1 Prof. Alicia Herrera Ruiz

2 Matemática I Prof. Alicia Herrera RuizEcuación de la Recta

3 Matemática I Prof. Alicia Herrera RuizI. CONOCIMIENTOS PREVIOS: SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS O PLANO CARTESIANO Al eje horizontal “x” se le llama también ABSCISA Al eje vertical “y” se le llama también ORDENADA. Un punto está representado por un PARA ORDENADO (x; y) , donde: x: se le llama primera componente. y: se le llama segunda componente Y SEGUNDO PRIMER CUADRANTE CUADRANTE (- ;+) (+ ;+) X TERCER CUARTO CUADRANTE CUADRANTE (- ; -) (+ ; -)

4 Matemática I Prof. Alicia Herrera Ruiz

5 Matemática I Prof. Alicia Herrera RuizEjercicios N° 1: 1) Indica el cuadrante y las coordenadas de los puntos: Solución: Punto A, pertenece al I cuadrante. Coordenadas: (2; 3) Punto B, pertenece al II cuadrante. Coordenadas: (-5; 1) Punto C, pertenece al III cuadrante. Coordenadas: (-2; -2) Punto A, pertenece al IV cuadrante. Coordenadas: (4; -2)

6 Matemática I Prof. Alicia Herrera RuizII. LA RECTA Primero respondamos qué significan estas señales de tránsito: La primera nos indica que está próxima una pendiente ascendente La segunda nos indica que está próxima una pendiente descendente. Entonces, ¿qué es una pendiente? Intuitivamente podemos deducir que la pendiente es una inclinación.

7 Matemática I Prof. Alicia Herrera Ruiz2.1) Pendiente de una recta: Definiciones: Si nos dan dos puntos: Primero necesitamos un modo de medir la inclinación de una recta o que tan rápido se levanta o desciende cuando nos desplazamos desde la izquierda hacia la derecha. Definimos desplazamiento horizontal como la distancia que nos movemos hacia la derecha y desplazamiento vertical como la distancia correspondiente a la recta que sube o baja. La pendiente es la relación entre el desplazamiento vertical y el horizontal

8 Matemática I Prof. Alicia Herrera Ruizdonde: x1  x2 La pendiente de una recta vertical no está definida.

9 Matemática I Prof. Alicia Herrera RuizEjercicios N° 2: Hallar la pendiente de la recta “L” que pasa por los puntos: P1(4, 8) y P2(6, 10) P1(-6, 2) y P2(8, -4) Solución:

10 Matemática I Prof. Alicia Herrera Ruiz

11 Matemática I Prof. Alicia Herrera Ruiz2.2) ECUACIÓN DE LA RECTA Forma Punto – Pendiente Ésta nace a partir de la definición de pendiente: Sea una recta “L” que pasa por el punto P1(x1; y1) y tiene una pendiente “m” la ecuación es: y - y1 = m(x - x1)

12 Matemática I Prof. Alicia Herrera RuizCaso particular: Si no nos dan la pendiente, pero sí dos puntos P1(x1, y2) y P2(x2, y2): su ecuación la podemos encontrar así: Paso 1: Hallamos la pendiente entre P1 y P2. m = Paso 2: Usamos la ecuación de la recta (punto – pendiente) y reemplazamos uno, cualesquiera de los puntos P1(x1, y1) ó P2(x2, y2) : y – y1 = m(x – x1)

13 Matemática I Prof. Alicia Herrera RuizEjercicios N° 3: 1) Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto P1 (3, 4) y que tiene una pendiente m=2 Si pasa por P1 (3, 4) y la pendiente es m=2. El bosquejo de la gráfica sería y – y1 = m(x – x1) y – 4 = 2(x – 3) Ecuación punto-pendiente de la recta.

14 Matemática I Prof. Alicia Herrera Ruiz2) Hallar la ecuación de la recta que pasan por los puntos A(-2, -3) y B(4,2). Si la recta pasa por los puntos: A(-2, -3) y B(4,2). Entonces identificamos los puntos: Paso 1: La pendiente A(-2, -3) y B(4, 2). x1 y x2 y2 Paso 2: Ecuación punto-pendiente: y – y1 = m(x – x1)

15 Matemática I Prof. Alicia Herrera Ruiz2) Forma General: Teniendo en cuenta lo expuesto anteriormente podemos obtener la ecuación general de la recta que tiene la siguiente expresión: Ax + By + C = 0 Cuando la ecuación se escribe así, se dice que está en la forma general donde “A” y “B” no pueden ser cero simultáneamente. Nota: La pendiente de una recta escrita en la forma general: Ax + By + C = se obtiene así: m = - ; B  0 La intersección con el eje “y” es: - Si C = 0 la recta pasa por el origen Si B = 0 la recta es vertical Si A = 0 la recta es horizontal

16 Matemática I Prof. Alicia Herrera RuizEjercicios N° 4: De la ecuación punto-pendiente: y – 4 = 2(x – 3) Expresar como ecuación general. 2) Indicar las pendientes y las intersecciones correspondientes a las rectas dadas como ecuación general: a) 2x – 3y +1 = 0 b) x – 7y = 0 c) 4x + 6 y -3 = 0 d) 3x + 6 = 0 e) 3y +5 = 0

17 Matemática I Prof. Alicia Herrera Ruiz3) Forma Pendiente - ordenada al origen Sea “L” una recta cuyo intercepto con el eje “y” sea “b” (también se le llama ordenada al origen). Si hacemos que: y = mx + b

18 Matemática I Prof. Alicia Herrera RuizEjercicios N° 5: Hallar la ecuación de una recta que tiene una pendiente igual a m = 2 y su intercepto con el eje “y” es 4. 2) Dadas las ecuaciones de las rectas identificar la pendiente y el intercepto con “y”. Y = -3x + 1 Y= 4/5 x + 3 Y = -3x

19 Matemática I Prof. Alicia Herrera Ruiz4) Forma Ordinal, Canónica o Simétrica La ecuación ordinal o simétrica de la recta es la expresión de la recta en función de los interceptos con los ejes de coordenadas La Ecuación es la siguente: a es la abscisa en el origen de la recta: (a, 0) b es la ordenada en el origen de la recta: (0; b) Los valores de a y de b se pueden obtener de la ecuación general. Si y = 0 resulta x = a. Si x = 0 resulta y = b.

