1 Prof. Luis Martínez Catalán 2008DERIVACION IMPLICITA Prof. Luis Martínez Catalán 2008

2 DERIVACION IMPLICITA En general, la ecuación , para determinados intervalos de , define a como una función de ; en tal caso su derivada se determina por el METODO DE DERIVACION IMPLICITA que consiste en derivar directamente, la ecuación considerada, como un polinomio en e teniendo presente que, para determinar dos intervalos de , la variable se comporta como función de y es diferenciable con respecto a , es decir, existe , que por la regla de la cadena, debe derivarse primero con respecto a y luego con respecto a

3 Ej: Por el método de derivación implícita, encontrar1) -

4 2)

5 Ej: Determinar , si Solución:

6 Ej: Hallar la derivada de la relaciónSolución: Por definición de valor absoluto se tiene: ii) i) En i) y ii), derivando implícitamente, se observa que la derivada del 2º miembro es nula, por lo tanto, para i) y ii), se tiene: -

7 Ej: Hallar la ecuación de la tangente y normal a la curva En el punto (1,1) de ella Solución: (1,1) es pto. de la curva. Derivando implícitamente con respecto a se tiene: - T: N:

8 DERIVADA DE ORDEN SUPERIORSí es diferenciable, entonces se tiene , 1ª derivada de con respecto a Puesto que es función de , se tiene derivando con respecto a , 2ª derivada de con respecto a es función de , entonces: , 3ª derivada de con respecto a

9 Sí tiene derivadas, se llega a la expresión:, -ésima derivada de con respecto a Ej: Determinar las derivadas sucesivas de Solución:

10 Ej: Determinar en la ecuación , suponiendoque es función de Solución: Derivando implícitamente:

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12 APLICACIONES DE LA DERIVACIONTEOREMA (Teorema de los valores extremos) Si es una función continua definida en el intervalo cerrado , existe (por lo menos) un punto tal que , en el cual toma el mayor valor, y existe, (por lo menos) un punto , tal que en el cual toma el menor valor.

13 Gráficamente se cumple en que es el máximo valor de en yse cumple en que es el máximo valor de en y es el mínimo valor de en

14 TEOREMA: Supóngase que es continua en un intervalo que toma suvalor máximo (o mínimo) en algún punto que está en el interior del Intervalo. Si existe , entonces COROLARIO: Sí es un mínimo de , entonces , Siempre que exista la derivada NOTA: Es importante hacer notar que debe ser un punto interior al intervalo, puesto que , definida en Tiene un máximo en y un mínimo en y además en todo punto del intervalo

15 x y 1 2 es un mínimo de es un máximo de

16 APLICACIONES DE LA DERIVADA A LA REPRESENTACION GRAFICA DE FUNCIONESEstudiaremos los siguientes conceptos en forma simultánea: Función Creciente, Función Decreciente, Máximo y/o Mínimo Relativo, Concavidad hacia arriba, Concavidad hacia abajo y punto de inflexión en la función. Analizando el comportamiento de la función se tiene, sí: es un máximo o un mínimo concavidad Punto de inflexión de la función, cambio de concavidad

17 Entonces: 1) es un máximo relativo de la función en 2) es un mínimo relativo de en 3) tiene un punto de inflexión en NOTA 1: Los puntos donde tiene un máximo, un mínimo y un punto de inflexión se llaman puntos críticos de la función. NOTA 2: No siempre cuando la función tiene un punto extremo (máximo o mínimo).

18 Ej: Estudie y grafique la funciónDominio de existencia: Intervalos de crecimiento y decrecimiento: Puntos extremos -1 1

19 Sí es creciente es decreciente es creciente

20 Concavidad: Punto de inflexión Sí es cóncava hacia abajo es cóncava hacia arriba Ahora: y tiene un máximo, su valor tiene un mínimo, su valor

21 Así la gráfica resulta:x y -1 1 5 -3