1 Projekt badawczy: „Czy istnieje prosta zależność między liczbą ścian S, krawędzi K i wierzchołków W wielościanu lub związek między jego kątami i S, K, W ?”.

2 W naszej prezentacji będziemy omawiać wyniku naszego projektu badawczego dotyczącego wielościanów i ich zastosowaniu w życiu codziennym i różnych dziedzinach nauki…

3 Na początek zbadamy jak obliczyć sumie miar n-kąta wypukłego.Wielościan w przestrzeni jest analogiczny do wielokąta na płaszczyźnie. Wiadomo, na przykład, że suma kątów trójkąta jest jednakowa dla wszystkich trójkątów i wynosi , niezależnie od ich wielkości i kształtu. Suma kątów wewnętrznych n-kąta wypukłego wynosi . Z dowolnego wierzchołka wielokąta prowadzimy przekątne. W ten sposób dzielimy wielokąt na trójkąty. Suma miar kątów tych trójkątów jest równa sumie miar kątów wielokąta. Mamy więc:

4 Teraz zdefiniujemy kąt dwuścienny:Kąt dwuścienny . Dwie półpłaszczyzny o wspólnej krawędzi dzielą przestrzeń na dwie części. Każdą z tych części nazywamy kątem dwuściennym. Rozważane półpłaszczyzny nazywamy ścianami kąta dwuściennego. Prostą będącą ich częścią wspólną nazywaną krawędzią kąta dwuściennego. 

5   Czy suma kątów dwuściennych czworościanu jest taka sama dla każdego czworościanu?Rozpatrujemy szczególne czworościany. W czworościanie foremnym mamy 6 jednakowych kątów dwuściennych. Miara α każdego z nich jest taka, że :

6 W zdegenerowanym ostrosłupie prawidłowym trójkątnymo nieskończenie dużej wysokości mamy trzy kąty dwuścienne o mierze (między ścianą boczną i podstawą) oraz trzy kąty dwuścienne o mierze (między dwiema ścianami bocznymi), czyli

7 W zdegenerowanym ostrosłupie prawidłowym trójkątnym o zerowej wysokości (spłaszczonym ostrosłupie) mamy trzy kąty dwuścienne o mierze każdy, oraz trzy kąty dwuścienne o mierze każdy, czyli Wniosek: suma miar kątów dwuściennych czworościanu (i ogólnie: wielościanu) nie jest niezależna od kształtu czworościanu (wielościanu).

8 Podczas projektu zasatanawiałyśmy się także o istocie kąta bryłowego:. Kąt bryłowy – część przestrzeni ograniczona przez powierzchnię stożkową, czyli wszystkie półproste wychodzące z pewnego ustalonego punktu, zwanego wierzchołkiem, przechodzące przez pewną ustaloną krzywą zamkniętą. Miarą kąta bryłowego jest pole powierzchni części sfery o jednostkowym promieniu wyciętej przez powierzchnię stożkową o wierzchołku w jej środku. Miara kąta bryłowego przyjmuje więc wartości z przedziału (0,4π). Stwierdziłyśmy, że suma miar kątów bryłowych wielościanu nie jest niezależna od kształtu wielościanu.

9 Na wielu przykładach wykazałyśmy jaka jest różnica między iloczynem wierzchołków i kątem pełnym, a sumą kątów płaskich wszystkich ścian. Doszłyśmy do bardzo ciekawych wniosków i przedstawiłyśmy je w poniższej tabeli…

10 Wniosek: Dla każdego ze zbadanych przez nas wielościanów zachodzi Możemy więc postawić hipotezę: Hipoteza: Dla każdego wielościanu wypukłego zachodzi:

11 Udało nam się ustalić także jaka jest suma kątów płaskich wszystkich ścian dowolnego wielościanu mającego K krawędzi i S ścian. Przedstawimy dokonane przez nas obliczenia.

12 Niech będzie szukaną sumą miar kątów wewnętrznych wszystkich ścian danego wielościanu, a ,K1 , K2…Ks, niech oznaczają odpowiednio liczbę krawędzi zawartych w ścianie pierwszej, drugiej, …, ostatniej. Przy tych oznaczeniach . Biorąc pod uwagę to, że każda krawędź zawarta jest w dwóch ścianach, mamy : K1 + K2 +… +Ks = 2K Ostatecznie

13 Kolejnym etapem rozważań było ustalenie związku między liczbą ścian, wierzchołków i krawędzi dowolnego wielościanu.

14 . Porównując dwa poprzednio otrzymane wyniki Oraz mamy:czyli po przekształceniu: Możemy więc postawić hipotezę:  Hipoteza: Dla dowolnego wielościanu wypukłego zachodzi: .