20 Matemática I Prof. Alicia Herrera RuizOBSERVACIÓN: Una recta carece de la forma ordinal en los siguientes casos: 1 Recta paralela al eje X, que tiene de ecuación y = n 2 Recta paralela al eje Y, que tiene de ecuación x = k 3 Recta que pasa por el origen, que tiene de ecuación y = mx.

21 Matemática I Prof. Alicia Herrera RuizCon los ejemplos discutidos podemos observar la interpretación geométrica de la pendiente de una recta:  Pendiente Tipo de recta positiva recta ascendente negativa recta descendente cero recta horizontal no definida recta vertical Ejercicio N° 6: 1) Una recta determina sobre los ejes coordenados, segmentos de 5 y 3 unidades, respectivamente. Hallar su ecuación. 2) Hallar la ecuación canónica de la recta que pasa por P(−2, 1) y tiene como pendiente -4/3.

22 Matemática I Prof. Alicia Herrera RuizEjercicios N° 7: 1. Indique  a qué cuadrante pertenece  los siguientes puntos.     A. (6,8)     B.(-2,7)     C. (-8,-3)     D. (0,-4)     E.(1,0) 2. Localice los siguientes puntos     A. (-3,-7)     B. (-2, -4)     C. (-1,-1)     D. (0 , 2 )     E. (1 , 5 )      F. (2 , 8 )     G. (3 ,11) 3. Resolver la ecuación para encontrar sus puntos  y coloque éstos en la gráfica. y = 2x + 1  

23 Matemática I Prof. Alicia Herrera Ruiz4. De los siguientes puntos, ¿cuáles son soluciones a la ecuación  y = -3x + 9?     A. (2, 3)     B. (5, 4)     C. (1, 9)     D. (0, 9)     E. (4,-3) 5. Buscar el intercepto de x e y de las siguientes ecuaciones:     A. y = 4x + 6     B. y = -3x + 7 6. Encontrar la pendiente de las rectas que pasan por los siguientes pares de puntos:     A. (2,5) y (-3,8)     B. (4,-8) y (-7,0)     C. (1,0) y (-2,-4) 7. Buscar la ecuación en todas sus formas ( punto-pendiente, general, pendiente ordenada en el origen y ordinal) de los puntos dados.     A. (5,0) y (2,-1)     B. (-3, -4) y (6,0)

24 Matemática I Prof. Alicia Herrera RuizRectas paralelas y perpendiculares Dos rectas son paralelas si tienen la misma pendiente L1 L2 Si L1 // L2 entonces: m1 = m2

25 Matemática I Prof. Alicia Herrera RuizEjemplo:

26 Matemática I Prof. Alicia Herrera RuizDos rectas son perpendiculares si tienen las pendientes invertidas y opuestas. L1 L2 Si L1 L2 entonces:

27 Matemática I Prof. Alicia Herrera RuizEjemplo:

28 Matemática I Prof. Alicia Herrera RuizEjercicios N° 8: Encuentre la ecuación de la recta que pasa por (-1,2) y es paralela a la recta −10x + 2y − 6 = 0. Si las ecuaciones y = (7-2k)x+kx+5 e y =3-(4k-1)x, representan rectas paralelas. Hallar el valor de k 3) Encuentre la ecuación de la recta que pasa por A(7,-3), y perpendicular a la recta cuya ecuación es 2x − 5y = 8.

29 Matemática I Prof. Alicia Herrera RuizPunto de Intersección de dos Rectas Para hallar el punto de intersección de dos rectas es necesario desarrollar un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas. Este procedimiento será de utilidad para encontrar el punto de equilibrio de mercado en las aplicaciones de la función lineal en la administración y economía. Ejercicios N° 9: 1) Hallar la intersección de las rectas L1 : 2x + 3y +1 = 0 y L2: 3x + 4y = 0 2) Encuentra la intersección de dos rectas: L1 : y = - 3/2x + 7/2 y L2: 4/3x + 2/3

30 Matemática I Prof. Alicia Herrera Ruiz3) Escribe la ecuación de la recta dada: 4) Según el gráfico: a) Escribe la ecuación en forma pendiente ordenada para cada una de las rectas graficadas. Recta a: __________________ Recta b: __________________ b) Escribe las coordenadas del punto de intersección de las rectas a y b ____________ c) Verifica que el par ordenado que registraste como punto de intersección es la solución al sistema lineal.

31 Matemática I Prof. Alicia Herrera RuizFunciones

32 Matemática I Prof. Alicia Herrera RuizPRODUCTO CARTESIANO: Dado un conjunto “A” llamado conjunto de partida, y un conjunto “B” llamado conjunto de llegada, se define el producto cartesiano “A x B” entre ambos conjuntos como el conjunto de todos los pares ordenados que se pueden formar: donde el primer componente pertenece a “A” y el segundo componente del par pertenece a “B”. Se escribe:       Por lo tanto, el producto cartesiano: es un conjunto cuyos elementos son pares ordenados, de modo que la primera componente se ha tomado de un conjunto original llamado “Conjunto de Partida” y la segunda componente se ha tomado de otro conjunto original llamado “Conjunto de Llegada”

33 Matemática I Prof. Alicia Herrera RuizEjemplo:

34 Matemática I Prof. Alicia Herrera RuizEjercicios N° 10: Sea los conjuntos A={1,2,3} y B={4,5,6} Hallar el producto cartesiano AXB 2) Dados: A = { 1; 2; 3 } y B = {a; b} Halle los productos cartesianos: a) A x B b) B x A c) gráfica cartesiana de A XB

35 Matemática I Prof. Alicia Herrera Ruiz2) RELACIÓN Se dice que  es una relación que aplica “A” en “B”, si es un subconjunto del Producto Cartesiano “A x B”, o sea que es un determinado conjunto de pares ordenados cuya primer componente pertenece a “A”, (llamado Conjunto de Partida) y cuya segunda componente pertenece a “B”, (Conjunto de Llegada).

