1 Procesy Mechaniczne. Proces mieszaniaInżynieria Chemiczna i Procesowa Procesy Mechaniczne. Proces mieszania Wykład nr 8 : Procesy mechaniczne. Proces mieszania

2 Inżynieria Chemiczna i ProcesowaCelem mieszania cieczy jest wyrównanie temperatur i stężenia. W przypadku cieczy niejednorodnych (zawiesin i emulsji) mających tendencje do grawitacyjnego rozwarstwienia, mieszanie stwarza stan równowagi dynamicznej  stężenie jest wyrównane ale tylko tak długo jak mieszana jest zawiesina. Mieszanie mechaniczne jest więc najpopularniejszą metoda zwiększania jednorodności układu. Proces ten przebiega najczęściej w aparatach zwanych mieszalnikami , wewnątrz których umieszczone jest mieszadło. Obroty mieszadła powodują powstanie zawirowań , co z kolei prowadzi do przemieszczania się elementów płynu, a tym samym do mieszania się układu czyli zwiększenia jego jednorodności. Wykład nr 8 : Procesy mechaniczne. Proces mieszania

3 Inżynieria Chemiczna i ProcesowaWykład nr 8 : Procesy mechaniczne. Proces mieszania

4 Inżynieria Chemiczna i ProcesowaWażna dla technik mieszania cieczy jest ich lepkość. Maleje ona ze wzrostem temperatury, stąd wynika że w wyższych temperaturach mieszanie cieczy będzie bardziej sprawne Dla większości cieczy aktualne jest równanie lepkości (ciecze niutonowskie) (1) gradient prędkości u na kierunku x naprężenie styczne lepkość dynamiczna Wykład nr 8 : Procesy mechaniczne. Proces mieszania

5 Inżynieria Chemiczna i ProcesowaCharakterystyki reologiczne cieczy: W przypadku cieczy plastycznych (2) aktualne jest równanie: 2 τ współczynnik plastyczności 3 1 graniczne naprężenie styczne którego przekroczenie jest warunkiem płynności Wykład nr 8 : Procesy mechaniczne. Proces mieszania

6 Inżynieria Chemiczna i ProcesowaStosownie do definicji lepkości – lepkość oznacza nachylenie odpowiedniego promienia z początku układu przechodzącego przez właściwy punkt na linii charakterystycznej dla danej cieczy: 2 Jak wynika z przebiegu linii 2, lepkość będzie wysoka przy wolnym mieszaniu tej cieczy, a przy wyższych szybkościach mieszania będzie maleć. τ 3 1 4 Należy wybrać pewne optimum szybkości mieszania. Wykład nr 8 : Procesy mechaniczne. Proces mieszania

7 Inżynieria Chemiczna i ProcesowaRuch cieczy względem elementu ruchomego ( łapy wirnika ) może mieć charakter laminarny, z łagodnym opływem względem tego elementu lub też z tworzeniem się wirów za tym elementem  ruch burzliwy. Miarą rodzaju ruchu jest liczba Reynoldsa dla mieszania: prędkość obwodowa zewnętrznej krawędzi mieszadła (pomijamy π) Wykład nr 8 : Procesy mechaniczne. Proces mieszania

8 moc mieszania Inżynieria Chemiczna i ProcesowaTak zdefiniowana liczba Reynoldsa nie ma ogólnego charakteru, ponieważ jest funkcja rodzaju stosowanego mieszadła oraz mieszalnika. Z tej przyczyny nie istnieje jedna wartość rozgraniczająca obszar laminarny i turbulentny. Możemy przyjąć że dla Rem < 50 mamy ruch laminarny. Jednym z podstawowych zagadnień w procesie mieszania jest obliczanie mocy niezbędnej do zapewnienia założonych warunków hydrodynamicznych. moc mieszania Wykład nr 8 : Procesy mechaniczne. Proces mieszania