15

16

17

18 Związek , gdzie K oznacza liczbę krawędzi dowolnego wielościanu, a S liczbę jego ścian został już przez nas ściśle wykazany, zaś równość zostanie udowodniona, o ile uda się nam ogólnym rozumowaniem wykazać, że dla każdego wielościanu zachodzi W oznacza tu liczbę wierzchołków wielościanu, zaś to suma wszystkich kątów płaskich wszystkich ścian tego wielościanu.

19 Jak można wykazać, że dla każdego wielościanu wypukłego zachodziMożesz założyć, że rozważany wielościan zmienia w sposób ciągły swój kształt, tak, że liczba ścian, krawędzi i wierzchołków nie ulega zmianie i podany związek wykazać dla przekształconego wielościanu.

20 Wielościan przekształcamy tak, aby wyznaczenie w zależności od W było najłatwiejsze. Najwygodniej to zrobić dla zdegenerowanego, „spłaszczonego” wielościanu. Zakładamy, że jedna ze ścian została rozciągnięta na tyle, że rzuty prostokątne pozostałych ścian na podstawę są w niej zawarte. Ścianę tę nazwijmy umownie podstawą, a liczbę jej boków oznaczmy przez b). Po zrzutowaniu S-1 ścian na podstawę otrzymujemy spłaszczony wielościan, który możemy uważać za sumę dwóch wielościennych płytek: dolnej – jednolitej i górnej – składającej się z S-1 wielokątów.

21 Oto przykład wielościanu, na którego przykładzie, omówimy rozwiązanie zadania.

22 Po dodaniu, otrzymujemy: Suma składa się z trzech składników: - z sumy kątów dolnej płytki („rozciągniętej podstawy”) równej - z identycznej sumy kątów brzegu płytki górnej, - z sumy kątów wnętrza płytki górnej, które zawiera W- b wierzchołków. Suma ta jest więc równa Po dodaniu, otrzymujemy: Tym samym udowodniona została również hipoteza:

23 Następnie wykazałyśmy ,że wielościan wypukły nie może mieć dokładnie 7 krawędzi.Wykorzystujemy wzór Eulera: Niech K=7 , wówczas W+S=9 . Musi być spełniony warunek: W>=4 i S>=4. A zatem jedynymi możliwymi rozwiązaniami są: 1)  W=4 i S=5. 2)  W=5 i S=4 . Takie sytuacje są jednak niemożliwe. Ad 1) jeśli wielościan ma 4 wierzchołki, to musi to być ostrosłup trójkątny i wówczas liczba ścian musi być równa 4, co wyklucza pierwszy przypadek. Ad2) jeśli liczba ścian wynosi 4, to wówczas wielościan będzie ostrosłupem trójkątnym a ten ma 4 wierzchołki, co wyklucza nam przypadek drugi.

24 Niczego nie rysując policzyłyśmy, ile ścian ma bryła, w której każda ściana jest trójkątem i w każdym wierzchołku schodzi się pięć ścian Każda ściana jest trójkątem, więc 2k=3S . W każdym wierzchołku schodzi się pięć ścian, wobec tego 2K=5W. Pamiętaliśmy przy tym, że każdej krawędzi odpowiadają zarówno dwa wierzchołki, jak i dwie ściany. Dołączając do tych dwóch równań wzór S+W=K+2 mamy układ, z którego wynika, że S=20 . Rozważany wielościan ma więc 20 ścian. Może nim być np. dwudziestościan foremny.

25 . Podczas naszego projektu badawczego dotyczącego różnorakich zależności w wielościanach, znalazłyśmy podobne zależności w dziedzinach życia codziennego.

26 Fullereny Fulleren to związek chemiczny, w którym atomy węgla są rozmieszczone w wierzchołkach pewnego wielościanu wypukłego, a krawędzie tego wielościanu odpowiadają wiązaniom chemicznym. Różne rodzaje fullerenów odpowiadają różnym wielościanom; wielościany te mają następujące wspólne własności: (i) wszystkie ich ściany są pięcio- lub sześciokątne; (ii) w każdym wierzchołku schodzą się dokładnie trzy ściany.