36 Matemática I Prof. Alicia Herrera Ruiz3) Dominio y Rango de una relación Se llama “Dominio” de una relación  al subconjunto incluido en el conjunto de partida de los elementos de “A” que tienen imagen sobre el conjunto de Llegada. Gráficamente es el subconjunto de “A” desde donde parten las flechas. Se llama “Rango o Imagen” de una relación  al subconjunto incluido en el conjunto de llegada de los elementos de “B” que son imagen de al menos un punto del conjunto de partida. Gráficamente es el subconjunto de “B” hacia el cual llegan las flechas.

37 Matemática I Prof. Alicia Herrera RuizEjercicios N° 11: Dados A = {2,3,4,5} y B = {4,6,9}, siendo , R : A —> B la relación tal que "x + y < 8” , determina: a) Conjunto Solución, b) Dominio, c) rango d) Diagrama de flechas o sagital 2) Si: Hallar :

38 Matemática I Prof. Alicia Herrera RuizII. FUNCIÓN: Sean A y B dos subconjuntos de R. Cuando existe una relación entre las variables, x e y, donde x Î A e y Î B, en la que a cada valor de la variable independiente x le corresponde un único valor de la variable dependiente y, diremos que dicha relación es una función. Reconocimiento de una función: Para que una relación  sea una “relación funcional” o “función” deben cumplirse la siguiente condición:

39 Matemática I Prof. Alicia Herrera RuizUnicidad: Cada elemento correspondiente al conjunto del dominio debe tener una sola imagen en el conjunto de llegada “B”. Es decir que no puede haber un elemento del dominio asociado con dos valores distintos de imagen en el conjunto de llegada. En lenguaje simbólico: La relación del ejemplo no cumple unicidad debido a que el elemento “2” tiene dos imágenes distintas en “B”.

40 Matemática I Prof. Alicia Herrera Ruiz

41 Matemática I Prof. Alicia Herrera RuizEN EL PLANO CARTESIANO: PARA CONJUNTOS REALES:

42 Matemática I Prof. Alicia Herrera RuizDada una relación en coordenadas cartesianas, para determinar si es función o no, se procede así: Se toma una recta vertical (de ecuación x = constante) y se “barre” con ella todos los elementos del conjunto de partida “A” especificados. 2) Si esta recta “imaginaria” corta siempre una y sólo una vez a la gráfica dada, la misma corresponde a una función. Si no la corta en algún punto o la corta más de una vez, no corresponderá a una función.

43 Matemática I Prof. Alicia Herrera RuizAlgunos ejemplos de relaciones que no son función:

44 Matemática I Prof. Alicia Herrera RuizEjercicios N° 12: 1) Dados los conjuntos A = {1, 3 ; 5 } y B = {1 ; 3 ; 7 ; 9 ; 11 } Determinar : a) Dado el producto Cartesiano de A x B indicar partida y de llegada. b) El producto Cartesiano de A x B c) Hallar la función que cumpla con y = 2x+1 o lo que es lo mismo: f(x) = 2x+1. d) Indicar si la relación obtenida es una función e) Establecer el dominio y el rango f) Graficar en el plano cartesiano 2) Dadas las siguientes relaciones mediante diagrama de flechas, determinar si se trata de funciones o no. En este último caso indicar la condición que no se cumple.

45 Matemática I Prof. Alicia Herrera RuizDadas las siguientes relaciones mediante diagramas cartesianos "XY", determinar si se trata de funciones o no. En este último caso indicar la condición que no se cumple.

46 Matemática I Prof. Alicia Herrera RuizFUNCIÓN LINEAL La función más simple en la matemática es la función lineal o de primer grado, donde la incógnita x aparece sólo elevada a la primera potencia. Su forma general es: Como ya hemos visto la ecuación de la recta, La variable y depende de la variable “x”, entonces, y = f(x)

47 Matemática I Prof. Alicia Herrera RuizEjercicios N° 13: 1) Dadas las siguientes funciones lineales Graficar usando los conceptos de pendiente y ordenada al origen. Hallar el cero, igualando la función a cero y despejando la “x”. Verificar su ubicación en el gráfico. Decir si la función es creciente, decreciente o constante.

48 Matemática I Prof. Alicia Herrera Ruiz2) Dadas las siguientes gráficas, hallar la función lineal correspondiente

49 Matemática I Prof. Alicia Herrera Ruiz2. PROBLEMAS DE APLICACIÓN DE LA FUNCIÓN LINEAL: COSTOS TOTALES: En otros términos : C= CF + CV Donde el costo variable es= ( costo unitario) (n° de unidades) Cv = Cu. Q Nota, se puede utilizar “q” o “x” para el número de unidades

50 Matemática I Prof. Alicia Herrera RuizINGRESOS Se refiere a las ventas realizadas También puede ser I = ( Pv ) . ( q )

51 Matemática I Prof. Alicia Herrera RuizUTILIDAD Por último se define la "utilidad", "beneficio" o "ganancia o pérdida" a la diferencia entre ingresos y costos. Si la utilidad es positiva, entonces: I > C GANANCIA Si la utilidad es negativa, entonces I < C PÉRDIDA Si la utilidad es cero, entonces I = C NI GANANCIA NI PÉRDIDA (PUNTO DE EQUILIBRIO)

