Martín- Landrove

19 “La Dimensión Fractal” platea.pntic.mec.es/~mzapata/tutor_ma/ fractal/dim_frac.htm “Modelling the Fractal Dimension of Cities” Longley, P. and Batty, M stress.swan.ac.uk/~mbarnsle/teaching/ envmod/pdf/em-chapter19.pdf “The Use of Fractal Dimension in Engineering Geology”, Brosch, F.J., Pölsler, P. & Riedmüller, G. www.3-g.at/doxx/gri%201.pdf “How long is the coastline of Chile?” Dr. Alan R. Johnson. people.clemson.edu/~alanj/chile-coastline.html “Correlation Length and Fractal Dimension Interpretation from Seismic Data Using Variograms and Power Spectra”. Ken Mela & John Louie www.seismo.unr.edu/ftp/web/htdocs/students/MELA/ thesis/geophysics98160.pdf “Using animal movement paths to measure response to spatial scale” Vilis O. Nams www.nsac.ns.ca/envsci/staff/vnams/index.htm “Dimensión Fractal y relación área superficial/volumen de algas del fitoplancton de lagos colombianos” Marcela M.-Iregui, Gabriel Guillot-M., John C. Donato-R., María T. Ortegón www.icn.unal.edu.co/caldasia/24(1)/240109.pdf.