1 Procesamiento digital de ImágenesTomografía

2 Introducción Uso mas frecuente en medicina Acústica MicroondasGeología Microscopios electrónicos Radiotelescopios Rayos-X Positrones Rayos gama

3 Fundamentos Concepto de proyección

4 Aplicación en GeologíaRx Tx hR hT El transmisor puede ser acústico o de microondas

5 Concepto de proyecciónX-RAY Densidad de un objeto Bidimensional fc(t1,t2) θ = Angulo de la proyección t = Ubicación del detector The integral of the function along the line L Intensidad atenuada de un rayo a medida que se propaga a través del objeto a lo largo de una línea L(θ,t)

6 Concepto de proyecciónX-RAY

7 Fundamentos Proyección:Es la operación matemática cuyo resultado es similar a la operación física de tomar una foto irradiada por un haz colimado de rayos X Objetivo: Reconstruir el objeto en 2D a partir de proyecciones en diferentes ángulos Proyection is the L

8 Fundamentos Desconocido Proyección Proyection is the L 

9 Projection Slice TheoremX-RAY fc(t1,t2) Existe alguna relación matematica entre la proyección p(θ,t) y la función bidimensional fc(t1,t2) ? p(θ,t) The integral of the function along the line L

10 Projection Slice TheoremThe integral of the function along the line L

11 Projection Slice TheoremEncontramos ahora la relación entre ambos sistemas coordenados. Proyection is the L

12 Projection Slice TheoremProyection is the L

13 Projection Slice TheoremDe aquí en mas nuestro objetivo será encontrar una relación entre la TF 2D de fc(t1,t2) y la TF 1D de p(θ,t). Esto se puede hacer mediante lo que se conoce como Projection Slice Theorem The integral of the function along the line L

14 Projection Slice TheoremEmpecemos por encontrar la TF de fc(t1,t2) A su vez la 2D CIFTde Fc(Ω1Ω2) será: The integral of the function along the line L

15 Projection Slice TheoremPor otro lado la TF 1D de p(θ,t) es: The integral of the function along the line L

16 Projection Slice TheoremAhora el Projection Slice Theorem establece que: Slice of Fc The integral of the function along the line L

17 Projection Slice TheoremEste teorema es de gran utilidad ya que si tomamos múltiples proyecciones a diferentes ángulos podemos reconstruir la transformada de fourier de fc(t1,t2).Luego aplicando la Transfomada inversa obtenemos el objeto original. The integral of the function along the line L

18 Técnicas de reconstruccionSimple : - Nearest Neighbor (interpolacion de orden cero) - Interpolación de primer orden. Formula de inversión de Radon Técnicas Iterativas Proyection is the L

19 Reconstrucción de la TransformadaPolar Sampling: Ej:. DFT de 9 puntos en cada direccion , 8 proyecciones Las muestras están igualmente espaciadas Debemos encontrar los valores de la transformada en La grilla cartesiana a partir de los valores de la misma en forma polar (puntos rojos). La solución es Interpolar. Los métodos mas simples son: Zeroth order  Nearest Neighbor First order  Weighed Sum of neighbor samples (Average) Proyection is the L

20 Reconstrucción de la TransformadaSi modificamos la distancia entre las muestras en función del ángulo (obtenemos cuadrados concéntricos). The integral of the function along the line L

21 Formula de inversion de RadonPartiendo de la IDFT 2D de Fc(Ω1, Ω2) Vamos a convertirla a coordenadas polares esto es: (Ω1, Ω2) (ω, θ). Para realizar la conversión deberemos hacer uso del jacobiano The integral of the function along the line L

22 Formula de inversion de RadonRecordando que : The integral of the function along the line L

23 Formula de inversion de RadonEntonces fc(t1, t2) nos queda The integral of the function along the line L

24 Formula de inversion de RadonObservemos que: The integral of the function along the line L

25 Formula de inversion de RadonObservemos que: Es una IDFT The integral of the function along the line L

26 Formula de inversion de RadonEn definitiva nos queda que: Reemplazando en fc(t1, t2) nos queda: The integral of the function along the line L

27 Formula de inversion de RadonInterpretacion The integral of the function along the line L

28 Formula de inversion de RadonResulta que: 1- Encontramos 2- Hallamos 3- Reemplazamos este resultado en fc(t1, t2) The integral of the function along the line L

29 Convolution Backprojection InterpretaciónThe integral of the function along the line L

30 Matlab Support RADON TRANSFORMObtiene las proyecciones a partir de la imagen The integral of the function along the line L

31 Matlab Support RADON TRANSFORMPara ver la transformación para varios ángulos se suele verlas como una imagen. The integral of the function along the line L

32 Matlab Support INVERSE RADON TRANSFORMPodemos reconstruir la imagen a partir de las proyecciones. The integral of the function along the line L

33 Matlab Support INVERSE RADON TRANSFORMPodemos reconstruir la imagen a partir de las proyecciones. The integral of the function along the line L