52 Matemática I Prof. Alicia Herrera RuizSe cumple la siguiente gráfica: I;C Ingreso Costo ganancia I = C Cf pérdida q n° unidades

53 Matemática I Prof. Alicia Herrera RuizEjercicios N° 14: Una empresa fabrica un producto que tiene costos variables de S/. 5 por unidad y costos fijos de S/ Cada unidad tiene un precio de venta de S/. 12. Determine el número de unidades que deben venderse para que la compañía obtenga utilidades de S/ Hallar el punto de equilibrio y graficar. 2) Los costos fijos de una empresa (luz, teléfonos, alquileres etc.), que son independientes del nivel de producción, ascienden a $ El costo variable o costo por unidad de producción del bien es de $ 22,50. El precio de venta del producto es de $ 30,00 por unidad. Calcular su punto de equilibrio. 3) Una empresa para resolver sus problemas de facturación puede optar por: Alternativa 1: Alquiler de una computadora, los programas y hacer  la facturación Costo del alquiler y programas $ por año  y $ 0,65 es el costo por factura emitida. Por lo tanto la función de esta alternativa podemos definirla como A(x) = 0,65 x Alternativa 2: Contratar un servicio que se encargue del total del trabajo a realizar cuyo costo sería de $ anuales más $ 0,95 por factura procesada. Por lo tanto la función de esta alternativa podemos definirla como C(x) = 0,95 x

54 Matemática I Prof. Alicia Herrera RuizOferta y Demanda El punto de equilibrio de mercado ocurre en un precio (p) en el cual la cantidad ofrecida es igual a la cantidad demandada (q). Esto corresponde al punto de intersección de las rectas de oferta y demanda. Algebraicamente, el precio (p) y cantidad (q) de equilibrio de mercado se determinan resolviendo las funciones de oferta y demanda como un sistema de ecuaciones lineales. Para establecer el punto de equilibrio es necesario determinar las ecuaciones de oferta y demanda, las cuales tienen la siguiente forma: (oferta) (demanda) (demanda) p: es el precio del producto q: la cantidad de unidades a ofrecer o demandar, según sea el caso (oferta o demanda) m: la pendiente es una constante positiva en el caso de la oferta y negativa para el caso de la demanda El punto de equilibrio está dado por : OFERTA = DEMANDA

55 Matemática I Prof. Alicia Herrera Ruizprecio OFERTA m+ p DEMANDA m- q n° unidades

56 Matemática I Prof. Alicia Herrera RuizEjercicio N° 15: Si el precio se fija en $220 entonces la oferta es de unidades. Si el precio se fija en $227 entonces la oferta es de unidades. Si el precio se fija en $220 entonces la demanda es de unidades, Si el precio se fija en $227 entonces la demanda es de unidades. Hallar las ecuaciones de oferta y demanda, el punto de equilibrio y graficar.

57 Matemática I Prof. Alicia Herrera RuizRespuesta gráfica:

58 Matemática I Prof. Alicia Herrera RuizFUNCIÓN CUADRÁTICA Una función cuadrática es una función f : IR® IR cuyo criterio de asociación es de la forma: con a , b y c constantes reales, a¹ 0. Donde “a” determina la orientación de la parábola. Por ejemplo las siguientes son funciones cuadráticas: f ( x ) =ax2 + bx + c con a=-2, b=4, c=-1 se abre para abajo, porque “a” es (-) y=-2x2+4x-1

59 Matemática I Prof. Alicia Herrera Ruizcon a=5, b=-4, c=2 Se abre para arriba porque “a2 es (+) y= 5x2-4x+2 con a=1, b=-3, c=0 y=x2-3x

60 Matemática I Prof. Alicia Herrera Ruizcon a=-1, b=0, c=4 y=-x2+4

61 Matemática I Prof. Alicia Herrera RuizGRÁFICA DE UNA PARÁBOLA: Podemos construir una parábola a partir de estos puntos: 1. Vértice Por el vértice pasa el eje de simetría de la parábola. 2. Puntos de corte con el eje X En el eje de abscisas la segunda coordenada es cero, por lo que tendremos: ax² + bx +c = 0 Resolviendo la ecuación podemos obtener: Dos puntos de corte: (x1, 0) y (x2, 0) si b² − 4ac > 0 Un punto de corte: (x1, 0) si b² − 4ac = 0 Ningún punto de corte si b² − 4ac < 0 3. Punto de corte con el eje OY En el eje de ordenadas la primera coordenada es cero, por lo que tendremos: f(0) = a · 0² + b · 0 + c = c        (0,c)

62 Matemática I Prof. Alicia Herrera RuizEjercicios N° 16: Representar la función f(x) = x² − 4x + 3. 2) Representa gráficamente la función cuadrática: y = -x² + 4x – 3 3) Representa gráficamente la función cuadrática: y = x² + 2x + 1 4) Representa gráficamente la función cuadrática: y = x² +x + 1

63 Matemática I Prof. Alicia Herrera RuizConstrucción de parábolas a partir de y = x² Partimos de y = x² x y = x² -2 4 -1 1 2 Traslación vertical y = x² + k Si k > 0, y = x² se desplaza hacia arriba k unidades. Si k < 0, y = x² se desplaza hacia abajo k unidades. El vértice de la parábola es: (0, k).