9 Inżynieria Chemiczna i ProcesowaWeźmy pod uwagę zwykłe mieszadło łopatowe. Element mieszający ma kształt płaskownika o długości L i wysokości h. Dla różniczkowego elementu tej łapy o długości dx i wysokości h siła oporu stwarzanego przez płyn może być opisana równaniem: x h Powierzchnia elementu dF wyraża się iloczynem h*dx. A prędkość obwodowa : dR dx d odległość od osi obrotu Wykład nr 8 : Procesy mechaniczne. Proces mieszania

10 Inżynieria Chemiczna i ProcesowaZużycie mocy możemy określić jako iloczyn siły dR i drogi wykonanej przez element w jednostce czasu, czyli prędkości obwodowej u : Wykład nr 8 : Procesy mechaniczne. Proces mieszania

11 Inżynieria Chemiczna i ProcesowaZależność tę można scałkować w granicach x od –d/2 do d/2. Układ jest symetryczny więc można całkować w granicach od 0 do d/2 i wynik pomnożyć przez 2: Wprowadzając stosunek h/d jako a  współczynnik charakteryzujący kształt łopaty Wykład nr 8 : Procesy mechaniczne. Proces mieszania

12 Inżynieria Chemiczna i Procesowawspółczynnik oporów stała bezwymiarowa liczba mocy – liczba Newtona, Eulera Współczynnik oporów λ jest funkcją liczby Reynoldsa i może być przedstawiony równaniem : Wartości b i m zależą od typu mieszadła. Dla przepływu laminarnego m = 1, natomiast przy silnej burzliwości m  0 , a więc λ dąży do wartości stałej. Wykład nr 8 : Procesy mechaniczne. Proces mieszania

13 Inżynieria Chemiczna i ProcesowaDogodnie jest posługiwać się wykresami : Dla każdego typu mieszadła o określonych wymiarach linia krzywa dotyczy „liczby mocy” jako funkcji liczby Re. Wykład nr 8 : Procesy mechaniczne. Proces mieszania

14 Inżynieria Chemiczna i ProcesowaJeżeli dla ruchu laminarnego uwzględnimy wartość m = 1 to wyrażenie na współczynnik oporów przyjmie postać: podstawiając do równania na liczbę Newtona wartość stała dla mieszadła moc mieszania laminarnego Wykład nr 8 : Procesy mechaniczne. Proces mieszania

15 Inżynieria Chemiczna i ProcesowaDla ruchu burzliwego λ = const moc mieszania burzliwego moc mieszania laminarnego  wpływ lepkości cieczy moc mieszania burzliwego  wpływ gęstości cieczy Wykład nr 8 : Procesy mechaniczne. Proces mieszania

16 Inżynieria Chemiczna i Procesowamodelowanie mocy mieszania: Dla dwóch mieszalników o podobnych parametrach geometrycznych, w których jest mieszana ta sama ciecz, stosunek mocy mieszania jest następujący: dla obszaru laminarnego: dla obszaru turbulentnego: Wykład nr 8 : Procesy mechaniczne. Proces mieszania

17 Inżynieria Chemiczna i ProcesowaPrzyjmuje się, że podobne warunki mieszania w obu mieszalnikach będą zachowane, jeżeli moc właściwa, tj. moc przypadająca na jednostkę objętości mieszanego układu, będzie w obu mieszalnikach taka sama. Dla mieszalników w kształcie walca objętość wynosi: wysokość poziomu cieczy średnica mieszadła średnica zbiornika Wykład nr 8 : Procesy mechaniczne. Proces mieszania

18 Inżynieria Chemiczna i ProcesowaPodobieństwo geometryczne zbiorników sprowadza się do ustalonych wartości stosunków D/d i H/d : Stosunek mocy właściwych: dla obszaru laminarnego: Wykład nr 8 : Procesy mechaniczne. Proces mieszania

19 Inżynieria Chemiczna i ProcesowaStosunek mocy właściwych: dla obszaru turbulentnego: Przyrównując powyższe równania do jedności otrzymujemy: dla obszaru laminarnego: dla obszaru turbulentnego: Wykład nr 8 : Procesy mechaniczne. Proces mieszania