27 Czy fulleren może mieć nieparzystą liczbę wierzchołków?Pokazaliśmy, że gdy z każdego wierzchołka wychodzą dokładnie 3 krawędzie, to W=2S-4. Tak więc liczba wierzchołków fullerenu jest zawsze parzysta.

28 Ile ścian pięciokątnych może mieć fulleren?Wprowadźmy oznaczenia: S5 - liczba pięciokątnych ścian fullerenu, S6 - liczba sześciokątnych ścian fullerenu. Wszystkie ściany są pięcio- lub sześciokątne, więc S=S5 + S6 . Skoro w każdym wierzchołku schodzą się dokładnie trzy ściany, mamy W=2/3 K . Uwzględniając to oraz we wzorze Eulera, dostajemy: 2/3K +S5 + S6 =K+2 Skąd K+6=3 S5 +3 S6 . Krawędzi przynależnych ścianom pięciokątnym jest 5S5 , a krawędzi przynależnych ścianom sześciokątnym jest 6S6 . Pamiętając, że każda krawędź jest zawarta w dwóch ścianach, mamy: 2K= 5S5 + 6S6 Z ostatnich dwóch równości dostajemy: 5S5 =12 Każdy fulleren ma więc 12 ścian pięciokątnych.

29 Zastanowiłyśmy się także, jaką bryłą jest najmniejszy możliwy fulleren …

30 Każdy Fulleren ma 12 ścian pięciokątnych:S5=12 i S= S5+S6, to S=12+S6 Uwzględniając to we wzorze Eulera, mamy: W+12+S6= K+2 Stąd i z tego, że w każdym wierzchołku schodzą się dokładnie trzy ściany (czyli K= 3/2 W ), otrzymujemy: S6= 1/2 W - 10 Najmniejszy fulleren ma możliwie najmniejszą liczbę wierzchołków (atomów węgla). Dla W=20 otrzymujemy więc S6= 0, S5= 12 Warunki te spełnia dwunastościan foremny.

31 Wielościany znalazły przede wszystkim szerokie zastosowanie w architekturze

32 Wielościanem wykorzystywanym już od czasów starożytnych jest ostrosłup czworokątny. Najbardziej znane budowle to budowane kilka tys. lat temu piramidy w Gizie oraz współczesne wejście do muzeum Luwr

33 Obecnie konstrukcje wielościanów wykorzystywane są na szeroką skalę. 1Obecnie konstrukcje wielościanów wykorzystywane są na szeroką skalę. 1. Ogród zoologiczny w Libercu: schronienie flamingów to wielościan zbudowany z 36 ścian.

34 2. Geoda w miasteczku La Vilette utworzona jest z trójkątów, a swoim wyglądem przypomina kulę.

35 3. Wieżowiec Swiss Tower w Londynie.

36 4. Kopuły geodezyjne

37 Dodatkowo wykonałyśmy modele wielościanów aby wykonać projekt nie tylko w teorii ale także zapoznać się z problemem w sposób doświadczalny.

38 Graniastosłup pięciokątny

39 Sześcio – ośmiościan przycięty

40 Hebeklinorotunda trójkątna

41 Antygraniastosłup sześciokątny (dół) i ostrosłup sześciokątny (góra)

42 Graniastosłup dziesięciokątny

43 Dwudziesto -ścian foremny potrójnie przycięty

44 Graniastosłup sześciokątny + kopuła trójkątna

45 Sześcio – ośmiościan rombowy wielki

46 Antygraniastosłup sześciokątny + kopuła trójkątna

47 Dwunastościan rombowy

48 Podwójna kopuła trójkątna

49 Prostopadłościan + klin

50 Graniastosłup trójkątny

51 Graniastosłup ośmiokątny, antygra - niastosłup ośmiokątny, dwudziesto – dwunastościan (pomarańczowy),

52 Wielościany

53 Rombościan

54 Klinokorona

55 Graniastosłup pięciokątny + dwudziesto – dwunastościan

56 Podwójna kopuła trójkątna

57 Graniastosłup sześciokątny

58 Autorki prezentacji i uczestniczki kursu przy pracy: Aldona Chechelska Agnieszka Kuciel Aleksandra Turkot