64 Matemática I Prof. Alicia Herrera RuizEl eje de simetría x = 0. y = x² y = x² −2

65 Matemática I Prof. Alicia Herrera Ruiz2. Traslación horizontal y = (x + h)² Si h > 0, y = x² se desplaza hacia la izquierda h unidades. Si h < 0, y = x² se desplaza hacia la derecha h unidades. El vértice de la parábola es: (−h, 0). El eje de simetría es x = −h. y = (x + 2)² y = (x − 2)²

66 Matemática I Prof. Alicia Herrera Ruiz3. Traslación oblicua y = (x + h)² + k El vértice de la parábola es: (−h, k). El eje de simetría es x = −h. y = (x − 2)² y = (x + 2)² − 2

67 Matemática I Prof. Alicia Herrera RuizPROBLEMAS DE APLICACIÓN DE LA FUNCIÓN CUADRÁTICA Las aplicaciones que revisaremos están orientadas a solucionar casos de: Costos, Ingresos y Utilidades. Debemos recordar : Costos Totales = Costos Fijos + Costos Variables Ingreso Total = Precio de venta . Cantidad vendida Utilidad = Ingresos Totales – Costos Totales Además los costos que nos pedirán serán los MÍNIMOS El ingreso será el MÁXIMO Y La utilidad será la MÁXIMA Costo mínimo unitario -b / 2a ; C (-b / 2a ) Unidades que minimizan el costo

68 Matemática I Prof. Alicia Herrera RuizEjercicios N° 17: El costo promedio por unidad ( en dólares) al producir x unidades de cierto artículo es C(x) = x x2. ¿Qué número de unidades producidas minimizarán el costo promedio?. b) ¿Cuál es el correspondiente costo mínimo por unidad? 2) Una empresa tiene costos fijos mensuales de $ 2000 y el costo variable por unidad de su producto es de $ 25. a) ) Determine la función de costo b) El ingreso I obtenido por vender x unidades está dado por f(x) = 60x q2. Determine el número de unidades que deben venderse al mes de modo que maximice el ingreso. ¿ Cuál es el ingreso máximo? c) ) ¿Cuántas unidades deben producirse y venderse al mes con el propósito de obtener una utilidad máxima? ¿ Cuál es está utilidad máxima?

69 Matemática I Prof. Alicia Herrera RuizProporcionalidad

70 Matemática I Prof. Alicia Herrera RuizLa armonía matemática en la Naturaleza: el número de Oro Cuando algo nos parece estéticamente proporcionado ello es debido a una explicación matemática, a la llamada "proporción aurea" o "divina proporción". Recibe el nombre de "divina proporción" porque es la proporción que tiene la naturaleza, o la proporción que Dios materializó en la naturaleza, según creían algunas civilizaciones.

71 Matemática I Prof. Alicia Herrera RuizREGLA DE TRES MAGNITUDES DIRECTAMENTE PROPORCIONALES REGLA DE TRES SIMPLE DIRECTA Ejemplo a) Si por 12 camisetas pago 96€, ¿cuánto pagaré por 57 de esas camisetas? ( Es directa porque a doble de camisetas corresponde doble dinero) Si dos magnitudes son tales que a doble, triple... cantidad de la primera corresponde doble, triple... de la segunda, entonces se dice que esas magnitudes son directamente proporcionales. Rpta: €

72 Matemática I Prof. Alicia Herrera Ruizb) Un auto gasta 5 litros de gasolina cada 100 km. Si quedan en el depósito 6 litros, ¿cuántos kilómetros podrá recorrer el auto ? Luego con 6 litros el coche recorrerá 120 km

73 Matemática I Prof. Alicia Herrera RuizMAGNITUDES INVERSAMENTE PROPORCIONALES REGLA DE TRES SIMPLE INVERSA Ejemplo a) Para realizar cierto trabajo 10 obreros emplean 8 horas. ¿Cuánto les hubiera costado a 16 obreros? (Es inversa porque a doble de obreros corresponde mitad de tiempo) Si dos magnitudes son tales que a doble, triple...cantidad de la primera corresponde la mitad, la tercera parte... de la segunda, entonces se dice que esas magnitudes son inversamente proporcionales. Rpta: 5 horas

74 Matemática I Prof. Alicia Herrera Ruizb) Para envasar cierta cantidad de vino se necesitan 8 toneles de 200 litros de capacidad cada uno. Queremos envasar la misma cantidad de vino empleando 32 toneles. ¿Cuál deberá ser la capacidad de esos toneles? Pues la cantidad de vino=8.200=32.x Debemos tener 32 toneles de 50 litros de capacidad para poder envasar la misma cantidad de vino.

75 Matemática I Prof. Alicia Herrera RuizEjercicios N° 18: En 50 litros de agua de mar hay 1300 gramos de sal. ¿Cuántos litros de agua de mar contendrán 5200 gramos de sal? 2) Un ganadero tiene alimento suficiente para alimentar 220 vacas durante 45 días. ¿Cuántos días podrá alimentar con la misma cantidad de pienso a 450 vacas?

76 Matemática I Prof. Alicia Herrera RuizPORCENTAJES El porcentaje concierne a un grupo de fracciones decimales cuyos denominadores son 100 . Dado el intenso uso del centésimo desapareció la coma decimal y se colocó el símbolo %, que se lee "por ciento" (por cien). Entonces, 0,15 y 15 % representan el mismo valor, 15/100. El primero se lee "quince centésimos" y el segundo se lee "quince por ciento". Ambos significan 15 partes de 100.