20 Inżynieria Chemiczna i ProcesowaJeżeli zachowamy stałość liczby Re dla dwóch mieszalników geometrycznie podobnych: dla obszaru laminarnego: więc stosunek mocy: dla obszaru turbulentnego: Wykład nr 8 : Procesy mechaniczne. Proces mieszania

21 Inżynieria Chemiczna i ProcesowaJeżeli zachowamy stałość prędkości obwodowej mieszadła dla dwóch mieszalników geometrycznie podobnych: dla obszaru laminarnego: więc stosunek mocy: dla obszaru turbulentnego: Wykład nr 8 : Procesy mechaniczne. Proces mieszania

22 Inżynieria Chemiczna i Procesowadla obszaru laminarnego: H1 układ przemysłowy d1 dla obszaru turbulentnego: D1 D/d i H/d zachowane D2=10 * D1 Re1 N1 ta sama moc właściwa D/d = 3 Wykład nr 8 : Procesy mechaniczne. Proces mieszania

23 Inżynieria Chemiczna i ProcesowaW przypadku mieszania układu niejednorodnego tj.: emulsja zawiesina, mieszanina ciał sypkich bez cieczy itp. można określić efektywność wymieszania. Pobiera się szereg próbek z różnych miejsc wymieszanego ośrodka i oznacza się w nich skład xi (np. zawartość fazy stałej w zawiesinie). „Średnia z próbek” jest równa: liczba pobranych próbek Średnie zaś „odchylenie standardowe” określone jest następująco: Wykład nr 8 : Procesy mechaniczne. Proces mieszania

24 Inżynieria Chemiczna i ProcesowaTo średnie odchylenie σ2 jest sumą dwóch udziałów: odchylenie spowodowane małym wymiarem próbki pobieranej do analiz. odchylenie spowodowane niedoskonałością mieszania W przypadku gdy mieszanie jest bardzo dobre (np.. trwa bardzo długo) : W przypadku gdy mieszanie jeszcze nie nastąpiło : odchylenie spowodowane początkowym ułożeniem składników Wykład nr 8 : Procesy mechaniczne. Proces mieszania

25 Inżynieria Chemiczna i ProcesowaMiarą stopnia mieszania może być indeks M definiowany następująco: Gdy nie ma mieszania : Idealne mieszanie: Wykład nr 8 : Procesy mechaniczne. Proces mieszania

26 Inżynieria Chemiczna i ProcesowaW miarę postępu procesu mieszania, wraz z upływem czasu t, indeks mieszania zmienia się od 0 do 1 w sposób wykładniczy: Tak więc wartość indeksu M jest miarą wymieszania układu. W procesach rzeczywistych w których występują wyraźne różnice gęstości między mieszanymi fazami, na skutek sedymentacji grawitacyjnej następować będzie segregacja układu, w wyniku której nastąpi odchylenie od powyższego równania, a mianowicie indeks M nie będzie dążył do 1 lecz do wartości niższej wynikającej z równowagi pomiędzy mieszaniem a segregacją. Wykład nr 8 : Procesy mechaniczne. Proces mieszania

27 Inżynieria Chemiczna i ProcesowaIstnieje zależność między indeksem M a zużyciem mocy przez mieszadło. Zależność ta przybiera kształt: C) Bardzo mały wzrost indeksu M przy wzroście mocy . C B) Szybki wzrost indeksu M, przy małym wzroście mocy B A) Indeks jest mały (słabe wymieszanie) przy zbyt małym zużyciu mocy. A Wykład nr 8 : Procesy mechaniczne. Proces mieszania

28 Inżynieria Chemiczna i ProcesowaJeżeli przez zbiornik z mieszadłem o objętości V przepływa strumień z prędkością objętościową q , wówczas średni czas przebywania można zdefiniować następująco: Zależnie od warunków mieszania płynu w zbiorniku różne elementy strumienia mogą przebywać w tym zbiorniku krócej lub dłużej od τ. q V Wykład nr 8 : Procesy mechaniczne. Proces mieszania