77 Matemática I Prof. Alicia Herrera RuizPorcentajes Cualquier cantidad presentada, se puede considerar como una cantidad total que se puede dividir en 100 partes. Cada parte representa el del total, a la cual llamaremos “1 por ciento” y la denotamos por 1%. EJEMPLOS : Hallar el 20% de $700 Hallar el 4% del 60% de 5000 De un total de 500 niños y niñas de la calle, el 30% son menores de 10 años y el 20% de éstos son niñas. ¿Qué cantidad son niñas menores de 10 años? a) b) c) d) 30 e) 33,5

78 SEMEJANZA CON LAS FRACCIONES Y REPRESENTACIÓN GRÁFICA:Así tenemos: 50 % = 1/ 2 Esto es porque: 50%= 50 % % ½ del ½ del total total

79 25 % = 1/ 4 Esto es porque: % = 75 % = 3 / 4 Esto es porque: % = 25 % 75% 1/4 del /4 del total total

80 Equivalencias fraccionarias notables:1% = 1/ 100 20% = 1/5 100% = 1 5% = 1/20 25% = 1/4 30% = 3/10 10% = 1/10 50% = 1/2 60% = 3/5 75% = 3 /4

81 EJEMPLOS: La siguiente figura representa a 500 familias. El área sombreada representa a las familias sin hijos, ¿cuántas familias y qué porcentaje del total de familias tiene hijos? a) 375 familias y 25% b) 125 familias y 75% c) 375 familias y 75% d) 125 familias y 15% e) No se puede determinar.

82 VARIACIÓN PORCENTUAL:En estos casos debemos tener mucho cuidado al tomar la cantidad total, la que le corresponderá el 100%. Una vez ubicada esa cantidad sólo nos queda trabajar una proporción o regla de tres. 10% 180 EJEMPLOS : Encuentra la cantidad inicial a) b) c) d) e) 200

83 ¿Cuánto había al comienzo?60 20%

84 Matemática I Prof. Alicia Herrera RuizEjercicios N° 19: 1) Un comerciante compró un estante cuyo valor era de $200 le hicieron un descuento primero de 20% y luego de 10% sobre el resto, el precio que pagó fue: $120 b) $ c) $ d) $142 2) En un aula de 60 estudiantes de los cuales 12 son hombres, indique, respectivamente qué tanto por ciento representa el número de hombres, el número de mujeres y el número de hombres respecto al de mujeres. a) 20, 80 y 25% b) 30, 80 y 150% c) 15, 20 y 60% d) 45,5 ; 20 y 60%

85 Matemática I Prof. Alicia Herrera RuizAPLICACIONES COMERCIALES: Índice de variación n Es el número por el que hay que multiplicar una cantidad inicial (precio inicial) para obtener la cantidad final (el precio final). Por ejemplo: Si en unas rebajas nos hacen un descuento de un 15% sobre un artículo El % real que se aplica es del 85 %, siendo su tanto por uno 0,85. Por lo tanto n = 0,85. Al comprar un pantalón nos aplican un IGV del 19 %. El porcentaje real que se aplica es del 119 % y su tanto por uno es 1,19, luego n = 1,19.

86 Matemática I Prof. Alicia Herrera RuizAUMENTOS Y DESCUENTOS Para resolver este tipo de problemas utilizaremos la fórmula Cf = n×Ci Siendo: CF: la cantidad final n: el índice de variación CI: la cantidad inicial A) Cálculo del precio final Ejemplos: Un televisor que costaba 820 soles, se rebaja en un 22 %. ¿Cuánto cuesta ahora? Precio inicial: Cf= n×Ci Precio final: CF CF = 0,78 · 820 % Descuento: CF = 639, 6 soles es el precio final % Real que se aplica: 78 n: 0,78

87 Matemática I Prof. Alicia Herrera Ruiz2) A un reloj de $ 95 hay que añadirle el 19 % de I.G.V.. ¿Cuál será su precio final? Precio inicial: Cf= n×Ci Precio final: CF CF = 1,19 · 95 % Aumento: CF = $ 113,05 es el precio final % Real que se aplica: 119 n: 1,19

88 Matemática I Prof. Alicia Herrera RuizCálculo del precio inicial Ejemplos: Por una camisa, que estaba rebajada un 12 %, he pagado 74,8 soles. ¿Cuál era su precio inicial? Precio inicial: ¿? Cf = n×Ci Precio final: 74, ,8 = 0,88 · CI % Descuento: CI = S/. 85 es el precio sin rebajar de la camisa. % Real que se aplica: 88 n: 0,88

89 Matemática I Prof. Alicia Herrera RuizC) Cálculo del porcentaje de incremento o descuento Ejemplos: Por una chompa que costaba S/.84 he pagado S/.71,4 . ¿Qué % de descuento me han hecho? Precio inicial: Cf = n×Ci Precio final: 71, ,4 = n · 84 % Descuento: ¿? n = 0,85 % Real que se aplica: ¿? % Real: 85 % Descuento: 15% n:¿? Un comercio, por gastos de envío, me ha cobrado 134,4 € por un artículo que costaba 120 €. ¿Qué porcentaje de incremento me ha aplicado? Precio inicial: Cf = n×Ci Precio final: 134, ,4 = n · 120 % Incremento:¿? n = 1,12 % Real: 112 % Incremento: 12% % Real que se aplica:¿? n: ¿?

90 Matemática I Prof. Alicia Herrera RuizD) ENCADENAMIENTO DE VARIACIONES PORCENTUALES Para calcular los porcentajes de aumentos y descuentos encadenados se multiplican los índices de variación n de cada uno de los casos. n = n1· n2· ……..nk Por ejemplo: Si una cantidad aumenta un 33 % y luego disminuye un 12 %, ¿cuál ha sido el % final que se ha aplicado? Aumento de 33 % % Real = 133 n1 = 1,33 Descuento de 12 % % Real = 88 n2 = 0,88 n = n1· n2 n = 1,33 · 0,88 n = 1,1704 % Real: 117,04 Aplicar un 33 % de aumento y un 20 % de descuento es equivalente a aplicar un 17,04 % de aumento.

91 Matemática I Prof. Alicia Herrera Ruiz2) Unas acciones que valían € suben un 60 %. Después vuelven a subir el 25 %. ¿Cuál será el precio final de las acciones? Aumento de 60 % % Real = n1 = 1,60 Aumento de 25 % % Real = n2 = 1,25 n = n1· n2 n = 1,60 · 1,25 n = 2 Cantidad inicial: Cf = n×Ci Cantidad final: ¿? CF = 2 · 1 000 n: 2 CF = € precio final de las acciones

92 Matemática I Prof. Alicia Herrera RuizFIJACIÓN DE PRECIOS Durante casi toda la historia los precios se fijaron por negociación entre quienes compran y quienes venden. Establecer un mismo precio para todos los compradores es una idea relativamente moderna que surgió con el desarrollo de las ventas al detalle a gran escala al final del siglo XIX.

93 Matemática I Prof. Alicia Herrera RuizFORMULARIO C = Costo total . - Es el gasto que hace la empresa por cada unidad que adquiere. MB = Margen de utilidad bruta.- Es el porcentaje de ganancia, puede ser respecto al costo o respecto al Valor de venta. UB = utilidad bruta.- Es la ganancia en dinero VV = Valor de Venta.- Es el resultado de sumar el costo total + la utilidad bruta COSTO + MARGEN DE UTILIDAD BRUTA =VALOR DE VENTA C + MB = V.V. IGV = Impuesto general a las ventas.- Es el 19% del Valor de venta. PV = Precio de venta.- Es el precio que paga el cliente por su compra. Éste incluye el I.G.V., que equivale al 19% del Valor de Venta. VALOR DE VENTA + I.G.V. = PRECIO DE VENTA VV + IGV = PV O mejor aún: ,19 (VV ) = PV

94 Si lo produce o lo compraUtilidad Bruta genera Costo = Valor de Venta + + C. Fijos I.G.V. C. Variables = Precio de Venta

95 ¿Cómo se aplica el margen?El margen de Utilidad Bruta , se expresa como un % Sobre el valor de venta (1) Costo Utilidad Bruta Valor de Venta (2) Sobre el costo

96 Ejercicios N° 20: La tienda “Casita Feliz” tiene que colocar los precios a sus productos, para ello deben completar el siguiente cuadro: Producto Costo unitario Ganancia MB y UB Valor de Venta IGV Precio de Venta Aspiradora Ultracomb 1200 W - 20 lts. de capacidad $320.00 MB= 30% del costo UB= Cafetera Automática "Ultracomb" 800 W - 12 Pocillos $105.00 MB= 12% del VV Cafetera Expresso "Yelmo" 800 W - Presion de 5 bar MB= 25% del costo $213.00

97 Matemática I Prof. Alicia Herrera RuizProducto Costo unitario Ganancia MB y UB Valor de Venta IGV Precio de Venta Extractor de Jugos Yelmo 700 W - Cuchillas de Acero Inoxidable MB= 10% del VV UB= $279.00 Extractora de Jugos Ultracomb 800 W ml de Jugo MB= 20% del costo $398.00 Fuenton Plástico, Capacidad 40 Lts; Por Unidad $18.50

98 Aspiradora Ultracomb C = 380 MB= 30% del costo El valor de venta será:Margen de Utilidad Bruta ( MB ) Valor de Venta (V. Vta) = Costo ( C ) + 30% (380) = V. Vta. 380 + 114  V. Vta = 434 IGV = 19% ( 434) = 82,46 Precio de Venta: VV + IGV = PV ,46 = 516,46

99 Cafetera Automatica: C = 105 MB= 12% del valor de venta El valor de venta será: Margen de Utilidad Bruta ( MB ) Valor de Venta (V. Vta) Costo ( C ) + = 105 + 12% (V. Vta) = V. Vta. 105 = V.Vta - 12% V.Vta 105 = 88% V.Vta. 105 = V. Vta 88% V. Vta = 119,32

100 El valor de venta será: C + MB = V.V. C + 12%(VV) = VV 105 = VV - 12%(VV) 105 = 88% VV 119,32 = VV De aquí la UB = VV – C = 119,32 – 105 = 14,32 El IGV: IGV = 19% ( 119,32) = 22,67 Precio de Venta: VV + IGV = PV 119, ,67 = 141,99

101 Matemática I Prof. Alicia Herrera RuizLa tabla completa sería: Producto Costo unitario Ganancia MB y UB Valor de Venta IGV Precio de Venta Aspiradora Ultracomb 1200 W - 20 lts. de capacidad $320.00 MB= 30% del costo UB= 114 434 82,46 516,46 Cafetera Automatica "Ultracomb" 800 W - 12 Pocillos $105.00 MB= 12% del VV UB= 14,32 119,32 22,67 141,99 Cafetera Expresso "Yelmo" 800 W - Presion de 5 bar 170,4 MB= 25% del costo UB= 42,6 $213.00 40,47 253,47 Extractor de Jugos Yelmo 700 W - Cuchillas de Acero Inoxidable 251,1 MB= 10% del VV UB= 27,9 $279.00 47,71 326,71 Extractora de Jugos Ultracomb 800 W ml de Jugo 278,71 MB= 20% del costo UB= 55,74 334,45 63,55 $398.00 Fuenton Plastico, Capacidad 40 Lts; Por Unidad 13,99 UB= 15,55 2,95 $18.50

102 Matemática I Prof. Alicia Herrera RuizConversiones y contenedores

103 Matemática I Prof. Alicia Herrera RuizConversiones Ejercicios N° 21: Utilizando la ficha de conversiones, hallar: 1) 45” a millas terrestres. = = 0,0071 millas terrestres 2) 5.9 yd2 a Acres: = = , Ac

104 Matemática I Prof. Alicia Herrera Ruiz Matemática I Prof. Alicia Herrera Ruiz 3) a 25 lb. 25lb = lb. 96.25 lb.1 kg. 2.2 lb. 43.75 kg. 1 q. = = q. 50 kg. u. 1mm 1000 u. 3000 mm. 1 pie 304.8 mm. = 9.84 pies 0.083 km. 3280,8 pies 1 km = pies pies x pies = pies 2 4) Hallar el área en pies cuadrados 3x 105 u. 0.083 km.