29 Inżynieria Chemiczna i ProcesowaWprowadźmy nową zmienną tzw. czas względny: W wielu problemach procesowych interesuje nas rozkład czasu przebywania w zbiorniku. Można zdefiniować funkcję tzw. „funkcję wewnętrzną” – I tak aby jej iloczyn IdΘ odpowiadał ułamkowi płynu zawartemu w zbiorniku który przebywał w nim przez czas od Θ do Θ+d Θ. całka ta podaje więc ułamek płynu zawartego w zbiorniku w danej chwili, który przebywał w nim przez czas od 0 do Θ Wykład nr 8 : Procesy mechaniczne. Proces mieszania

30 Inżynieria Chemiczna i ProcesowaWykład nr 8 : Procesy mechaniczne. Proces mieszania

31 Inżynieria Chemiczna i ProcesowaAnalogicznie można zdefiniować funkcję „zewnętrzną” – E , tak że iloczyn EdΘ podaje ułamek płynu w strumieniu wylotowym ze zbiornika, który przebywał poprzednio w tym zbiorniku przez czas od Θ do Θ+dΘ. Stąd całka ta podaje więc ułamek płynu w strumieniu wylotowym w danej chwili, który przebywał w nim przez czas od 0 do Θ1 Wykład nr 8 : Procesy mechaniczne. Proces mieszania

32 Inżynieria Chemiczna i ProcesowaPełne pole pod każdą z tych krzywych I i E w zakresie Θ od 0 do nieskończoności jest równe 1. Związek pomiędzy funkcjami I i E wynika z bilansu masowego: Funkcje te wykorzystywane są do modelowania funkcji rozkładu czasu przebywania Wykład nr 8 : Procesy mechaniczne. Proces mieszania

33 Inżynieria Chemiczna i ProcesowaFunkcje rozkładu czasu przebywania można określić na podstawie badań dynamiki procesu. Badania te polegają na zastosowaniu impulsu skokowego w strumieniu wlotowym (np.. dodatek indykatora o stężeniu C0). Na wylocie ze zbiornika stężenie tego indykatora c będzie wzrastać nie skokowo ale tak jak na rys: q q Wykład nr 8 : Procesy mechaniczne. Proces mieszania

34 Inżynieria Chemiczna i ProcesowaRóżniczkowy bilans masy dla układu wygląda następująco: ogólna ilość w zbiorniku dopływ indykatora odpływ indykatora ułamek porcji doprowadzonej w czasie dτ Uwzględniając definicję Wykład nr 8 : Procesy mechaniczne. Proces mieszania

35 Inżynieria Chemiczna i ProcesowaA więc mierząc krzywe dynamiczne F łatwo określimy funkcje rozkładu czasu. Dla kilku przypadków granicznych można określić charakterystyki dynamiczne bez doświadczeń. Przepływ tłokowy  w skutek braku mieszania impuls zadany na wlocie ukaże się w niezmienionej postaci na wylocie po czasie względnym Θ = 1, czyli odpowiadającym średniemu czasowi przebywania w układzie. Wykład nr 8 : Procesy mechaniczne. Proces mieszania

36 Inżynieria Chemiczna i ProcesowaCharakterystyka przepływu tłokowego: Wykład nr 8 : Procesy mechaniczne. Proces mieszania

37 Inżynieria Chemiczna i ProcesowaDrugim skrajnym przypadkiem jest zbiornik z idealnym wymieszaniem gdzie stężenie jest jednakowe w każdym miejscu i stąd stężenie w strumieniu wylotowym jest takie samo jak w zbiorniku. równanie bilansowe różniczkowe: wzrost stężenia indykatora w zbiorniku w czasie dτ Uwzględniając definicję Wykład nr 8 : Procesy mechaniczne. Proces mieszania

38 Inżynieria Chemiczna i Procesowaotrzymujemy: Stąd po scałkowaniu i przekształceniu wynika charakterystyka dynamiczna : A stąd funkcja rozkładu czasu Wykład nr 8 : Procesy mechaniczne. Proces mieszania

39 Inżynieria Chemiczna i ProcesowaCharakterystyka przepływu z idealnym wymieszaniem: wylot wlot Wykład nr 8 : Procesy mechaniczne. Proces mieszania