105 Matemática I Prof. Alicia Herrera Ruiz5) Bimestres bim 1 año = años año entero 6 bim años 12meses = meses meses enteros 1 año meses 30 días = 22,17072 días días enteros 1 mes 0, días 24 horas = 4,09728 horas horas enteras 1 día 0, horas min.= 5,8368 min minutos ent. 1 hora 0, 8368 min. 60 seg. = 45,20 s segundos 1 min. 1 Año, 5 Meses , 22 Días, 4 Horas, 5 Minutos, 50 Segundos.

106 Matemática I Prof. Alicia Herrera Ruiz6) 5 Trimestres, 1 bimestre, 1 mes, 28 Días, 13 Horas, a años solamente. 13 horas. 1 dia 24 horas días 1 mes 30 días meses 1 bimestre 2 meses bimestres 2 meses 1 bimestre años

107 Matemática I Prof. Alicia Herrera RuizContenedores

108 Matemática I Prof. Alicia Herrera Ruiz

109 Matemática I Prof. Alicia Herrera Ruiz

110 Matemática I Prof. Alicia Herrera Ruiz

111 Matemática I Prof. Alicia Herrera RuizEjercicios N° 22: 1) Se desea exportar espárragos a China, en cajas que contengan 24 latas del producto. Cada lata pesa 210gr. Y cada caja vacía pesa 400g. El transporte se realizará mediante un contenedor 20’ Standard. Las dimensiones de las cajas que contienen los enlatados son: largo: 47 cm., ancho: 24 cm , altura: 21 cm. Encontrar la mejor manera de apilar dichas cajas en el contenedor.

112 Matemática I Prof. Alicia Herrera RuizUn grupo de egresados de ADEX, decide continuar con la empresa formada durante sus estudios. Su empresa “CUEROS”, se dedica a la fabricación de carteras de cuero. Sus i innovadores diseños son exportados a Europa. Para ello embalan 8 carteras por caja de madera. Si cada cartera pesa 800gr., y cada caja de madera vacía pesa 1,5 kg., cuyas dimensiones son : largo: 57 cm, ancho: 38 cm, alto: 30 cm.¿Cuántas carteras lograrán exportar en un contenedor? y ¿de qué manera se apilarán las cajas?. Esta vez, utilizarán un contenedor 40’ OPEN TOP

113 Matemática I Prof. Alicia Herrera RuizMatemática Financiera Interés simple

114 Equivalencia FinancieraEl valor del dinero en el tiempo y la tasa de interés ayudan a desarrollar el concepto de Equivalencia Financiera y esto significa que sumas diferentes de dinero en momentos diferentes de tiempo son iguales en valor económico. Por ejemplo, si la tasa de interés es de 7% anual, $100 (tiempo presente) Serían equivalentes a $107 dentro de un año a partir de hoy, entonces para un individuo es lo mismo tener $100 hoy a $ 107 el día de mañana.Y este incremento se dio debido a la tasa de interés. Por lo tanto es el mismo valor económico o equivalente.

115 Interés Simple Interés que se carga al final del período y que no gana interés en el período o períodos subsiguientes El interés simple se calcula utilizando sólo el principal, ignorando cualquier interés causado en los períodos de interés anteriores Ejemplo: Un capital de 100 dólares al 10% en tres periodos 2 3 Tiempo 1 $100 $10 $10 $10 Total en los 3 periodos $30

116 Nomenclatura Universal Nomenclatura EspañolaDenominación de Variables Nomenclatura Universal I = interés generado ($) VP = es el capital o principal que se da o se recibe en préstamo i = tasa de interés anual (%) n = número de años o períodos, tiempo VF = monto o valor futuro a fin del período Nomenclatura Española I=interés simple C=capital o principal i=tasa (tipo de interés tanto por ciento) t=tiempo M=monto

117 La fórmula que utilizaremos es la siguiente:x100 VF = VP + I

118 Capitalización y ActualizaciónEl planteamiento de los problemas económicos-financieros se desarrolla en torno a dos conceptos básicos: capitalización y actualización. El concepto de capitalización se refiere al estudio del valor en fecha futura o monto que se obtendrá o en que se convertirán los capitales en fechas colocados en fechas anteriores. El concepto de actualización se refiere al estudio del valor en la fecha actual o presente de capitales

119 Ejemplo de Valor presente simpleUn miroempresario desea innovar su equipo de trabajo y recurre a una institución crediticia, que le cobra el 16% de interés simple, ¿Qué cantidad le prestaron si tendrá que pagar $52,600 dentro de 5 meses? Tiempo 1 2 5 Meses 3 4 ¿Valor? $52,600

120

121 Ejemplo de Valor futuro simpleUna institución crediticia otorga un préstamo de $ pesos a una tasa de interés simple de 16% ¿Cuál será el monto de ese préstamo, después de 5 meses? $ 2 1 3 4 5 Meses Tiempo ¿Valor?

122

123 ¿Cuáles son los intereses que se genera un capital de Cuando el tiempo no coincide con la tasa ¿Cuáles son los intereses que se genera un capital de $ 12,500 a una tasa de referencia de en un periodo de 30 días? Tiempo 1 2 30 días 3 4 $ 12,500 ¿Intereses + el principal?

124

125 ¿Cuáles son los intereses que genera un capital de Recuerda que debes cambiar el tiempo según la tasa ¿Cuáles son los intereses que genera un capital de $ 12,500 a una tasa de referencia de en un periodo de 30 días? Capital o principal Intereses I=$ VP= $12,500 $ 12,500 10 5 15 20 30 días Tiempo Este es monto total al final del periodo $